Движение невозмущенное по Ляпунову

В случае постоянно действующих возмущений возможно дальнейшее обобщение определения устойчивости по Ляпунову невозмущенный процесс движения при постоянно действующих во времени возмущениях является устойчивым по мере f на конечном интервале времени Т, если для всякого е>0 можно найти такое 6(g)>0, что как только мера возмущений <6, мера fначальный момент времени to- Математическое условие, при котором впервые нарушается определение устойчивости, носит название критерия неустойчивости. [c.320]

Если бы гироскопические силы отсутствовали, то положение равновесия = 2 = О оно отвечает невозмущенному движению (12)) было бы неустойчивым, причем при а < 7з степень неустойчивости четная, а при < а 2 нечетная. Поэтому из теоремы 2 следует, что при < а 2 гироскопическая стабилизация невозможна, и, следовательно, в этом случае движение (12) неустойчиво по Ляпунову. [c.542]

I у I означает малость q , а также малость 5 .) В некоторых случаях можно воспользоваться этим же методом и установить устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения, составляя интеграл уравнений (23.7.6), который представляет собой либо определенно-положительную квадратичную форму от переменных г/i, 1/2,. . ., Ут-, либо функцию, обладающую основными свойствами такой формы. Можно также распространить эту теорию на случай, когда функции, кроме переменных z/j, г/2,. . ., г/ , содержат еще t, а также на случай, когда функции не являются интегралами уравнений [c.472]

Невозмущенное движение системы называется устойчивым по Ляпунову, если при всяком наперед заданном положительном числе можно указать такое положительное число 8, зависящее от е, что при начальном возмущении ( 8,- (0) < С 8 в последующем возмущенном движении системы будут справедливы в любой момент времени неравенства 8 ( ) < < . [c.402]

Если, кроме того, все 8 —. 0 при . со, то невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову. [c.402]

Невозмущенное движение системы называется устойчивым по Ляпунову, если при всяком наперед заданном положительном числе S можно указать такое положительное число о, зависящее от е, что при начальном возмущении si(0) [c.392]

Для наличия устойчивости по Ляпунову достаточно существование области начальных отклонений (хотя бы сколь угодно малой), по отношению к которым невозмущенное движение устойчиво, [c.34]

Невозмущенное движение и(() называют устойчивым по Ляпунову, если для любых е>0 и /о существует б=5(е,/ о) такое, что для всех возмущенных движений и (7), удовлетворяющих в начальный момент времени условию [c.457]

Невозмущенное движение И( называют неустойчивым по Ляпунову, если существуют некоторые 8>0 и /о такие, что длн любого 5>0 существует хотя бы одно возмущенное движение и(/) И такой момент времени что выпол- [c.458]

Невозмущенное движение и(/) называют асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и все возмущенные движения п(0> удовлетворяющие условию [c.458]

Таким образом, асимптотическая устойчивость включает в себя как устойчивость по Ляпунову, т.е. малость отклонений от невозмущенного движения при любых f>tQ, так и асимптотическое приближение всех возмущенных движений к невозмущенному при (рис. 7.1.1, б). [c.458]

Механические системы, как правило, обладают нелинейными свойствами. В прикладных расчетах, полагая отклонения от невозмущенного движения (равновесия) достаточно малыми, вкладом нелинейных факторов обычно пренебрегают, что сильно упрощает как аналитические выкладки, так и численные расчеты. Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, позволяет анализировать раздельно влияние разных факторов и оценивать их результирующий эффект путем сложения частных решений. Этот путь кажется естественным и при анализе устойчивости, тем более что при этом анализе возмущения, как правило, малы по определению. Отбрасывание нелинейных членов (при условии их аналитичности в окрестности невозмущенного движения) представляется интуитивно оправданным. Однако строгай анализ показывает, что это можно делать далеко не всегда. Ответ на вопрос о том, при каких условиях допустимо линеаризировать уравнения возмущенного движения, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.459]

