Теорема о неустойчивости

Конечно, изложенные соображения нельзя рассматривать как доказательство теорем А. М. Ляпунова и тем более общей теоремы о неустойчивости равновесия. Эта теорема не доказана в общем виде до последнего времени. [c.227]

ТЕОРЕМЫ О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 51 [c.51]

Вторая теорема о неустойчивости. Если для дифференциальных уравненнй возмущенного движения (25) можно найти ограниченную функцию V, производная которой, составленная в силу этих уравнений, приводится к виду [c.37]

С теоремами об устойчивости, полученными методом функций Ляпунова, связаны, как правило, теоремы о неустойчивости, в нетривиальных случаях требующие тонкого анализа необходимых для их справедливости дополнительных условий. Такую теорему о неустойчивости дал и сам Ляпунов. С этим связан также давний вопрос об обраш ении теоремы Лагранжа ( если в положении равновесия силовая функция имеет максимум (изолированный), то равновесие устойчиво ), т. е. вопрос, будет ли положение равновесия неустойчиво, если ему соответствует не максимальное значение силовой функции. Кроме А. М. Ляпунова этим вопросом занимались Ж. Адамар, [c.129]

Теорема о неустойчивости i) Периодическое по пространственным переменным течение в прямой трубке с заданным на периоде перепадом давления является неустойчивым, если расход этого течения превосходит расход ламинарного течения с тем же перепадом давления. [c.246]

Доказанная теорема о неустойчивости имеет большое практическое значение и находится в полном соответствии с экспериментами. (Условие периодичности турбулентного течения в каждый момент времени можно было бы заменить менее ограничительным требованием независимости от z усредненного по времени течения в этом случае под диссипацией энергии следует понимать, конечно, ее усредненное, а не мгновенное значение.) [c.246]

Ляпунову принадлежит еще одна теорема о неустойчивости положения равновесия. Обобщение этих теорем дал Н. Г. Четаев (эти теоремы, а также доказательство сформулированной теоремы Ляпунова можно найти в курсах по устойчивости движения). [c.460]

Утверждения 2.2 и 2.3 выводятся на основе теоремы о неустойчивости [c.88]

IV. Вторая теорема о неустойчивости. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти ограниченную функцию V, производная которой в силу этих уравнений приводилась бы к виду [c.10]

Теоремы III и IV Ляпунова весьма просто получаются из теоремы 2 Четаева. Эта формулировка теоремы о неустойчивости получила наиболь- [c.16]

Первое решение задачи обращения теоремы Лагранжа было дано Четаевым (1930) с помощью его теоремы о неустойчивости с У", Предположив, что функция и голоморфна и не имеет максимума в положении равновесия,, взяв функцию У — и опираясь на теорию характеристик Кронекера, он показал, что в области С, где У > О, функция У удовлетворяет условию 2° теоремы, что и доказывает неустойчивость положения равновесия. [c.17]

В сочинении Ляпунова теоремы о неустойчивости называются второй и третьей. Но мы называем второй теоремой теорему об асимптотической устойчивости, а поэтому здесь теоремы о неустойчивости именуются третьей и четвертой теоремами второго метода. [c.83]

Из только что доказанной теоремы о неустойчивости ясно, что жидкость второго порядка не дает хорошей модели для описания общего поведения реальных жидкостей. Тем не менее, мы привели доводы в пользу того, что жидкость второго порядка можно рассматривать как улучшенную (в смысле последовательных приближений) модель по сравнению с моделью навье-стоксовой жидкости. Как это согласовать [c.258]

Из (5.7) видно, что при A В величину е можно выбрать настолько малой, что функция dV dt будет определенно-положительной в области F > О в достаточной близости к началу координат. Тем самым утверждение теоремы о неустойчивости доказано. [c.104]

Теорема о неустойчивости по первому приближению. Если среди корней характеристического уравнения (4.13) системы первого приближения (4.10) встречается хотя бы один вещественный или хотя бы одна [c.206]

Частоты собственные 459 Четаева теорема о неустойчивости невозмущенного движения 439, 440 — — — положения равновесия консервативной системы 441 Число степеней свободы системы 178 [c.496]

Другая доказанная А. М. Ляпуновым теорема о неустойчивое ти равновесного состояния консервативной системы формула руется следующим образом. [c.400]

Н. Г. Четаев [54, гл. III] дал более простое доказательство ofi ратной теоремы, основанное на установленной им обобщенно теореме о неустойчивости движения. [c.400]

Изложенное рассуждение является элементарным доказательством обратной теоремы о неустойчивости положения равновесия консервативной системы, когда в этом положении потенциальная энергия имеет изолированный максимум. Движение по усам неустойчиво и физически не осуществляется. [c.478]

Теорема 2.6. (теорема Четаева о неустойчивости [36]). Если [c.86]

Теорема 3 (вторая теорема Ляпунова о неустойчивости д[1И-ження). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция V такая, что ее производная в силу этих уравнений в области (1) может быть представлена в виде [c.378]

Ляпунову принадлежат две теоремы о неустойчивости движения. В 30-х годах нашего столетия Четаев обобщил эти теоремы и доказал теорему, из которой как частный случай вытекают теоремы Ляпунова. Поэтому мы начнем с ия.11оя ения теоремы Четаева. [c.49]

Общая теорема о неустойчивости ). Для простоты анализа допустим интервал изменения времени ( о, °°) закрытым. И условпмся говорить, что область V > О существует внутри [c.246]

