Теорема Ляпунова о неустойчивости движения

Теорема (Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости движения). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы что существует функция V такая, что ее производная, в силу этих уравнений, в области (1) может быть представлена в виде [c.527]

Теоремы Ляпунова о неустойчивости движения обобщены Н. Г. Четаевым, доказавшим следующую теорему [c.38]

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ. Есм [c.422]

Теорема Ляпунова о неустойчивости движения 423 [c.423]

Выберем число ае так, чтобы для j = 1, 2,..., к выполнялись неравенства О < ае < 2rj. Тогда при достаточно малых /х функция W будет определенно-отрицательной. Но функция У, очевидно, знакопеременная и, следовательно, не является знакопостоянной, противоположного с W знака. На основании второй теоремы Ляпунова о неустойчивости получаем отсюда вывод о том, что при наличии хотя бы одного корня характеристического уравнения с положительной вещественной частью невозмущенное движение неустойчиво. Теорема доказана. [c.532]

И. Г. Четаев, развивая метод функций Ляпунова, получил теорему, обоб-ш аюш ую две теоремы Ляпунова о неустойчивости Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти функцию V, ограниченную в области У > О, суш ествуюш ую при всяком для [c.129]

Неавтономные системы. В этом случае функции Ляпунова так же, как и правые части уравнений возмущенного движения (22), явно зависят от времени. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости ие меняется, но в условия теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости вводится дополнительное требование о существовании бесконечно малого высшего предела функции V (t, х). [c.38]

Ляпунову принадлежит еще одна теорема о неустойчивости положения равновесия. Обобщение этих теорем дал Н. Г. Четаев (эти теоремы, а также доказательство сформулированной теоремы Ляпунова можно найти в курсах по устойчивости движения). [c.460]

Вопросы существования функций V (х, t), удовлетворяющих условиям теорем III и IV Ляпунова, решены Н. Н. Красовским (1954, 1956, 1959). Выяснилось, что теорема III обратима не всегда, а теорема IV всегда обратима. Именно, было доказано, что функция V (х, t) из теоремы III существует тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия 1) невозмущенное движение х — О неустойчиво 2) существует такое число е > 0,что, каково бы ни было число т] -< е, можно указать такое число Т (rj) > О, что х (t ) >> е в некоторый момент времени t — [c.20]

Если бы гироскопические силы отсутствовали, то положение равновесия = 2 = О оно отвечает невозмущенному движению (12)) было бы неустойчивым, причем при а < 7з степень неустойчивости четная, а при < а 2 нечетная. Поэтому из теоремы 2 следует, что при < а 2 гироскопическая стабилизация невозможна, и, следовательно, в этом случае движение (12) неустойчиво по Ляпунову. [c.542]

Ил ус.човий теоремы следует, что а., положение равновесия изолированное). Поэтому среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с поло-пштельной вещественной частью (слт. пояснение к формулам (4.23)). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова о неустойчивости движения по уравнениям первого приближения (см. 4.3), и того обстоятельства, что свободный член flj,, характеристического уравнения не зависит от гироскопических сил. [c.172]

Первая теорема Ляпунова о неустойчивости движения. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти функцию F, допускающую бесконечно малый высший предел, производная которой V в силу этих уравнений есть функция зиакоопределенная, а сама функция V в окрестности нуля переменных х и при всех t V to, где to сколь угодно велико, может принимать зна- [c.219]

Теоремы о неустойчивости. В этом пункте рассмотрены три теоремы о неустойчивости движения, полученные Ляпуновым и Че-таевым. Исторически сначала были получены две теоремы Ляпунова. Эти теоремы были обобщены Четаевым, получившим теорему, которая нашла широкое применение при решении задачи об устойчивости в конкретных задачах механики, а также в теоретических исследованиях вопросов устойчивости. Мы сначала изложим теорему Четаева и затем выведем из нее обе теоремы Ляпунова о неустойчивости движения. [c.524]

Теорема (Первая теорема Ляпунова о неустойчивости движения). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция V х Ж2,..., Хт) такая, что ее производная V в силу этих уравнений есть функция знакоопределенная, а сама функция V не является знакопостоянной, противоположного с V знака, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.526]

Как ужо отмечалось, теорема Четаева является обобщением двух теорем Ляпунова о неустойчивости движения. Принедем одну из iinv. [c.51]

При достаточно малых по модулю значениях и и I производная Г будет не знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных ци t. Поэтому, пользуясь выбранной фунцией V (2.54), мы не можем применить теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости II неустойчивости движения. Ненрименима к ней и теорема Четаева о неустойчивости движения. Воспользуемся теоремами Красовского. В качестве многообраапя К возьмем совокупность точек, для которых и Ф О, i = О (на плоскости (i, и) это ось и). Покажем, что многообразию К не принадлежат целые траектории системы. Для этого внесем в уравнение движения (2.53) значения переменных i и и, определяющих К. При t = О и и О эти уравнения примут вид [c.74]

Одними из первых методом функций Ляпунова были решены задача Эйлера об устойчивости прямолинейной формы равновесия тонкого стержня постоянного сечения, находящегося под действием продольной постоянной нагрузки (Н. Г. Четаев, 1946) и задача об устойчивости круговой формы однородной гибкой нерастяжимой нити в отсутствие внешних сил (П. А. Кузьмин, 1948—1949). В обеих задачах введено счетное множество обобщенных координат системы, причем для второй из названных задач рассматривается обоснование перехода от конечного числа переменных к бесконечному введением гильбертова пространства. Построением функции Ляпунова была также решена задача об устойчивости эллипсоидов Маклорена вращающейся гравитирующей жидкости по отношению к конечному числу переменных, характеризующих простое, по Лиувиллю, движение жидкости (В. В. Румянцев, 1959). Применение теоремы Ляпунова о неустойчивости позволило строго доказать неустойчивость вихревых цепочек Кармана (Г. В. Каменков, 1934 Н. Е. Кочин, 1939). [c.30]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

