Пересечение многогранников плоскостью и прямой линией

Пересечение многогранников плоскостью и прямой линией [c.113]

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ [c.113]

Чертежи многогранников и многогранных поверхностей. Пересечение многогранников плоскостью и прямой линией. Взаимное пересечение многогранников. Развертки многогранников. [c.5]

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ, ПЛОСКОСТЬЮ И МНОГОГРАННИКОМ [c.61]

Глава XI ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ И ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ и МНОГОГРАННИКОМ [c.73]

XI Пересечение кривой поверхности с прямой линией, плоскостью и многогранником [c.58]

При сечении многогранников получаются плоские многоугольники, число сторон которых равно числу пересеченных граней. Стороны этих многоугольников представляют собой линии пересечения граней многогранников и секущей плоскости, а их вершины— точки пересечения ребер многогранников — с секущей плоскостью. Таким образом, для решения задачи на построение сечения многогранника плоскостью необходимо уметь 1) строить линии пересечения двух плоскостей и 2) определять точки пересечения прямой с плоскостью. [c.134]

Прямая линия может пересекать поверхность многогранника в одной, двух и более точках. Если многогранник выпуклый — не более чем в двух точках. Прием решения этой задачи основан на схеме определения точки пересечения прямой с плоскостью. [c.115]

Первый способ позволяет определить линию пересечения многогранников по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и наоборот. Это известная задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью. [c.117]

Из четырех вертикальных ребер призмы только одно ребро пересекает тетраэдр. Находим точки его пересечения с гранями тетраэдра. Через это ребро и вершину ss тетраэдра проводим вспомогательную гори-зонтально-проецирующую плоскость Nh. Она пересекает тетраэдр по прямым, которые пересекают ребро призмы в точках 77 и 8S — в точках пересечения ребра призмы с гранями тетраэдра. Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем две линии пересечения многогранников. Одна из них представляет собой пространственный многоугольник 137581, ГЗ 7 5 Н 1, другая — треугольник 246, 2 4 6 . [c.118]

МНОГОГРАННИКИ и ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ИХ С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ И ПЛОСКОСТЬЮ [c.38]

Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника производится тем же приемом, что и построение точки пересечения прямой с плоскостью, но конкурирующая с данной прямой линия проводится не на плоскости, а на поверхности многогранника. Поэтому эта линия будет представлять собой ломаную линию, сторонами которой будут служить отрезки прямых, лежащих в гранях многогранника и конкурирующих с данной прямой. Точки пересечения данной прямой с вспомогательной линией и будут точками пересечения прямой с поверхностью многогранника. Если прямая не будет пересекаться с вспомогательной линией, то это означает, 4to прямая не пересекается с многогранником. [c.65]

Поэтому построение вершин линии пересечения многогранников сводится к многократному решению задачи о пересечении прямой с плоскостью, а построение сторон этой линии — к многократному решению задачи о пересечении двух плоскостей. Обычно предпочитают находить вершины линии пересечения, а ее стороны находят соединением соответствующих вершин. При этом очевидно, что только те пары вершин можно соединять отрезками прямых, которые лежат в одной и той же грани первого многогранника и в то же время в одной и той же грани второго многогранника. Если же рассматриваемая пара вершин хотя бы в одном многограннике принадлежит разным граням, то такие вершины не соединяются. [c.67]

Таким образом, построение линии пересечения двух многогранников сводится или к построению линии пересечения двух плоскостей между собой, или к построению точки пересечения прямой с плоскостью. Обе эти задачи рассмотрены выше. На практике обычно используют оба способа в комбинации, исходя из условия простоты и удобства построения. [c.81]

В первом случае определяются точки пересечения рёбер одной поверхности с гранями (плоскостями) другой, а потом определяются точки пересечения рёбер второй поверхности с гранями первой. Полученные точки последовательно соединяют прямыми линиями. Здесь важно проследить за тем, чтобы соединяемые точки лежали в одной и той же грани первого и второго многогранника. При этом общая линия пересечения должна лежать внутри очерка как одной, так и другой поверхности. [c.126]

Пример построения такой линии дан на рис. 198. Соединяя вершины пирамид прямой линией получаем ось пучка простейших секущих плоскостей и находим ее горизонтальный след М. Через очку М проведем следы районных плоскостей Р н первого и второго многогранников. Чередование следов указывает на то, что искомая линия будет одной замкнутой. В пересечении примут участие те ребра, горизонтальные следы которых оказались внутри и на сторонах угла, образованного следами и В нашем случае таких ребер три и [c.111]

Задача, которой посвящен настоящий параграф, является одной из основных задач начертательной геометрии. От того, насколько хорошо она будет усвоена, зависит успешное изучение последующего материала. Достаточно перечислить некоторые из задач курса, которые в конечном счете сводятся к определению точки пересечения прямой линии и плоскости, а именно пересечение прямой с многогранником, пересечение многогранника, конуса, цилиндра и любой линейчатой поверхности с плоскостью, пересечение двух многогранников. [c.56]

