Общие уравнения в полярных координатах

Общие уравнения в полярных координатах [c.82]

Общие уравнения в полярных координатах. При исследо-сании напряжений в круглых кольцах и дисках, в кривых брусьях узкого прямоугольного сечения с круговой осевой линией и т. д. представляется выгодным пользоваться полярными координатами. [c.64]

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 65 [c.65]

Для того чтобы применить эти результаты к круглому диску, необходимо выразить уравнения в полярных координатах. Взяв полюс в центре диска, мы получим общее уравнение, которое должно удовлетворяться во всех точках площади [c.377]

Уравнение (44) представляет собой общее уравнение конических сечений в полярных координатах. В этом уравнении е— относительный эксцентриситет, ар — фокальный параметр конического сечения. Вид конического сечения определяется только величиной эксцентриситета е (рис. III. 7). [c.89]

Уравнение (70) как раз представляет собой уравнение конического сечения (эллипс, окружность, парабола или гипербола) в полярных координатах (рис. 9.20). Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение конического сечения (т. е. сечения конуса плоскостью) в полярных координатах может быть написано в таком общем виде [c.289]

Ряд таких членов, отвечающий ряду для температуры Т, будет представлять частное решение общих уравнений (6J. Перемещения можно вычислить с помощью уравнений (а) или их аналогов в полярных координатах [c.484]

В случае осесимметричного начального напряженного состояния круглой пластины, когда S = О, а начальные усилия Т° = = Т г) и Г е=П(г) являются функциями только радиуса г, интегрирование общего уравнения (4.33) сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. В полярной системе координат основное линеаризованное уравнение для пластины, нагруженной контурными внешними усилиями, принимает вид (см. 20) [c.163]

Общие уравнения плоской задачи в полярных координатах [c.375]

Общее решение уравнений (4.37) в полярных координатах с учетом условий затухания на бесконечности имеет вид [c.93]

Для определения величин напряженно-деформированного состояния в координатах (р, 7) /-е приближение преобразуем следующим образом левые части формул (10.20) выразим, использовав формулы преобразования при повороте на угол i 3, через составляющие в системе координат г, 0) и функции угла г затем, учитывая (3.38) и (10.19), представим левые части как функции р и 7. Раскладывая таким образом вычисленные левые части выражений (10.20) в ряды по е и собирая коэффициенты при 8 , получаем выражения, аналогичные (3.42). Эти выражения подставляем в условия (10.22) и получаем граничные условия /-Г0 приближения. При этом общее решение уравнений (10.21) в полярных координатах с учетом условий затухания на бесконечности имеет вид [c.233]

Для расчета напряжений и деформаций осесимметричных деталей при гибке, вытяжке, отбортовке, обжиме и раздаче Е. А. Поповым [92] установлены общие уравнения равновесия. Для этого рассматривается уравнение равновесия в полярных координатах с учетом влияния сил трения элемента (рис. 48), выделенного в участке очага деформации, имеющего постоянную кривизну в меридиональном сечении. Принято, что толщина заготовки постоянна и значительно меньше радиусов кривизны в меридиональном (радиальном) Rp и широтном (окружном) Rq сечениях меридиональные напряжения Ор и широтные напряжения Oq равномерно распределены по толщине заготовки и являются главными нормальными напряжениями. [c.107]

В полярных координатах г и 0 общее решение уравнения (4) имеет вид [c.19]

Этим приемом мы воспользуемся дальше при исследовании напряжений вблизи I круглых отверстий и при определении напряжений в круглом кольце, здесь жр приведем общее решение дифференциального уравнения плоской задачи в полярных координатах Выражение для функции напряжений представится так [c.100]

Если мы не будем ограничиваться случаем симметрии, то общее решение уравнения (I) в полярных координатах будет иметь вид [c.659]

