Жидкость второго порядка

Уравнение (4-3.23) представляет собой приближение второго порядка для общего уравнения состояния простых жидкостей в смысле, разъясненном выше. С другой точки зрения это уравнение является уравнением состояния некоторого ограниченного класса жидкостей, называемых жидкостями второго порядка . В оставшейся части данного раздела мы будем рассматривать лишь это уравнение состояния, которое наиболее часто используется среди других возможных дифференциальных уравнений. Кратко рассмотрим результаты, полученные на основании этого уравнения для реологических течений, изученных в общем случае в гл. 5. [c.214]

Чтобы вычислить комплексную вязкость жидкости второго порядка, рассмотрим некоторое произвольное периодическое [c.214]

Синусоидальные колебания между параллельными пластинами можно изучить для жидкостей второго порядка без использования приближения малых деформаций [4]. В частности, установлено, что разности нормальных напряжений колеблются в фазе с квадратом градиента скорости. [c.215]

При распространении этой методики на течения неньютоновских жидкостей возникает ряд проблем. Во-первых, необходимо выбрать некоторое уравнение состояния, причем этот выбор представляется сомнительным сам по себе. Проводились исследования для жидкостей второго порядка [46—48] и для жидкостей максвелловского типа [41, 49, 50]. [c.298]

Жидкость второго порядка 146, 298 [c.304]

Поскольку для несжимаемого материала члены, коэффициентами при которых служат Я и и, обращаются в нуль и поскольку, кроме того, напряжения в нем определены с точностью до произвольного гидростатического давления р и потому члены, коэффициенты при которых суть ю, 2q, зо, можно включить в р, — для несжимаемой жидкости второго порядка мы имеем просто [c.240]

Переходя в соотношениях (24) к частному случаю жидкости второго порядка, мы видим, что вискозиметрические функции такой жидкости даются формулами [c.241]

Как мы убедились в V. 5, произвольная несжимаемая жидкость может совершать стационарное прямолинейное движение в прямой трубе, только если ее сечение имеет специальную форму, а прн произвольном сечении это возможно лишь для некоторых специальных типов жидкости. Как жидкость Навье — Стокса, так и жидкость второго порядка принадлежат к этому специальному типу, поскольку их вискозиметрические функции удовлетворяют соотношению (V. 5-22). [c.243]

Шаг 2. Решение для жидкости второго порядка. [c.247]

Шаг 4. Приближенное решение для жидкости четвертого порядка. Результат, полученный на втором шаге и выражаемый соотношением (17), является для жидкости второго порядка точным решением, если просто отбросить в нем поправочный член. В то же время результат, который мы только что получили, для общей жидкости третьего порядка является лишь приближенным. Действительно, если мы попытаемся согласовать поле скоростей (25) без поправочного члена с теорией жидкости третьего или четвертого порядка, то не сможем этого сделать. Функция сдвиговой вязкости такой жидкости дается формулой (VI. 1-24), и мы находим [c.249]

Как мы отметили в начале 4-го шага, вторичное течение возникает даже в жидкостях 3-го порядка, если Рг + Рз О, поскольку при Yi==Y2 = Уз = Y4 = Y5 = Y6 = 0 (VI. 3-34) дает, вообще говоря, ненулевое значение для б и потому в случае сечения общего вида не обращающуюся в нуль функцию вида <74. Единственное исключение составляют случаи, когда 2 1 + 2 = 0 или Р2 + рз = 0. В первом для жидкости второго порядка в силу (VI. 1-24)г имеем ai = 0 во втором в силу (VI. 1-24) 1 (i = (io и ai пропорционально В обоих этих случаях выполняется специальное соотношение (V. 5-22), так что возможно прямолинейное движение. Однако в общем случае соотношение (VI.3-35), если в нем 0(а ) и у заменить нулями, не дает точного решения. [c.252]

Конечно, для навье-стоксовой жидкости и для жидкости второго порядка все течения определяются вискозиметрической информацией, и первоначально цель вискозиметрии состояла в том, чтобы установить полностью природу жидкости и, следовательно, определить в принципе все течения, которые она может совершать. Для жидкостей общего вида вторичные течения в трубах представляют собой тот единственный известный до сих пор случай, когда результаты экспериментов с вискозиметрическими течениями позволяют в принципе описать явления, которые не могут иметь места в вискозиметрических течениях. Отметим, что функция 02, не оказывающая никакого влияния на возможность или невозможность существования прямолинейного течения в случае жидкостей третьего или более высокого порядка, никак не влияет и на действительно возникающее течение. [c.253]

Нестационарное прямолинейное течение несжимаемой жидкости второго порядка [c.255]

