Обобщенные координаты материальной системы из п точек

Рассмотрим материальную систему из N точек с голономными связями, обладающую числом степеней свободы, равным п. Следовательно, геометрическая конфигурация системы определяется обобщенными координатами qi, число которых равно п. Так как неголономные связи [c.335]

Положение механической системы, состоящей из п материальных точек, определяется Зп декартовыми координатами. Но если на систему наложено s голономных стационарных удерживающих связей, то уравнения связей можно разрешить относительно s произвольных декартовых координат и выразить эти координаты через остальные Зп — s. Тогда число независимых координат, определяющих положение системы, будет равно Зи — s. При решении некоторых задач для определения положения системы вместо декартовых координат точек могут использоваться другие геометрические параметры криволинейные координаты, углы, площади, объемы и т. д. Любые независимые параметры, однозначно определяющие положение механической системы, называются обобщенными координатами этой системы и обозначаются через 5,, да,. .Чт- Их число совпадает с числом независимых декартовых координат, т. е. [c.295]

Мы называем обобщенными О координатами материальной системы, состоящей из п точек, совокупность параметров q, q2,. .., quy независимых друг от друга и полностью определяющих положения всех точек системы в каждый момент времени t число их в рассматриваемом случае равно k = 3п — s. [c.327]

Из системы уравнений (23.3) видно, что уравнения Гамильтона имеют симметричный вид относительно канонических переменных Рк и Як, благодаря чему они находят широкое применение в теории, в частности в статистической физике. Вспомним, что в лагранжевом формализме состояние системы из п материальных точек описывают положением одной изображающей точки в пространстве конфигураций, образованном обобщенными координатами Як ( 19). Аналогично в гамильтоновом формализме состояние системы описывают положением изображающей точки в фазовом пространстве, образованном обобщенными координатами Як и обобщенными импульсами Рк. Конфигурационное пространство имеет , а фазовое 2х измерений. [c.203]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Рассмотрим механическую систему из п материальных точек, находящуюся под действием сил Pi, Р , Р . Предположим, что система имеет s степеней свободы, т. е. ее положение определяется s обобщенными координатами qj, q , [c.329]

Обобщенные координаты. Положение в пространстве свободной материальной точки определяется тремя координатами, независимыми друг от друга. Такая точка имеет три степени свободы. Для определения положения в мгновение t системы, состоящей из п свободных точек, необходимо Зп координат. [c.256]

Уравнения Лагранжа второго рода могут быть применены и для свободной системы п материальных точек. В этом случае координаты точек XI, г/1, zi Х2, г/2, Z2 . .. х , г/ , z являются обобщенными координатами, а проекции активных сил, приложенных к каждой из точек системы [c.333]

Движение точки на гладкой поверхности. Говорят, что механическая система имеет п. степеней свободы", если для указания положения ее разных частей необходимы и достаточны п независимых переменных. Эти переменные называются. обобщенными координатами системы. Так, например, положение материальной точки, движущейся по сферической поверхности, можно определить ее широтой и долготой положение двойного маятника на фиг. 64 характеризуется углами 6, (f, положение твердого тела, движущегося в двух измерениях, можно определить, как в 63, двумя координатами его центра масс и углом, на который он повернулся из некоторого определенного положения, и т. д. [c.271]

Обобщенные координаты и скорости. Предположим, что мы имеем динамическую систему, состоящую из материальных точек или абсолютно твердых тел, движущихся независимо друг от друга или связанных каким-либо образом, подверженных действию взаимных сил, а также действию заданных внешних" сил, т. е. сил, действующих на систему извне. Любая данная конфигурация системы i) может быть полностью охарактеризована значениями, принимаемыми определенным конечным числом п независимых количеств, называемых обобщенными координатами системы. Эти координаты можно выбрать бесконечным числом способов, но число их является вполне определенным и выражает число степеней свободы системы. Мы обозначим координаты через <7j, Подразумевается, что декартовы координаты х, у, г [c.181]

Независимые между собою параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют ее положение, называют обобщенными координатами системы. Будем обозначать обобщенные координаты буквой q. Так как свободная точка имеет три степени свободы, то система, состоящая из п материальных точек, координаты которых в силу наложенных на систему геометрических связей должны удовлетворять k уравнениям, выражающим эти связи, будет иметь s=3n — k степеней свободы и ее положение будет определяться s обобщенными координатами [c.454]