Итак, построение линии пересечения двух многогранников сводится к решению задачи на пересечение прямой линии с многогранником. В предыдущем параграфе было показано, что для рационального решения этой задачи в одних условиях следует пользоваться проектирующими плоскостями, в других — простейшими секущими. К последним следует прибегать в том случае, если основания обоих многогранников расположены на одной плоскости. Построения оказываются менее сложными, если этой плоскостью является одна из плоскостей проекций. Рассмотрим применение метода простейших секущих плоскостей к построению линии пересечения пирамид и призм. [c.116]

Пример построения такой линии дан на рис. 211. Соединяя вершины пирамид прямой линией, получаем ось пучка простейших секущих плоскостей и находим ее горизонтальный след М. Через точку М приведем следы районных плоскостей Р , Р21/ первого и второго многогранников. Чередование следов указывает на то, что искомая линия будет одной замкнутой. В пересечении примут участие те ребра, горизонтальные следы которых оказались внутри и на сторонах угла, образованного следами Р н и В нашем случае таких ребер три 5,6, 5(С и 8 . Точки входа и выхода каждого из них найдены с помощью простейших секущих плоскостей. [c.123]

ЭМ (эпюра Монжа) № 4 — линия пересечения плоскостей и точки встречи прямой с плоскостью № 5 — действительная величина отрезка прямой и угол его наклона к плоскостям проекций № 6 — тела геометрические № 7 — тела геометрические усеченные № 8 — пересечение многогранника с телом вращения № 9 — взаимное пересечение тел вращения № 10 — полое тело с отверстием № 11 —модель. [c.102]

Чтобы определить точки пересечения ребер призмы DD и ЕЕ с гранями пирамиды, через эти ребра проводят вспомогательные горизонтальные плоскости Q и Qi, которые пересекут пирамиду по треугольникам, горизонтальные проекции которых ghi и klm будут подобны основанию пирамиды. Ребро призмы DD пересечет пирамиду в точках 5 и б, где оно пересекает треугольник GHI. Ребро ЕЕ пересечет пирамиду в точках 7 и S, в которых оно пересекает треугольник KLM. Отметив горизонтальные проекции точек 5, 6, 7 и 8, затем строят их фронтальные проекции. Точки, расположенные на общих гранях призмы и пирамиды, соединяют отрезками прямых, которые будут принадлежать искомой линии пересечения многогранников. Участки линии пересечения, расположенные иа невидимых [c.133]

Пересечение пирамиды с прямой призмой (рис. 56). Боковые ребра призмы проецируются в точки, а боковые ее грани являются горизонтально проецирующими отсеками плоскостей. И в этой задаче, как это было ранее (см. рис. 51 и 52), следует выделить частный случай пересечения, когда одна проекция линии пересечения многогранников известна. [c.45]

VI Многогранники и пересечение их с прямой линией и плоскостью [c.39]

ЛИНИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ. Линия, получающаяся при пересечении двух поверхностей каждая ее точка одновременно принадлежит и той и другой поверхности. Несколько примеров а) линия пересечения двух плоскостей — прямая б) линия пересечения двух сфер — окружность в) линия пересечения поверхностей двух конусов, оси которых параллельны, — гипербола (в общем случае) г) линия пересечения поверхностей двух многогранников — ломаная. [c.57]

Пересечение многогранника с поверхностью вращения. Пересечение многогранника с поверхностью вращения следует рассматривать как ряд задач на пересечение плоскостей (граней) с поверхностью вращения. Поэтому линии пересечения состоят из отдельных участков плоских кривых, а также отрезков прямых. Переход от одного участка линии пересечения к другому происходит в так называемых точках излома, которые расположены на ребрах многогранников, например точки I и 2 на рис. 277. [c.159]

Поэтому задачу— определить линию пересечения поверхности многогранника плоскостью—можно свести к многократному решению задачи по определению линии пересечения двух плоскостей (граней многогранника и секущей плоскости а) или к задаче по нахождению точки встречи прямой (ребер многогранника с плоскостью а). [c.123]

Задача построения линии пересечения двух многогранников сводится к нахождению этих точек. Отсюда метод решения подобной задачи найти точки пересечения (входа и выхода) ребер первого многогранника с гранями второго, а потом наоборот — ребер второго многогранника с гранями первого. Точки пересечения последовательно соединяются прямыми линиями, предварительно определив их видимость, по общему правилу, рассмотренному в предыдущем параграфе (рис. 146, 147). Нахождение точек линии пересечения осуществляется при помощи вспомогательных секущих плоскостей. Секущая плоскость — это плоскость, пересекающая какую-либо поверхность (в данном случае многогранник). При пересечении многогранника секущей плоскостью получают фигуру сечения — многоугольник, прямоугольник, треугольник и др. Если секущая плоскость проведена через прямую — ребро одного многогранника, то пересечение этой [c.105]