Рассмотрим теперь некоторые зависящие от времени сдвиговые течения несжимаемой жидкости второго порядка, определяющее соотношение которой имеет вид (VI. 1-19), где ц., ai и 2 — постоянные. Конечно, мы будем предполагать, что сдвиговая вязкость ц положительна. На характер решений оказывает большое влияние знак коэффициента i. Есть серьезные основания принять предположение, что [c.255]

Заметим, что — i/ц имеет размерность времени. Таким образом, можно ожидать, что у жидкости второго порядка будет как-то проявляться наличие собственного временного масштаба. И действительно, в тех специальных течениях, которые мы сейчас рассмотрим, проявятся некоторые эффекты существования такого собственного времени. Конечно, эти эффекты должны исчезать в частном случае теории Навье —Стокса, поскольку в этой теории нет никакого характеризующего материал параметра, имеющего размерность времени. [c.255]

Далее, решение v x,t) неограничено при оо. Следовательно, если для жидкости, заключенной между двумя неподвижными пластинками л = О и х= й, для некоторого начального распределения скоростей у(х, 0) существует ограниченное решение v x, 1), то для другого начального поля скоростей у (х, 0), отличающегося от у(а , 0) на произвольно малую величину, существует бесконечно много неограниченных решений. В этом смысле внутреннее трение, присущее жидкости второго порядка, может не гасить, а усиливать колебания [c.257]

Из только что доказанной теоремы о неустойчивости ясно, что жидкость второго порядка не дает хорошей модели для описания общего поведения реальных жидкостей. Тем не менее, мы привели доводы в пользу того, что жидкость второго порядка можно рассматривать как улучшенную (в смысле последовательных приближений) модель по сравнению с моделью навье-стоксовой жидкости. Как это согласовать [c.258]

На самом деле здесь нет противоречия. Теория Навье — Стокса появляется на первом этапе построения приближенных решений для замедленных движений. Кроме того, на протяжении вот уже более века она дает прекрасные результаты для многих (хотя и не для всех) физических жидкостей. Для медленных течений, в пределе, модель жидкости второго порядка обеспечивает лучшее приближение, чем модель Навье — Стокса. Но этот факт не дает никаких оснований для того, чтобы считать, что она дает лучшее приближение для течений общего вида. [c.258]

Во-первых, возможно, что для некоторых частных физических жидкостей теория Навье—Стокса в действительности является точной. Тогда а = аг = О, и приведенные выше возражения против модели жидкости второго порядка отпадают. Однако объяснение такого рода опирается на гипотезы относительно результатов эксперимента и потому не может приниматься всерьез. [c.258]

Приближение второго порядка к функционалу для простых жидкостей также принимает форму интегрального уравнения. Оно было приведено ранее в виде соотношения (4-3.25), которое [c.220]

Разбирая процесс кристаллизации твердого раствора по диаграмме, приведенной на рис. 96, мы видели, что состав твердого раствора и жидкости изменяется непрерывно. Ранее выделившиеся кристаллы более богаты тугоплавким компонентом, чем образовавшиеся позднее при меньшей температуре. Твердая фаза в процессе равновесной кристаллизации должна быть все время однородной, поэтому предполагается, что процесс выравнивания состава твердой фазы (путем диффузии) не будет отставать от процесса кристаллизации. Однако обычно при кристаллизации твердых растворов первые кристаллы имеют более высокую концентрацию тугоплавкого компонента, чем последующие. Вследствие этого ось первого порядка дендрита содержит больше тугоплавкого компонента, чем ось второго порядка, и т. д. Междендритные пространства, кристаллизовавшиеся последними, содержат наибольшее количество легкоплавкого компонента, и поэтому они самые легкоплавкие. Описанное явление носит название дендритной ликвации. Состояние дендритной ликвации является неравновесным, неоднородный раствор имеет более высокий уровень свободной энергии, чем однородный. При длительном нагреве сплава дендритная ликвация может быть в большей или меньшей степени устранена диффузией, которая выравнивает концентрацию во всех кристаллах. [c.138]

Значения постоянных Хх и Ха могут быть определены из явного вида функции ф (Т ). Наиболее хорошо описывает экспериментально наблюдаемые профили скорости жидкости модель, определяющая эффективную вязкость вихрей как полином второго порядка по степеням Г [75]. В этом случае соотношение (5. 5. 50) имеет вид [c.220]

