Пересечение многогранника с прямой

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА С ПРЯМОЙ [c.65]

Пересечение многогранника с поверхностью вращения следует рассматривать как совокупность пересечений отдельно взятых граней многогранника с поверхностью вращения. Поэтому линии пересечения таких поверхностей состоят из отдельных участков плоских кривых, а также отрезков прямых. Например, линии пересечения пирамиды с цилиндром (рис. 109) представляют собой один полный и два неполных эллипса. [c.52]

МНОГОГРАННИКИ и ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ИХ С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ И ПЛОСКОСТЬЮ [c.38]

Рассмотрим примеры пересечения многогранника с проектирующей плоскостью. Их решать весьма просто, поскольку одна из проекций сечения вырождается в отрезок прямой линии. [c.86]

ЭМ (эпюра Монжа) № 4 — линия пересечения плоскостей и точки встречи прямой с плоскостью № 5 — действительная величина отрезка прямой и угол его наклона к плоскостям проекций № 6 — тела геометрические № 7 — тела геометрические усеченные № 8 — пересечение многогранника с телом вращения № 9 — взаимное пересечение тел вращения № 10 — полое тело с отверстием № 11 —модель. [c.102]

В результате пересечения плоскостью многогранника получается плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, многоугольник. Вершинами полученного многоугольника будут точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами многоугольника будут линии пересечения его граней с секущей плоскостью. Таким образом, задача на построение линии пересечения многогранника с плоскостью сводится к известным уже задачам на определение точек пересечения прямых с плоскостью (ребер многогранника с секущей [c.107]

Пересечение пирамиды с прямой призмой (рис. 56). Боковые ребра призмы проецируются в точки, а боковые ее грани являются горизонтально проецирующими отсеками плоскостей. И в этой задаче, как это было ранее (см. рис. 51 и 52), следует выделить частный случай пересечения, когда одна проекция линии пересечения многогранников известна. [c.45]

VI Многогранники и пересечение их с прямой линией и плоскостью [c.39]

Пересечение многогранника с поверхностью вращения. Пересечение многогранника с поверхностью вращения следует рассматривать как ряд задач на пересечение плоскостей (граней) с поверхностью вращения. Поэтому линии пересечения состоят из отдельных участков плоских кривых, а также отрезков прямых. Переход от одного участка линии пересечения к другому происходит в так называемых точках излома, которые расположены на ребрах многогранников, например точки I и 2 на рис. 277. [c.159]

Линией пересечения многогранника плоскостью в общем случае является плоский многоугольник. Такой многоугольник можно построить или по точкам пересечения с плоскостью -ребер многогранника, или по линиям пересечения граней многогранника с плоскостью. Задача сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью или к определению линий пересечения плоскостей. [c.113]

Первый способ позволяет определить линию пересечения многогранников по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и наоборот. Это известная задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью. [c.117]

Вершины многоугольников являются точками пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и ребер второго с гранями первого. Стороны многоугольников строятся как отрезки прямых, соединяющих только те пары вершин, которые принадлежат одной и той же грани первого многогранника, а также и одной грани второго многогранника. [c.117]

Из четырех вертикальных ребер призмы только одно ребро пересекает тетраэдр. Находим точки его пересечения с гранями тетраэдра. Через это ребро и вершину ss тетраэдра проводим вспомогательную гори-зонтально-проецирующую плоскость Nh. Она пересекает тетраэдр по прямым, которые пересекают ребро призмы в точках 77 и 8S — в точках пересечения ребра призмы с гранями тетраэдра. Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем две линии пересечения многогранников. Одна из них представляет собой пространственный многоугольник 137581, ГЗ 7 5 Н 1, другая — треугольник 246, 2 4 6 . [c.118]

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ, ПЛОСКОСТЬЮ И МНОГОГРАННИКОМ [c.61]

Глава XI ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ И ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ и МНОГОГРАННИКОМ [c.73]

Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, вершинами которого служат точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами — отрезки прямых пересечения граней многогранника с той же плоскостью. [c.61]

Поэтому построение сечения многогранника плоскостью сводится к многократному решению задачи о пересечении прямой с плоскостью или же к многократному решению задачи о пересечении двух плоскостей ( 10). Так как решение первой задачи проще, нежели решение второй, то обычно при построении сечения многогранника строят вершины сечения как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью. После построения вершин сечения следует соединить отрезками прямых каждые две вершины, лежащие в одной и той же грани многогранника. При этом стороны сечения, лежащие в видимых гранях, будут видимы, а лежащие в невидимых гранях — невидимы. [c.61]

Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника производится тем же приемом, что и построение точки пересечения прямой с плоскостью, но конкурирующая с данной прямой линия проводится не на плоскости, а на поверхности многогранника. Поэтому эта линия будет представлять собой ломаную линию, сторонами которой будут служить отрезки прямых, лежащих в гранях многогранника и конкурирующих с данной прямой. Точки пересечения данной прямой с вспомогательной линией и будут точками пересечения прямой с поверхностью многогранника. Если прямая не будет пересекаться с вспомогательной линией, то это означает, 4to прямая не пересекается с многогранником. [c.65]

