Движение варьированное, действительное

В приложениях к движению варьирование связано с рассмотрением движения механической системы но кривой, являющейся действительной траекторией механической системы в пространстве конфигураций, и по допустимым кривым или кривым сравнения. [c.394]

Отличительной чертой излагаемой здесь теории является то, что на варьируемые движения накладывается ограничение, состоящее в том, что для них Е сохраняет постоянное значение. Варьированное движение получают, сообщая в каждый момент t виртуальное перемещение безотносительно действительного движения, причем положению q 8q соответствует момент времени t + Sf. В общем случае продолжительность варьированного движения отличается от продолжительности исходного движения. Варьированное двин ение в общем случае не является динамически возможным движением, а в случае неголономной системы оно не является даже геометрически возможным. Единственное ограничение, которому подчинено это движение, заключается в требовании постоянства полной энергии. Мы будем по-прен<нему предполагать, что вариации Sg и являются функциями от t класса Сг. [c.544]

Движение апериодическое 83, 98, 101, 139 варьированное, действительное 34, 35, [c.476]

Применение в принципе Гамильтона малых вариаций для координат и скоростей соответствует предположению, что варьированные траектории находятся в окрестности первого порядка или, иначе, слабой окрестности траектории действительного движения [127. Действительное и варьированное состояния сравниваются в одни и те же моменты времени, т.е. изохронно. [c.31]

Вновь изобразим движение материальной системы как движение материальной изображающей точки в многомерном пространстве конфигураций. Траектория изображающей точки, соответствующая действительному движению системы, называется основной. Траектории изображающей точки, образованные из основной в результате варьирования радиусов-векторов точек материальной системы, называются траекториями сравнения. [c.185]

Действие варьирования, рассмотренное нами в 73, давало возможность перейти от действительного движения материальной системы к движению сравнения , в действительности физически невозможному, так как это движение, вообще говоря, не совместимо с действием активных сил, приложенных к точкам системы. [c.381]

Назовем, в обобщенном смысле, траекторией системы совокупность ее последовательных положений (Р). Вариации Ьх, Ьу, Ьг определяют изменение траектории и ставят в соответствие новое положение (Р ) системы положению (Р), которое она занимала в момент Вариация времени определяется тогда условием, что разность живых сил в соответствующих положениях (Р) и (Р ) в точности равна элементарной работе прямо приложенных сил при переходе системы из первого (действительного) положения во второе (варьированное). Заметим при этом, что если связи зависят от времени, то варьированное движение, вообще говоря, будет несовместимо со связями. [c.320]

Якоби дал также новую формулировку принципа наименьшего действия для случая независимости от времени, который рассматривали Эйлер и Лагранж. Он критиковал их формулировку на том основании, что область интегрирования у них не удовлетворяет условию варьирования при фиксированных граничных значениях. Хотя в действительности Эйлер и Лагранж применяли свой принцип вполне корректно, исключение времени из вариационного интеграла, произведенное Якоби, привело к новому принципу, определяющему траекторию движущейся точки без всякого указания на то, как движение происходит во времени. Сходство этого принципа с принципом Ферма о наименьшем времени распространения света, из которого может быть определена траектория светового луча, непосредственно устанавливало аналогию между оптическими и механическими явлениями. [c.392]

Найденные нами в Статике дифференциальные формулы для выражения вариаций, которые могут получить координаты любой системы точек, расстояния между которыми предполагаются неизменными, могут быть естественно применены к тому исследованию, о котором здесь идет речь действительно, указанное предположение приводит лишь к исчезновению тех членов, которые явились бы результатом варьирования расстояний между различными точками. Таким образом, остающиеся члены выражают то, что имеется общего и свойственного всем членам при движении системы, если отвлечься от их относительных движений как раз это общее абсолютное движение мы и собираемся здесь исследовать. [c.229]

По предположению мы имеем 2(7 -j-V) = 0, Далее мы приняли, что варьированное и действительное движения начались при одной и той же конфигурации, так что Ьх, 8 у, при О обращаются в нуль. В момент времени t = система при варьированном движен 1и еще не..достигнет конечной конфигурации она достигнет ее лишь по истечении дополнительного (положительного или отрицательного) промежутка времени. В конце этого промежутка времени мы должны положить [c.270]