Мы не станем выписывать громоздких общих уравнений, получающихся при подстановке полученных здесь выражений для i и q в уравнения (58,3), (58,6). Ограничимся лишь случаем, когда нет никакого существенного градиента давления, а концентрация и температура настолько мало меняются в жидкости, что коэффициенты в выражениях (59,11) и (59,12), являющиеся в общем случае функциями от с и Т, можно считать постоянными. Будем, кроме того, считать, что в жидкости нет никакого макроскопического движения, помимо того, которое может быть вызвано самим наличием градиентов температуры и концентрации. Скорость такого движения будет пропорциональна этим градиентам, и потому в уравнениях (58,3) и (58,6) члены, содержащие скорость, оказываются величинами второго порядка малости и могут быть опущены. Величиной второго порядка является также и член iV i в (58,6). Таким образом, остается [c.326]

Выведем выражение для энергии звуковой волны. Согласно общей формуле энергия единицы объема жидкости равна ре + ру /2. Подставим сюда р = ро + р. е = ео + е, где буквы со штрихом обозначают отклонения соответствующих величин от их значений в неподвижной жидкости. Член p oV2 является величиной третьего порядка малости. Поэтому, если ограничиться точностью до членов второго порядка включительно, получим [c.356]

Таким образом, динамика процесса абсорбции в насадочном аппарате в режиме идеального вытеснения без труда может быть описана с помощью формул, аналогичных уже полученным для противоточного теплообменника. Значительно сложнее исследовать динамику насадочного абсорбера в том случае, когда нельзя пренебречь продольным перемешиванием. При использовании одно-параметрической диффузионной модели абсорбер описывается уравнениями (1.2.30), (1.2.31) с граничными условиями (1.2.37) (считаем, что расходы по жидкости и газу постоянны). Как и раньше, будем полагать, что функция 0 (0 ) имеет линейный вид 0д = Г01. При этом функциональный оператор А, задаваемый с помощью уравнений (1.2.30), (1.2.31), граничных условий (1.2.37) и нулевых начальных условий будет линейным. Но поскольку уравнения математической модели являются уравнениями в частных производных второго порядка, исследовать этот линейный оператор очень трудно. С помощью применения преобразования Лапласа по t к уравнениям и граничным условиям можно получить выражение для передаточных функций. Однако они будут иметь столь сложный вид по переменной р, что окажутся практически бесполезными для описания динамических свойств объекта. Рассмотрим математическую модель насадочного абсорбера с учетом продольного перемешивания при некоторых упрощающих предположениях. Предположим, что целевой компонент хорошо растворяется в жидкости, и поэтому интенсивность процесса массообмена между жидкостью и газом пропорциональная концентрации целевого компонента в газе. В этих условиях можно считать 0 (в ) 0. Физически такая ситуация реализуется, например, при хемосорбции, когда равновесная концентрация поглощаемого компонента в газовой фазе равна нулю. При eQ( i,) = 0 уравнение (1.2.30) становится независим мым от уравнения (1.2.31), поскольку в (1.2.30) входит только функция 0g(->i , t)- При этом для получения решения o(Jf, t), системы достаточно решить одно уравнение (1.2.30) функцию L x,t), после того как найдена функция можно найти [c.206]

Экстензиометрические материальные функции (уравнения (5-3.9) и (5-3.10)) для жидкости второго порядка имеют вид [4] [c.214]

Заметим, что аналогичное замечание можно было бы сделать в предыдущем разделе при рассмотрении уравнений состояния дифференциального типа. Мы могли рассмотреть жидкость второго порядка, аналогичную и в то же время отличающуюся от той, которая определяется уравнением (6-2.4). Используя вместо тензоров Ривлина — Эриксена тензоры ускорения Уайта — Метцнера, мы могли постулировать следующее уравнение состояния [c.216]

Исследования течений в пограничном слое неньютоновских жидкостей довольно обширно представлены в научной литературе. Однако все они явно или неявно относятся к вязкому пограничному слою. Сривастава и Маити [19] исследовали течение в пограничном слое жидкости второго порядка. Выбор такого уравнения состояния был, по-видимому, нодсказан приближением для низких чисел Вейссенберга, т. е. приближением вязкого пограничного слоя. Главный результат их работы состоит в доказательстве того, что точка отрыва смещается в направлении передней критической точки при росте числа We. [c.279]

Более подробный и более общий анализ принадлежит Денну 120], который обсудил ряд результатов предыдущих исследователей. Денн начал с того, что взял уравнение состояния для жидкостей второго порядка, но коэффициенты Т , Ро и 7о он предположил функциями величины модуля D. Не говоря уже о концептуальных трудностях, связанных с применением такого уравнения (эти трудности обсуждались в гл. 6), результаты его анализа не очень обнадеживают. Было получено дифференциальное уравнение для Vx х, у), содержащее неньютоновские члены, множителем в которых был упругий параметр е, определенный соотношением [c.279]