Уравнения (4), (6), (7) представляют полную систему интегралов исходной системы дифференциальных уравнений движения, содержащую 2п произвольных постоянных. Наличие п — пг циклических координат позволило понизить порядок интегрируемой системы до 2т и свести задачу к интегрированию этой системы (5) и к выполнению п — т квадратур (7). Надо к этому добавить, что от выбора обобщенных координат зависит и число циклических координат например, при задании положения материальной точки в поле центральной силы декартовыми координатами л , у, г циклические координаты отсутствуют, тогда как при применении сферических координат одна из них (долгота) будет циклической (пример 1° п. 7.18). [c.349]

Перейдем теперь к изложению результатов П. В. Воронца, который вместе с С. А. Чаплыгиным, П. Аппелем и др. является одним из основоположников механики неголономных систем. В своей работе [ ], написанной в 1901 г., П. В. Воронец выводит уравнения движения, не делая ограничивающих предположений, которые приводят к системе Чаплыгина. Поэтому уравнения Воронца приложимы к более широкому классу неголономных систем, чем уравнения Чаплыгина. Следуя работе П. В. Воронца, рассмотрим движение несвободной системы материальных точек под действием сил, имеющих потенциал. Обозначим через Ят+и обобщенные координаты системы и предположим, что уравнения неголономных связей имеют вид [c.115]

Представим себе механическую систему, состоящую из п материальных точек М , М2,. .., Мп- Положим, что эта система имеет к степеней свободы, и обозначим ее независимые обобщенные координаты через 1, 9а,. .., 9 . Возьмем прямоугольные координатные оси X, у, г и обозначим декартовы координаты точки Ж, через х , Уг, Мы уже знаем, что заданием величин 91, 2> > 9 вполне определяется положение всех точек системы, а следовательно, и значения [c.321]

Предположим, что механическая система из п материальных точек Hfvieex s степеней свободы. В случае голономных, нестационарных, связей радиус-вектор о любой точки зтой системы является функцией обобщенных координат qi, q , и времени / [c.340]

Допустим, что гео ,метрическое положение системы из N материальных точек при учете только голономных связей определяется обобщенными координата, ш число которых п. Кроме того, предположим, что на систему наложены также неголономные связи (реономиые), выражающиеся дифф( ре1тциальпыми уравнениями, число которых з [c.382]

Рассмотрим теперь обпщй случай системы, состоящей из п материальных точек и имеющей к степеней свободы. Обозначим обобщенные координаты этой системы через qx, % [c.537]

Предпаложим, что механическая система из п материальных точек имеет в степеней свободы. В случае голономных несташюнарных связей ргшлус-вектор любой точки Mi этой системы является функцией обобщенных координат q., 2> .. и времени 1 [c.536]

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек, на которые действуют силы /, f г,. . ., F . Пусть система имеет S степеней свободы и ее положение определятся обобщенными координатами (104). Сообщим системе такое хнезависимое возможное перемещение, при котором координата qi получает приращение 6 i, а остальные координаты не изменяются. Тогда каждый из радиусов-векторов точек системы получит элементарное приращение (firii)] . Поскольку, согласно равенству (106), r =r qi, 2, . <7i). 3 при рассматриваемом перемещении изменяется только координата qi (остальные сохраняют постоянные значения), то 6rii)i вычисляется как частный дифференциал и, следовательно, [c.371]

Рассмотрим механическую систему с идеальными го-лономными стационарными удерживающими связями, которая состоит из п материальных точек и имеет т степеней свободы, т. е. ее положение полностью определяется т обобщенными координатами q , qi,. .., q . Тогда радиус-вектор каждой точки системы будет функцией этих обобщенных координат [c.296]

Обобщенные силы. Рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек, на которые действуют силы f 1, Fi,fПусть система имеет s степеней свободы и ее положение определяется обобщенными координатами (115). Сообщим системе такое независимое возможное перемещение, при котором координата qi получает приращение а остальные координаты не изменяются. Тогда каждый из радиусов-векторов г точек системы получит [c.455]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...