Принцип Гамильтона. В предыдущей теореме энергия гипотетического движения задана, а время перехода из начальной конфигурации в конечную представляет переменную величину. В другой обычно более удобной для применения теореме время перехода задано и имеет такую же величину, как в действительном движении, а энергия на варьированном пути будет вообще другая, и не должна быть заданной постоянной. При этом условии будем иметь [c.271]

Это есть простое следствие из того обстоятельства, что все аргументы, от которых зависит Л (силы, ускорения, виртуальные перемещения), суть непрерывные функции времени. Действительно, выбрав один какой-нибудь момент t в промежутке (/(,, (открытый промежуток) и задав какое-нибудь виртуальное перемещение ЬР (между теми, которые относятся к моменту и к одновременной конфигурации системы в движении М), обозначим через А соответствующее значение А, которое, как мы сейчас покажем, равно нулю. Из предыдущего пункта следует, что если заключить момент 7 в некоторый промежуток [f, /"], внутренний для промежутка (tg, fj), то можно бесконечным множеством способов определить в функции от времени бесконечное множество виртуальных перемещений оо (для последующих конфигураций системы в прямом движении Ж) и, следовательно, можно определить синхронно-варьированное движение так, чтобы для =4) и == i конфигурация системы совпадала с конфигурацией в движении М виртуальное перемещение при ( = t будет тождественно с заданным и будет исчезать при и Соот- [c.401]

С другой стороны, важно отметить, что уравнение (23) не накладывает никаких ограничений на выбор траектории асинхронно варьированного движения или, если угодно, соответствующего синхронно-варьированного движения. Действительно, как бы ни были заданы 8Р в функциях от времени, уравнение (23), присоединенное к уравнению (21), определяет в функции от t величину d bt)jdi и, следовательно, определяет посредством одной квадратуры само Ы. [c.408]

Действительно, предположим, что на движение, удовлетворяющее такой системе, накладывается асинхронная вариация, связанная двумя условиями она должна быть изоэнергетической, т. е. после варьирования должно сохранять силу уравнение Н = Е с тем же значением постоянной энергии, что и в движении о (8 = 0), и должна оставлять неизменными конфигурации на концах = 0, при [c.432]

Так как при введенных с самого начала предположениях относительно функции Лагранжа 2 функция Н действительно зависит от dt, условие, что асинхронно-варьированное движение — изо-энергетическое, т. е. что Ь Н = 0, содержит, конечно, условие [c.432]

Действительные и виртуальные перемещения. Синхронное варьирование. Пусть в момент времени t = t система находится в положении, задаваемом радиусами-векторами ее точек а скорости точек имеют некоторые конкретные возможные значения Если заданы силы, действующие на систему, то, проинтегрировав систему дифференциальных уравнений движения, можно получить значения радиусов-векторов точек системы для моментов времени следующих за t. Если обозначить dt приращение времени t — то приращения радиусов-векторов точек системы можно представить в виде [c.37]

Для получения математической формулировки принципа Гаусса будем сравнивать в некоторый момент времени движения, в которых все точки системы имеют те же возможные положения г и скорости V, что и в действительном движении. Возможные же ускорения точек системы в сравниваемых движениях будут отличаться (на величины, не обязательно являющиеся бесконечно малыми). Такой способ синхронного варьирования называется варьированием по Гауссу (п. 12). [c.107]

Обозначим через б Г разность между значением Т в момент t на варьированном пути и значением Т в тот же момент в действительном движении. Пользуясь сокращенными обозначениями ( 2.2), находим [c.47]

В принципе Гамильтона действительное движение системы сравнивается с варьированным движением при одних и тех же конфигурациях системы в начальный и конечный моменты времени и одинаковых самих этих моментах времени. Поэтому, если мы хотим выразить этот принцип с помощью лагранжевых координат q , q2,. . Qn, то нужно потребовать, чтобы положение системы в начальный и конечный моменты и самые эти моменты оставались неизменными (хотя соотношения между q я х содержат t). Принцип Гамильтона, таким образом, принимает следующую форму [c.91]