При этих условиях главные оси напряженного состояния можно было считать неизменно совпадающими с определенными тремя направлениями, а именно 1) с направлением ребра гиба, 2) с направлением общей нормали к поверхностям листа, которое условились называть радиальным, 3) с направлением, перпендикулярным первым двум, которое условились называть тангенциальным. Три нормальных напряжения (в направлении ребра гиба) сг —(в направлении радиальном), ае (в направлении тангенциальном) являются главными напряжениями, а их значения зависят только от одной координаты г. Казалось бы на первый взгляд задача кругового гиба листа является простейшей задачей плоской пластической деформации в полярных координатах. Действительно, ее решение сводится к интегрированию простого по написанию обыкновенного дифференциального уравнения (условие равновесия) [c.296]

Полученное решение представляет собой уравнение эллипса, записанное в полярных координатах, если е < 1. Этот случай и имеет место для планет. В общем случае при в = 1 траектория представляет собой параболу, если е > 1 — гиперболу. [c.78]

Уравнение (47) есть линейное дифференциальное уравнение траектории материальной точки в полярных координатах для случая движения в ньютоновом поле тяготения Земли. Общее решение этого уравнения можно представить в виде [c.249]

Общее уравнение конических сечений при пересекающихся осях формирующих конусов в полярных координатах имеет вид (рис. 46) [c.113]

Кривые, выраженные общим трансцендентным уравнением (194) или (196), в котором показательные функции и синусы обычных координат перемешаны, с трудом могут быть проведены по точкам. Поэтому мы направили наши исследования на алгебраические кривые, представленные в полярных координатах формулой (201) и в обычных координатах формулой (198). [c.220]

Равновесия общие уравнения 220 в полярных координатах 65 в случае неравномерного нагревания 230, 232 [c.449]

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 185 [c.185]

Уравнение (28) представляет собой дифференциальное уравнение линий тока в полярных координатах в общем виде. [c.119]

Решение этих уравнений производится на основе общего решения плоской задачи в полярных координатах, причем функция напряжений и перемещений, удовлетворяющая уравнению совместности записывается так [c.195]

Общий интеграл дает уравнение кривой второго порядка в полярных координатах [c.231]

В первых пяти главах учебника рассматриваются общие вопросы теории упругости (теория напряжений и деформаций, основные соотношения и теоремы, постановка и лгетоды решения задач теории упругости, плоская задача в декартовых координатах, плоская задача в полярных координатах). В шестой и седьмой главах излагаются основные уравнения теории тонких пластин (гибких и жестких) и некоторые задачи изгиба и устойчивости пластин. Восьмая глава учебника посвящена рассмотрению приближенных методов решения задач прикладной теории упругости (вариационных, конечных разностей, конечных элементов). В девятой главе рассматриваются основы расчета тонких упругих оболочек, причем основное внимание уделено вопросам расчета безмоментных и пологих оболочек. В десятой главе изучаются основы теории пластичности. Здесь рассмотрена и теория расчета конструкций по предельнол1у состоянию. [c.6]

Исследование движения в полярных координатах. Отклоняющая сила nv, будучи пропорциональной скорости и направленой под прямым углом к ней, легко может быть разложена на соответствующие составляющие в любой системе координат. Так, для того чтобы получить общие уравнения движения гироскопа в полярных координатах б и его полюса, мы просто заметим, что составляющие скорости v в плоскости переменного угла бив направлении, нормальном к этой плоскости, будут равны соответственно 6 и sin 0 4 1 а потому составляющие отклоняющей силы будут равны — Сп sin и СпН. [c.137]

Общий случай (пластины постоянной толщины). Подстановка а =ф(л, в)х X os((o — X) в уравнение (114) гл. VIII q = 0) дает уравнение (1) с заменой оператора Лапласа на его выражение в полярных координатах [c.206]