На первый взгляд может показаться странным, что ньютоновское уравнение состояния, которое появляется как асимптотическое решение общей теории простых жидкостей (и получается из уравнения (7-7.9) при Л 0), предсказывает в отношении распространения разрывов результаты, качественно отличающиеся от тех, которые следуют из теории простой жидкости. Однако в действительности это лишь кажущийся парадокс, так как методика, посредством которой ньютоновское уравнение получается из теории простой жидкости, налагает определенное ограничение на рассматриваемые предыстории деформирования, требуя их непрерывности в момент наблюдения (см. обсуждение, следующее за уравнением (6-2.3)). Это условие в сильнейшей степени нарушается в рассмахриваемой задаче. По существу, аналогичные трудности возникают для любого типа уравнения состояния /г-го порядка. Они подробно рассматривались в работе Колемана и др. [44] для жидкости второго порядка. Уравнение движения жидкости второго порядка в рассматриваемом течении имеет вид [c.296]

Как было указано Крейком [51], этот факт явился причиной некоторых парадоксальных результатов, полученных в работах [47, 48]. Действительно, не следует ожидать, что реологическое соотношение, лежащее в основе жидкости второго порядка, даст существенные результаты для больших волновых чисел, соответствующих малым временным масштабам возмущения. Поэтому, применяя линеаризованное уравнение состояния максвелловского типа, следует ожидать, что это также приведет к ситуациям, когда число Деборы возмущения не мало. С другой стороны, если не подвергать лР1неаризации член, описывающий напряжение, то окажется невозможным применение классической методики анализа устойчивости, поскольку основное уравнение становится нелинейным относительно переменных возмущения. [c.298]

Формула Беркера (27) служит еще одной иллюстрацией специальной природы несжимаемых жидкостей второго порядка. Сдвиговое усилие, действующее со стороны такой жидкости на неподвижную стенку, оказывается в установившемся движении таким же, какое создавала бы жидкость Навье —Стокса с той же сдвиговой вязкостью ц при движении с тем же спином. Конечно, отсюда отнюдь не следует, что в некоторой краевой за- [c.242]

Таким образом, поле скоростей, получаемое по теории Навье — Стокса, дает решение нашей задачи с точностью до О(а ). Для жидкостей второго порядка, как отмечалось в предыдущем параграфе, прямолинейное течение возможно, поскольку выполняется условие (VI. 5-22). Фактически поле скоростей навье-стоксова решения дает точное решение и для жидкости второго порядка — поправочные члены в (14) и (17) трждественно обращаются в этом случае в 0. Конечно, для того чтобы то же самое течение в жидкости второго порядка имело место, в ней должны действовать нормальные усилия, которых не дает теория Навье — Стокса. [c.248]

Результаты этого упражнения показывают, что звиду наличия ненулевого значения а появляется критическая частота сосги, которой нет в теории Навье — Стокса. По сравнению с навье-стоксовой жидкостью той же сдвиговой вязкости ц, жидкость второго порядка испытывает меньший сдвиг при том же возбуждении, но зато сдвиговое движение, которое возникает, распространяется в удаленные части жидкости с меньшим затуханием. [c.257]

Колеман, Даффин и Мизел обнаружили, что все сдвиговые течения жидкости второго порядка, для которой выполняется неравенство (1), неустойчивы в смысле, который мы сейчас разъясним. Мы рассмотрим только случай, когда с 1) =0. [c.257]

Рис. 15. Линейные и нелпнейные второго порядка колебания пузырька газа в жидкости.

Упомянем, что гидродинамические уравнения несжимаемой вязкий жидкости для любого стационарного осесимметричного движения, в котором скорость убывает с расстоянием как /г, могут быть сведены к одному обыкновенному линейному дифференциальному уравнению второго порядка, м. Слезкин Н. А.— Уч. зап. МГУ, 1934, вып. И Прикл. мат, и мех., 1954, [c.121]

Эта величина, вообще говоря, отнюдь не обращается в нуль. Но отличный от нуля полный импульс означает, что имеет место перенос вещества. Мы приходим к результату, что распространение звукового пакета сопроволвдается переносом вещества жидкости. Это — эффект второго порядка, поскольку q есть величина второго порядка. [c.359]

Соответствующие общие уравнения движения отлпча)отся от уравнений, полученных в 12, лишь тем, что изменеиия величин при движении не должны предполагаться малыми, как это делалось в 12 при изучении длинных гравитационных волн малой амплитуды в связи с этим в уравнении Эйлера должны быть сохранены члены второго порядка по скорости. В частности, для одномерного движения жидкости в канале, зависящего только от одной координаты х (и времени), эти уравнения имеют вид [c.569]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...