Подобные общие принципы, в которых выставляется требование, чтобы интеграл некоторой функции состояния, распространенный на время, в течение которого происходит изменение состояния, имел экстремальное значение, иногда обязательно минимальное, выдвигались неоднократно. Эти принципы имели различную форму, соответствующую тем или другим условиям, налагаемым на варьирование, но при правильном выполнении требуемых варьирований все эти принципы приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям для рассматриваемых процессов. Первым из этих интегральных принципов был предложенный Мопертюи принцип наименьшего действия, в котором утверждалось, что при всех происходящих в природе явлениях среднее значение живой силы имеет минимальное значение. Условия варьирования, имеющие при этом место для механических задач, найдены только Лагранжей, и тем самым этот принцип был только им научно обоснован. Эти условия с современной точки зрения могут быть выражены требованием, чтобы полная энергия варьированного движения оставалась равной полной энергии действительного движения. Впрочем, к тем же результатам приводит принцип Гамильтона, при котором имеет место другое условие, а именно, что время не затрагивается варьированием. Это последнее условие имеет то преимущество, что мы имеем возможность присоединить к Я добавочные члены, относящиеся к внешним силам. Поэтому мы оставляем форму Гамильтона, которая теперь при сохранении прежнего условия варьирования гласит [c.465]

О чем в обоих принципах идет речь, я сейчас, по крайней мере, упомяну, рассмотрев еще раз движение шара. Шар при своем действительном движении, являющемся чистым качением, занимает непрерывную последовательность положений. Применение названных принципов требует небольшого изменения движения. Чтобы осуществить последнее, мы прежде всего сдвинем немного каждое из пройденных шаром положений так, что возникнет вторая непрерывная последовательность положений в то же время положения этой новой последовательности находятся в соответствии с положениями первой последовательности. Этим второе движение полностью еще не определено, ибо не указано, что в обоих движениях соответствующие положения проходятся одновременно в принципе Гамильтона это требуется, тогда как принцип наименьшего действия устанавливает нечто другое. Но оба принципа следует здесь применять, считая, что упомянутые малые смещения щара получаются путем одного качения, в то время как Герц в противоречии с этим применил условие, что и второе, т. е. варьированное, движение само является качением без скольжения. Если правильно выполнить вариации, то получается качение шара, которое Герц охарактеризовал [c.540]

Мы требуем, чтобы соответствующие положения действительного и варьированного движений проходились одновременно, т. е. мы полагаем = 0 и получаем [c.544]

Требование, чтобы интеграл (7) исчезал для всех нащих вариаций, опять влечет за собой выполнение принципа Д Аламбера. Рассмотрим подробнее правую часть уравнения (6). Будем считать силы и действительное движение материальной системы заданными тогда упомянутая правая часть определяется исключительно посредством перемещений положений системы. Она не зависит от того, как с течением времени пробегается новая, образованная путем перемещений, последовательность положений. Поэтому не имеет значения, оставим ли мы вариацию движения общей, если отвлечься от неизбежных условий связей, или же ограничим себя первым или вторым из особых способов варьирования. [c.546]

Когда дело идет о вариациях, которых требует принцип наименьшего действия, то должна существовать не зависящая от времени силовая функция и, если должно удовлетворяться уравнение (12). Условие варьирования (8) может быть тогда выражено тем, что величина Т — и должна иметь одно и то же значение для двух соответствующих положений действительного и варьированного движений. Если, кроме того, время не входит в уравнения связей, будь то дифференциальные уравнения вида (1) или конечные уравнения, то при действительном движении величина Т — и остается постоянной ). Тогда —и называется потенциальной энергией, Т — и — полной энергией, и можно видеть, что полная энергия вообще не меняется ни во время движения, ни при варьировании. Таким путем получается более узкая форма принципа наименьшего действия. Эта форма принципа предполагает известным, что действительное движение подчиняется предложению о постоянстве энергии, и определяет точнее это движение тем, что оно, будучи сравнено с другим движением, мало от него отклоняющимся и протекающим с той же постоянной энергией, удовлетворяет условию [c.547]

Разнородность действительного и варьированного движений [c.549]

Повсюду следует соблюдать условие, что вариации положения должны быть виртуальными перемещениями. Иначе обстояло бы дело, если бы мы выдвинули требование, что варьированное движение должно удовлетворять тем же уравнениям связей, что и действительное движение. Если, например, уравнения связей даны в форме (9), т. е. как обыкновенные уравнения [c.549]

При варьировании мы приняли во внимание различное время движения по действительному и окольным путям. Покажем, что сумма внеинтегральных членов обращается в нуль. Для этого используем выражение (4.150) [c.255]

Согласно принципу Гаусса действительное движение совершается с наименьшим принуждением (ускорения точек в действительном движении доставляют функции Z вида (1,138) наименьшее значение). Варьирование ускорений произво/щтся при фиксированном времени и неизменном состоянии. Необходимое условие минимума функции Z имеет вид [c.60]