В работе [76] Неймарком доказана теорема, представляющая собой перенесение теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости на точечные отображения. Нам в дальнейшем, однако, потребуется теорема о неустойчивости неподвиншых точек точечного отображения, аналогичная теорема Четаева о неустойчивости движения. Докажем следующую теорему, представляющую собой перенесение теоремы Четаева на точечные отображения. [c.108]

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРЙ БЛИЖЕНИЮ. Если среди корней характеристического уравне ния имеется по крайней мере один с положительной вещест венной частью, то невозмущенное движение неустойчиво, неза висимо от членов высших порядков. [c.446]

Ляпунову принадлежат две теоремы о неустойчивости движения. В 30-х годах нашего столетия Четаев обобщил эти теоремы и доказал теорему, из которой как частный случай вытекают теоремы Ляпунова. Поэтому мы начнем с ия.11оя ения теоремы Четаева. [c.49]

Теорема Ляпунова о п(-усто (чивости по первому приближению. Если среди корней характеристического уравнения найдется хотя бы один с положительной веи ествен-ной частью, то невоамущенное движение неустойчиво независимо от членов выше первого порядка малости. [c.103]

При выполнении условий теоремы Ляпунова об устойчивости изображающая точка может двигаться по поверхности уровня V (х) = С (рис. 11,5), оставаясь в заданной окрестности начала координат. Если выполняются условия первой теоремы о неустойчивости, то изображающая точка при своем движении может пересекать noBepxHO Tir V (х = С изнутри нарум<у, удаляясь от начала координат (рис. 11,й). [c.38]

Ляпуновым были предложены теоремы о неустойчивости невозмущенного движения. Эти теоремы были обобщены Н. Г. Четае-вым, предложившим теорему, более пригодную для решения технических задач. [c.578]

Подобная постановка задачи возможна и в проблемах устойчивости движения сплошной среды, если надлежаш им образом ввести интегральные характеристикидвижения среды. В частности, эта идея получила развитие в работах А. А. Мовчана (1959) об устойчивости упругого тела. Вводя вспомогательное метрическое пространство и строя в нем соответ-ствуюш,ие функционалы, Мовчан доказал обш,ие теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости процессов, обобш ающие соответствуюш,ие теоремы Ляпунова и Четаева. Он ввел (1960) две метрики и сформулировал теоремы об устойчивости процессов по двум метрикам. К этому же направлению относятся и работы В. М. Слободкина и Т. К. Си-разетдинова (1964—1965). Следует отметить, что вопрос о построении соот-ветствуюш их функционалов для решения конкретных задач теории упругости разработан ещ,е недостаточно и нуждается в дальнейших исследованиях. [c.32]

КРИТЕРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧАСТЕЙ КОР-0Й ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. Как следует из теорем Ляпунова, для суждения об устойчивости движения по первому дриближению необходимо иметь в своем распоряжении точные сведения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Иначе говоря, нужно знать, как расположены [ орни характеристического уравнения на комплексной плоскости относительно мнимой оси. Когда все корни характеристического уравнения лежат слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные вещественные части, полином, соответствующий развернутому определителю характеристического уравнения, называется ус-щойчивым полиномом. Решить вопрос об устойчивости или неустойчивости полинома можно без предварительного вычисления его корней с помощью специальных критериев устойчивости, предложенных Э. Раусом, А. Гурвицем, X. Найквистом, А. В. Михайловым [113] и др. В основе этих критериев лежат известные теоремы Коши о числе корней функции внутри замкнутого контура. Некоторые из таких критериев дают возможность не только установить распределение корней полинома на комплексной плоскости, но также и определить необходимые изменения параметров системы, для того чтобы сделать ее движение устойчивым. [c.451]

Для системы с тремя парами чисто мнимых корней при наличии присоединенной системы решение вопроса об устойчивости дано В. Г. Веретенниковым (1966). Следуя Г. В. Каменкову, автор приводит задачу к исследованию системы трех уравнений в критическом случае трех нулевых корней с тремя группами решений. Для этой системы на основании теоремы Каменкова указываются заведомо неустойчивые случаи, исключая которые автор приводит задачу к рассмотрению трех случаев, в зависимости от знака выражения на вещественных прямых / 7 = 0. Для случая, когда < О, с помощью функции Ляпунова доказывается асимптотическая устойчивость невозмущенного движения по формам третьего порядка. Для случаев, когда дается решение задачи [c.59]

Смотреть страницы где упоминается термин Теорема Ляпунова о неустойчивости движения : [c.200] [c.382] [c.70] [c.104] [c.531] [c.538] [c.445] [c.76] [c.376] [c.119] [c.222] [c.587] [c.46] [c.72] [c.234] [c.499] [c.275]

Смотреть главы в:

Теория колебаний -> Теорема Ляпунова о неустойчивости движения

Теория колебаний (2004) -- [ c.422 ]

ПОИСК

Движение неустойчивое

Ляпунов

Ляпунова теорема о неустойчивости об устойчивости.движени

Неустойчивость

Неустойчивость движения

Ра неустойчивое

Теорема движения

Теорема о неустойчивости

Теоремы Ляпунова

Теоремы Ляпунова о неустойчивости

Теоремы о неустойчивости движения

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...