Вершинами линии пересечения многогранников являются точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго, а также ребер второго многогранника с гранями первого. Сторонами или звеньями линии пересечения являются отрезки прямых, по которым пересекаются грани обоих многогранников. [c.67]

Поэтому построение вершин линии пересечения многогранников сводится к многократному решению задачи о пересечении прямой с плоскостью, а построение сторон этой линии — к многократному решению задачи о пересечении двух плоскостей. Обычно предпочитают находить вершины линии пересечения, а ее стороны находят соединением соответствующих вершин. При этом очевидно, что только те пары вершин можно соединять отрезками прямых, которые лежат в одной и той же грани первого многогранника и в то же время в одной и той же грани второго многогранника. Если же рассматриваемая пара вершин хотя бы в одном многограннике принадлежит разным граням, то такие вершины не соединяются. [c.67]

Геометрическая фигура, получающаяся в результате пересечения многогранника плоскостью, называется сечением многогранника. Очевидно, сечение представляет собой плоский многоугольник с его внутренней областью. В частном случае эти многоугольники могут распадаться на несколько многоугольников, вырождаться в прямые и точки. [c.40]

Линия пересечения многогранников определяется по точкам пересечения ребер каждого из них с гранями другого многогранника или построением линией пересечения граней многогранников. Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем линию пересечения многогранников. [c.9]

Для построения линии пересечения двух фигур чаще всего применяют метод вспомогательных плоскостей или поверхностей (посредников). В качестве посредников применяют плоскости или шаровые поверхности. Задачи решаются в такой последовательности проводят несколько удачно выбранных посредников. Каждый посредник пересекает заданные поверхности по простейшим линиям (прямым или окружностям) общие точки взаимного пересечения полученных линий принадлежат одной и другой поверхностям, т. е. принадлежат линии их пересечения. Найдя достаточное количество точек, соединяют их плавной кривой. Если пересекаются два многогранника, то при помощи посредников определяют точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго. Полученные точки соединяют между собой в определенной последовательности. [c.137]

Плоские сечения многогранников представляют собой замкнутые фигуры, вершины и стороны которых определяются пересечением заданной плоскости соответственно с ребрами и гранями данного геометрического тела. Таким образом, для построения сечений находят или точки пересечения ребер с заданной плоскостью или строят прямые, по которым плоскость пересекается с гранями тела. Первый способ называют способом ребер, второй — способом граней. Покажем применение их на следующих конкретных примерах. [c.97]

Полученные на рис. 188 точки отмечают на сетке с учетом того, на каком ребре одного многогранника и грани другого находится данная точка. Так, точка I, являющаяся точкой пересечения ребра с гранью S DF, изображается на вертикальной прямой А внутри полосы, ограниченной горизонтальными пря- [c.106]

Задача, которой посвящен настоящий параграф, является одной из основных задач начертательной геометрии. От того, насколько хорошо она будет усвоена, зависит успешное изучение последующего материала. Достаточно перечислить некоторые из задач курса, которые в конечном счете сводятся к определению точки пересечения прямой линии и плоскости, а именно пересечение прямой с многогранником, пересечение многогранника, конуса, цилиндра и любой линейчатой поверхности с плоскостью, пересечение двух многогранников. [c.56]

Два многогранника могут пересекаться по одной или нескольким замкнутым ломаным линиям, для построения которых находят сначала точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго, а затем — ребер второго с гранями первого. Соединяя определенным образом полученные точки, строят искомую ломаную, каждое звено которой представляет собой прямую пересечения двух граней — грани первого многогранника с гранью второго. [c.116]

Каждая линия искомого контура будет представлять собой пересечение лучевой плоскости, проходящей через ребро неосвещенной грани одного многогранника, с освещенной гранью второго. Таким образом, в основе всех построений будет определение тени прямой на плоскости. Такая задача рассматривалась в 30, где для ее решения был привлечен метод обратных лучей. Сущность этого метода иллюстрирует рис. 335, на котором показано построение тени [c.227]

Построение линии пересечения кривой поверхности с гранной сводится к построению ряда плоских кривых-линий пересечения отдельных граней многогранника с кривой поверхностью и к определению точек пересечения его рёбер с этой поверхностью, т.е. к решению рассмотренных выше задач на пересечение тговерхности с ттоскостью и на пересечение поверхности с прямой линией. [c.95]

Задачу решаем в такой последовательности (рис. 164). Через прямую EF проводим вспомогательную плоскость Р, обычно проецирующую. Строим фигуру сечения многогранника этой вспомогательной плоскостью. Точки пересечения сторон многоугольника сечения с прямой являются точками пересечения прямой с многогранником. Если прямая EiFi не пересекает многоугольник сечения, то она не пересекает и многогранник. [c.115]