Рассмотрим множество кинематически возможных движений из возможного положения с различными возможными скоростями Vv Будем сравнивать нх одно с другим н с действительным дви-женнем из того же положения в тот же момент времени. Так мы получаем варьирование по Журдену (п. 12), при котором 6i v = [c.89]

Рассмотрим множество кинематически возможных движений из возможного положения г с различными возможными скоростями v. Будем сравнивать их одно с другим и с действительным движением из того же положения в тот же момент времени. Так мы получаем варьирование по Журдену (п. 12), при котором 8г = где величина Svy = — разность возможных скоростей в сравниваемых движениях (эта величина не обязательно является бесконечно малой). [c.106]

Асинхронное варьирование. Принцип Гёльдера ). В принципе Гамильтона операция варьирования производилась для одного и того же момента времени точке Р (в -пространстве) на действительной траектории в момент t ставилась в соответствие точка Р на варьированной траектории соответствующая тому же самому моменту времени. Это было возможно, так как в принципе Гамильтона задаются не только концевые точки, но и соответствующие им моменты времени, так что движение по исходному и варьированному путям совершается за одно и то же время. Теперь мы рассмотрим случай, когда точке q на исходной траектории, соответствующей положению системы в момент t, ставится в соответствие точка g + на варьированной траектории, характеризующей положение системы в момент t + Будем предполагать, что вариации 6 i, 6q2, , 6g , 8t являются функциями времени, принадлежащими к классу Сг. [c.534]

Укажем условия, при которых выполняется принцип Гёльдера. В каждый момент времени выбирается виртуальное перемещение бд по отношению к действительному движению составляющие бд,. являются функциями от t класса С2, обращающимися в нуль в моменты и ti- Затем выбирается функция 8t от t, также принадлежащая к классу Сг- В варьированном движении точка g + бд проходится в момент t + 8t, причем вариация не обязательно равна нулю в моменты io и ii. В случае, когда система неголо-номна, варьированный путь, вообще говоря, не будет удовлетворять уравнениям связей. Если функция 8t тождественно равна пулю, то мы снова приходим к принципу Гамильтона. [c.535]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

Чтобы сделать более ясным понятие вариации движения, мы сначала рассмотрим одну свободную материальную точку. Ее движение следует варьировать так, чтобы начальное положение А и конечное положение В оставались неизменными. Первоначальное движение — это то, которое имеет место в действительности новое, варьированное движение является только вспомогательным математическим представлением. Поэтому можно траекторию нового движения выбрать так, чтобы она мало отличалась от прежней траектории и щла бы приблизительно параллельно ей ) в остальном она может быть произвольна. Движение по новой траектории после этого может происходить по любому закону. Предположим, что оба движения начинаются одновременно в точке А нет надобности, чтобы они одновременно заканчивались в точке В, чего как раз не будет в том случае, когда действительное движение соверщается в течение более короткого времени, чем варьированное. Чтобы теперь составить себе точное представление о вариации, нужно каждое положение, которое точка занимает при варьированном движении, отнести к некоторому положению, занимаемому точкой в первоначальном движении ). Например без установления такого соответствия вариация интеграла ]Т(И, в котором Т обозначает живую силу, а I — время, имела бы какое-то значение, но равенство [c.541]

Если сравнить действительное движение материальной системы с движением. немного отличающимся от него, причем начальное и конечное положения системы остаются неварьированными, а перемещения из каждого положения действительного движения в соответствующее положение варьированного движения должны быть перемещениями виртуальными, то [c.544]

Это большое преимущество, как, вероятно, и будет признано, примиряет меня с неудобством вводить новую группу орбит и с потерей геометрической простоты, на которую я указывал неудобство заключается в том, что мои орбиты не касаются, а пересекают (хотя под очень маленькими углами) действительные гелиоцентрические орбиты, описанные под действием всех возмущающих сил. Моя новая варьированная орбита любой планеты правильно дает возмущенные гелиоцентрические координаты и вспомогательные величины X, у, 2 при помощи правил невозмущенного движения, но если мы не продифференцируем элементов каждой планеты или не сопоставием орбиты всех планет, то они не дадут правильно тех вспомогательных переменных для возмущенного движения, которые употреблял Лагранж, именно — компонентов гелиоцентрических скоростей. Но алгебраически они были лишь подсказаны формой его первоначальных дифференциальных уравнений, а [c.768]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...