Теоремы о неустойчивости. В этом пункте рассмотрены три теоремы о неустойчивости движения, полученные Ляпуновым и Че-таевым. Исторически сначала были получены две теоремы Ляпунова. Эти теоремы были обобщены Четаевым, получившим теорему, которая нашла широкое применение при решении задачи об устойчивости в конкретных задачах механики, а также в теоретических исследованиях вопросов устойчивости. Мы сначала изложим теорему Четаева и затем выведем из нее обе теоремы Ляпунова о неустойчивости движения. [c.524]

Первая теорема о неустойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (25) возможно найти функцию У х), которая обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной производной V и могла бы принимать в окрестности нуля значения одного знака с V, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.37]

Теоремы Ляпунова об устойчивости и первая теорема о неустойчивости допускают простую геометрическую интерпретацию. Если V и ее производная V — знакоопределенные функции противоположных знаков (теорема об асимптотической устойчивости), то изображающая точка, движущаяся по фазовой траектории, пересекает каждую из поверхностей V (х) = С снаружи внутрь (рис. II, а), так как функция V [c.37]

При выполнении условий теоремы Ляпунова об устойчивости изображающая точка может двигаться по поверхности уровня V (х) = С (рис. 11,5), оставаясь в заданной окрестности начала координат. Если выполняются условия первой теоремы о неустойчивости, то изображающая точка при своем движении может пересекать noBepxHO Tir V (х = С изнутри нарум<у, удаляясь от начала координат (рис. 11,й). [c.38]

Отсюда видно, что рис.2.11,а ответает ударной волне разрежения (р2 < Pi), а рис. 2.11,6 - ударной волне сяатия (P2>Pi)- Таким образом, здесь не обязательно верны гидродинамические теоремы о неустойчивости ударных волн разрежения , однако энтропия, конечно, всегда растет ш скачке (заметим, чго потери на скачке определяются площадью, заключенной между кривой а(е) и упомянутой секущей, соединяющей точки 1 и 2). [c.59]

Ляпуновым были предложены теоремы о неустойчивости невозмущенного движения. Эти теоремы были обобщены Н. Г. Четае-вым, предложившим теорему, более пригодную для решения технических задач. [c.578]

III, Первая теорема о неустойчивости. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти функцию V, которая обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной производной V, притом допускала бы бесконечно малый высший предел и била бы такова, что при всяком 1, большем некоторого предела, надлежащим выбором величин Хд, численно насколько угодно малых, ее можно било бы сделать величиной одинакового знака с ее производной,— то невозмущенное движение неустойчиво, [c.10]

Интересные критерии неустойчивости предложил Н. П. Еругин (1952). Им сформулирована следующая общая теорема о неустойчивости. [c.27]

Теоремы о неустойчивости рассматривались также рядом других математиков, в частности О. А. Жаутыковым (1947), а также В. И. Зубовым (1959), X. Массера (1956) и др. Для периодических по времени или не зависящих от времени функций Xg х, t) в правых частях уравнений (1.1) Н. Н. Красовский (1956, 1959) получил следующее обобщение теоремы III Ляпунова. Если можно указать функцию 7(а , г), периодическую по времени t или не зависящую явно от времени, которая допускала бы бесконечно малый высший предел и притом была бы такова, что ее производная V в силу уравнений (1.1) удовлетворяла бы следующим условиям [c.27]

В работе [76] Неймарком доказана теорема, представляющая собой перенесение теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости на точечные отображения. Нам в дальнейшем, однако, потребуется теорема о неустойчивости неподвиншых точек точечного отображения, аналогичная теорема Четаева о неустойчивости движения. Докажем следующую теорему, представляющую собой перенесение теоремы Четаева на точечные отображения. [c.108]

В этом параграфе рассмотрим задачу об устойчивости неподвижных точек точечного отображения, задаваемого гамильтоновыми дифференциальными уравнениями. Будут рассмотрены случаи, когда величины Лг связаны резонансными соотношениями третьего и четвертого порядков. Будут доказаны два утверждения о неустойчивости. Их доказательство основано на приведении точечного отображения в окрестности неподвижной точки (которую считаем совпадающей с началом координат) к нормальной форме с последующим применением теоремы 2 о неустойчивости неподвижной точки отображения. По аналогичной схеме исследована устойчивость положений равновесия гамильтоновой системы с одной и двумя степенями свободы в работах автора [53, 55, 60] и автономной гамильтоновой системы с произвольным числом степеней свободы в работе Хазина [92]. Теоремы о неустойчивости, полу- [c.117]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает достаточные уаювия устойчивости положения равновесия. Если же в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума, то вопрос об устойчивости часто можно решить при помощи следующих теорем Ляпунова о неустойчивости. [c.87]

Аналогично доказываетея эта теорема для случая наличия комплексных корней характеристического уравнения с положительными действительными частями ). Случай наличия кратных корней с положительными действительным частями А. М. Ляпунов не рассматривал. Очевидно, заключение о неустойчивости движения сохраняется и в этом случае. [c.338]

В теоремах А. М. Ляпунова о неустойчивости равновесия рассмотрены практически важнейшие случаи обращения теоремы Лагранжа — Дирихле. [c.346]

Для доказательства достаточно заметить, что при условиях теоремы 2 выполняются условия теоремы Четаепа о неустойчивости. [c.378]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...