След секущей плоскости пересекает основание пирамиды с вершиной S в двух точках, а сама секущая плоскость пересекаеп грани этой пирамиды по двум прямым. Прямые пересекают ребро Sif в двух точках, которые принадлежат линии пересечения многогранников. [c.119]

Две многог ранные поверхности в общем случае пересекаются по пространственной замкнутой ломаной линии. В частных случаях эта ломаная может расп.здаться гга две и более замкнутые ломангяе линии. Вершинами ломаной являются точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Стороны ломаной представляют собой отрезки прямых, по которым пересекаются грани многогранников. [c.116]

Так как линии пересечения каждой из вспомогательных проецирующих плоскостей с данной поверхностью и с данной секущей плоскостью являются конкурирующими линиями, то построение точек линии пересечения поверхности с плоскостью производится по существу тем же способом кон-курируюи их линий, который ранее применялся нами при решении позиционных задач с прямыми, плоскостями и многогранниками. [c.150]

Проекциями сечения многогранников, в общем случае, являются MHoroyi ольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны — граням многогранника. Поэтому задачу по определению сечения многогранника можно свести к многократному решению задачи по определению точки встречи прямой (ребер многогранника) с плоскостью или к задаче по нахождению линии пересечения двух плоскостей (грани многогранника и секущей плоскости). [c.131]

Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника сводится к построению линии пересечения многогранника проецирующей плоскостью, в которую заключают данную прямую. На рисунке 6.11 приведено построение проекций е, е и/ ,/точек пересечения прямой с проекциями т п, тп с боковыми гранями пирамиды. Пирамида задана проекциями s s вершины и а Ь с, ab основания. Прямая MN заключена во вспомогательную фронтально-проецируюшую плоскость Г(Г ). Горизонтальные проекции в и/искомых точек построены в пересечении проекции тп с горизонтальными проекциями 1—2 и 2—3 отрезков, по которым плоскость Т пересекает боковые грани пирамиды. Фронтальные проекции е и / определены по линиям связи. [c.80]

Сечение многогранника может быть ограничено только отрезками прямых. Число сторон такого многоугольника равно числу граней многогранника, пересекаемых секущей плоскостью. Вершинами многоугольника сечения являются точки пересечения рёбер многогранника с секущей плоскостью. Следовательно, число верпшн многоугольника равно числу рёбер многогранника, пересекаемых секущей плоскостью. [c.89]

Пересечение двух пирамид. Простейишя секущая плоскость должна пересекать обе пирамиды по треугольникам. Это условие окажется выполненным, если плоскость будет проходить через прямую 5,5,, соединяющую вершины пирамид (рис. 188). Все секущие плоскости, с помощью которых будет построена линия пересечения многогранников, образуют пучок, осью которого является прямая 5,5,. Пусть обе пирамиды, изоб- [c.105]

Построение линии пересечения поверхностей двух многогравг-ников часто сводится к нахождению точек пересечения ребер каждого из пересекающихся многогранников с гранями другого, т. е, к решению задачи на пересечение прямой линии с плоскостью (см. 23 и 33). В некоторых случаях удобно сразу находить отрезки [c.149]

На рис. 153, а показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей правильной треугольной пирамиды, стоящей на плоскости проекций Н, и прямой треугольной призмы, основание которой расположено в плоскости проекций W. Профильная проекция показывает, что поверхность призмы полностью пересекает поверхность пирамиды, и, следовательно, имеем две ломаные лиции пересечения. Более того, устанавливаем, что поверхность призмы пересекается с левой и правой боковыми гранями пирамиды, а задняя грань пирамиды в пересечении не участвует. Следовательно, линии пересечения представляют собой плоские фигуры — треугольники. Профильные проекции линий пересечения совпадают с профильной проекцией призмы — треугольником /" = 2"-3" = 5"-4" = 6". Для построения двух других проекций линий пересечения необходимо найти проекции точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды. Для определения проекций точек / и II пересечения верхнего ребра воспользуемся горизонтальной плоскостью-посредником Q. Она пересекает поверхность пирамиды по треугольнику АВС, подобному основанию. Его фронтальная проекция а Ь с лежит на следе (Ру), а горизонтальная аЬс определяется посредством линий связи. Отметив горизонтальные проекции 1 п 2 искомых точек, при помощи линий связи строим их фронтальные проекции 1 и 2. Аналогично при помощи плоскости находим проекции точек пересечения III—VI двух других ребер призмы с гранями пирамиды. Заметим, что в плоскости Рг лежит вся нижняя грань боковой поверхности призмы. Поэтому решение этой части задачи можно рассматривать как решение задачи на пересечение двух плоскостей — граней пирамиды и призмы. Соединив последовательно найденные одноименные проекции точек, получаем проекции линии пересечения поверхностей данных многогранников. [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...