С. П. Тимошенко (1878—1972) (О влиянии круглых отверстий на распределение напряжений в пластинках.—Изв. Киевского политехи, ни-та, 1907, год 7, книга 3, с. 95—113. Отд. оттиск Киев, 1907, 21 с. статья перепечатана на с. 106—123 сборника Тимошенко С. П. Прочность и колебания элементов конструкций. — М. Физматгиз, 1975, 704 с.) приводит общий интеграл для функции напряжений в полярных координатах, удовлетворяющий бигармоии-ческому уравнению задачи, и для пластины с круговым вырезом рассматривает растяжение или сжатие в одном нли в двух направлениях, а также совместное действие двустороннего растяжения и равномерных касательных сил изучается также случай пластины конечной ширины. [c.327]

Радиус-вектор г можно найти также из общего уравнения кеилеровой орбиты в полярных координатах, которое в рассматриваемом случае наиииштся в виде [c.494]

Согласно подходу Ферми [3], можно рассуждать следующим образом. В случае устойчивости в каждой окрестности начала координат Я лежит одпосвязпая инвариантная относительно б окрестпость 8. Примем теперь, что 8 имеет границу, которую можно представить уравнением Р х, у) = 0. Если написать такое уравнение для семейства окрестностей Я = зависящих от параметра 7, то получится семейство уравнений Р х, у, 7) = 0. Если эти уравнения удастся разрешить относительно 7 и если уравнение (р х, у) = 7, кроме того, будет аналитическим по ж и у, то этим будет доказано существование сходящегося инвариантного степенного ряда, так как при отображении б каждая граница ср х, у) = 7 переходит в себя. Наконец, следовало бы установить аналитическими методами, что в общем случае сохраняющее объем преобразование б пе имеет сходящегося инварианта. Этим самым было бы доказано утверждение, что в общем случае устойчивости не будет. Попытки провести строгое доказательство этого утверждения представляются нам довольно безнадежными. Пока даже пе доказано, что границей 8 является кривая, Биркгоф, используя приемы доказательства своей теоремы о неподвижной точке, пытался показать, что 8 будет при достаточно малой окрестности Я звездообразной, если формальный степенной ряд и, входящий в нормальную форму (12), не сводится то.пько к свободному члену, и что тогда граница С области 8 может быть представлена в полярных координатах г, I с помощью схо- [c.289]

Суммируя выражения (9.150), (9.175), (9.91) и присоединяя еще бигармоническую функцию С(,г 6, получим уловлетворяющее бигармоническому уравнению (9.141) общее выражение функции Эри в полярных координатах, которое было дано в 1899 г. Мичеллом [c.270]

Многие авторы в своих исследованиях следуют классическому методу Лагранжа. Метод Лагранжа вариации элементов орбиты является одним из основных методов небесной механики. В этой работе изложены идеи метода Лагранжа и предлагается прямой вывод дифференциальных уравнений Лагранжа в оскулирующих элементах. Большое внимание в книге уделяется распространению метода изучения кеплерова невозмущенного движения в плоскости орбиты в полярных координатах" на общий случай неплоского возмущенного движения. Это достигается путем рассмотрения возмущенного движения спутника в подвижной ганзеновской плоскости идеальных координат. [c.5]

Общее представление о сравнительной производительности методов дает работа (Leidenfrost et al., 1999), в которой авторы постарались снизить влияние посторонних факторов на скорость решения задачи. Выяснилось, что несмотря на общие теоретические основы и высокое, во всех случаях, качество программирования, основные параметры - точность, производительность и требуемая память - различаются в диапазоне почти двух порядков. Наиболее точным методом оказалось конструирование фронтов трассирование лучей дает примерно ту же точность, что и интегрирование уравнения эйконала. Самым быстрым оказалось интегрирование эйконала в полярных координатах конечными разностями в комбинации с методом Рунге-Кутта, самым медленным - трассирование лучей. Наибольших ресурсов памяти требует конструирование фронтов. В конечном счете, для точных расчетов в среде с сильными, но гладкими вариациями скорости и необходимостью обхода принципа Ферма рекомендуется метод конструирования фронтов а для сравнительно простых разрезов оптимальным оказывается интегрирование уравнения эйконала в полярных координатах конечными разностями в комбинации с методом Рунге-Кутта благодаря его непревзойденной вычислительной эффективности. [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...