Учебник соответствует программе, утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования СССР для машиностроительных, приборостроительных и механико-технологических специальностей высших технических учебных заведений. Согласно этой программе в книге изложены разделы Система ортогональных проекций и Аксонометрические проекции из всего материала, составляющего содержанве начертательной геометрии. Учебник включает в себя сведения по образованию проекций, о точке и прямой линии, о плоскости и их взаимном положении, о преобразовании чертежа способами перемены плоскостей проекций и вращения с примерами решения задач с применением этих способов, об изображении многогранников и пересечении их плоскостью и прямой линией и о пересечении одной многогранной поверхности другою, о кривых линиях и кривых поверхностях, о пересечении кривых поверхностей плоскостью и прямой линией, о пересечении одной кривой поверхности другою, о развертывании кривых поверхностей. [c.2]

Сечение пирамиды или призмы (черт. Ill) может быть построено и с помощью теоремы Дезарга ( 2), если предварительно определена точка пересечения одного из ребер с заданной плоскостью 0L, например точка 1=ЗАг а и прямая т = аГ р (Р — плоскость основания многогранника). В перспективно-коллинеарном соответствии двух плоскостей а и линия т их пересечения является осью коллинеации, а вершина S пирамиды — центром. [c.51]

Так как линии пересечения каждой из вспомогательных проецирующих плоскостей с данной поверхностью и с данной секущей плоскостью являются конкурирующими линиями, то построение точек линии пересечения поверхности с плоскостью производится по существу тем же способом кон-курируюи их линий, который ранее применялся нами при решении позиционных задач с прямыми, плоскостями и многогранниками. [c.150]

Проекциями сечения многогранников, в общем случае, являются MHoroyi ольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны — граням многогранника. Поэтому задачу по определению сечения многогранника можно свести к многократному решению задачи по определению точки встречи прямой (ребер многогранника) с плоскостью или к задаче по нахождению линии пересечения двух плоскостей (грани многогранника и секущей плоскости). [c.131]

Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника сводится к построению линии пересечения многогранника проецирующей плоскостью, в которую заключают данную прямую. На рисунке 6.11 приведено построение проекций е, е и/ ,/точек пересечения прямой с проекциями т п, тп с боковыми гранями пирамиды. Пирамида задана проекциями s s вершины и а Ь с, ab основания. Прямая MN заключена во вспомогательную фронтально-проецируюшую плоскость Г(Г ). Горизонтальные проекции в и/искомых точек построены в пересечении проекции тп с горизонтальными проекциями 1—2 и 2—3 отрезков, по которым плоскость Т пересекает боковые грани пирамиды. Фронтальные проекции е и / определены по линиям связи. [c.80]

Построение линии пересечения поверхностей двух многогравг-ников часто сводится к нахождению точек пересечения ребер каждого из пересекающихся многогранников с гранями другого, т. е, к решению задачи на пересечение прямой линии с плоскостью (см. 23 и 33). В некоторых случаях удобно сразу находить отрезки [c.149]

На рис. 153, а показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей правильной треугольной пирамиды, стоящей на плоскости проекций Н, и прямой треугольной призмы, основание которой расположено в плоскости проекций W. Профильная проекция показывает, что поверхность призмы полностью пересекает поверхность пирамиды, и, следовательно, имеем две ломаные лиции пересечения. Более того, устанавливаем, что поверхность призмы пересекается с левой и правой боковыми гранями пирамиды, а задняя грань пирамиды в пересечении не участвует. Следовательно, линии пересечения представляют собой плоские фигуры — треугольники. Профильные проекции линий пересечения совпадают с профильной проекцией призмы — треугольником /" = 2"-3" = 5"-4" = 6". Для построения двух других проекций линий пересечения необходимо найти проекции точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды. Для определения проекций точек / и II пересечения верхнего ребра воспользуемся горизонтальной плоскостью-посредником Q. Она пересекает поверхность пирамиды по треугольнику АВС, подобному основанию. Его фронтальная проекция а Ь с лежит на следе (Ру), а горизонтальная аЬс определяется посредством линий связи. Отметив горизонтальные проекции 1 п 2 искомых точек, при помощи линий связи строим их фронтальные проекции 1 и 2. Аналогично при помощи плоскости находим проекции точек пересечения III—VI двух других ребер призмы с гранями пирамиды. Заметим, что в плоскости Рг лежит вся нижняя грань боковой поверхности призмы. Поэтому решение этой части задачи можно рассматривать как решение задачи на пересечение двух плоскостей — граней пирамиды и призмы. Соединив последовательно найденные одноименные проекции точек, получаем проекции линии пересечения поверхностей данных многогранников. [c.151]

Построим падающую тень от шеста АВ на предметную плоскость. Для этого из точки 5 проведем луч через точку А до пересечения с продолженной его проекцией аз в точке А . Падающая тень от ш,еста изобразится отрезком аЛ. Из построения видно, что многогранник частично закроет тень от шеста на предметной плоскости и падающая тень его попадет на поверхности многогранника. Для определения тени от шеста найдем линию пересечения плоскости 55Л с многогранником. В сечении получим фигуру 12345. Падающая тень представлена в виде ломаной линии 1 2 А Тень от точки Л получится на пересечении прямой 5Л с прямой 2— . Часть тени на предметной плоскости, закрытой предметом, является мнимой, или недействительной. Таким обра- [c.279]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...