Для сред типа (10.1) даже при фиксированных внешних нагрузках идет процесс деформирования и вопрос об устойчивости состояния (в противоположность упругости и пластичности) прямого смысла не имеет. Может быть поставлен вопрос лишь об устойчивости процесса. И если при этом исходить из определения устойчивости по Ляпунову, то выделить в данном невозмущенном процессе участок устойчивости или неустойчивости нельзя либо весь процесс надо признать неустойчивым, либо весь — устойчивым. Дело в том, что определение устойчивости процесса (движения) по Ляпунову, естественным образом обобщающее определение устойчивости состояния, требует включения в рассмотрение бесконечно удаленного момента времени, и заключение об устойчивости или неустойчивости можно сделать только на основании особенности поведения возмущенного движения в бесконечно удаленной точке. Поэтому, даже если до некоторого момента левая часть (10.9) оказывалась отрицательной, признать процесс [c.25]

Так, из устойчивости по отношению к части переменных нулевого решения системы сравнения, образуемой при использовании метода вектор-функций Ляпунова, делается заключение об устойчивости по Ляпунову или по заданной части переменных невозмущенного движения исходной системы см. подробнее раздел 2.1.10. [c.38]

В случае y-ASt, кроме того, решение х(0 будет асимптотически приближаться к оси f-цилиндра (рис. 1.2.1). (Случай, когда решение t) при всех t> to будет оставаться внутри -сферы и даже, кроме того, будет асимптотически приближаться к точке х = О, не исключается из рассмотрения в этом случае невозмущенное движение соответственно устойчиво и асимптотически устойчиво по Ляпунову.) [c.45]

Устойчивость по Ляпунову и устойчивость множеств. Требование устойчивости по Ляпунову (по отношению ко всем переменным) невозмущенного движения означает, в том числе, близость невозмущенной и возмущенных траекторий, соответствующих невозмущенному и возмущенным движениям. [c.47]

Обратное не всегда верно. Действительно, ввиду того, что скорости движения изображающей точки вдоль каждой траектории могут быть различны, близость траекторий может иметь место и при отсутствии устойчивости невозмущенного движения по Ляпунову. [c.47]

Поэтому наряду с устойчивостью по Ляпунову часто изучается более слабая орбитальная устойчивость невозмущенного движения или, в более общей устойчивость инвариантных множеств [Зубов, 1957]. [c.47]

В области D а < Q, а + d < Q (рис. 2.2.5) линейная часть полученных уравнений асимптотически устойчива по Ляпунову. Поэтому невозмущенное движение у = z = О исходной системы (2.2.20) в области D равномерно асимптотически устойчиво по ух на основании теоремы 2.2.5. [c.114]

Тогда невозмущенное движение у = О, z = О нелинейной системы (2.2.13) также равномерно устойчиво по Ляпунову и одновременно) экспоненциально асимптотически у-устойчиво. [c.116]

Таким образом, на всем промежутке времени, в течении которого выполняется условие (2.2.31), имеют место неравенства (2.2.36). Поскольку е < Д то неравенства (2.2.36) справедливы при всех / > to. Следовательно, невозмущенное движение у = О, z = О нелинейной системы (2.2.13) равномерно устойчиво по Ляпунову и (одновременно) экспоненциально асимптотически у-устойчиво. [c.117]

Задача 2.4.1 [Воротников, 1990, 1998]. Найти управления и = и(/, х) Ц такие, что невозмущенное движение у] = у2 = г = О системы (2.4.5) асимптотически (у , у- -устойчиво и устойчиво по Ляпунову. [c.128]

Тогда управления (2.4.6) гарантируют устойчивость по Ляпунову и асимптотическую у-устойчивость невозмущенного движения х = О исходной нелинейной системы (2.4.5). [c.129]

Условие устойчивости по Ляпунову. Введение системы (2.6.2) позволяет сформулировать условие устойчивости по Ляпунову невозмущенного движения системы (2.6.1), опирающееся на предварительный анализ частичной устойчивости этого движения. [c.147]

Тогда невозмущенное движение у = О, z = О системы (2.6.1) равномерно устойчиво по Ляпунову равномерно асимптотически устойчиво по Ляпунову). [c.147]

Важно отметить, что величины и определяемые по наперед заданным г , вообще говоря, зависят от Т, Естественно, что они будут тем меньше, чем больше Т. Если же и можно выбрать так, чтобы неравенства (19) сохранялись при любом сколь угодно большом > 0, то невозмущенное движение (16) будет устойчивым по Ляпунову ). Существенно, что наличие или отсутствие устойчивости по Ляпунову может быть установлено из рассмотрения уравнений в вариациях (исключая так называемые особые случаи). [c.608]

Перейдем теперь к вопросу об устойчивости прямолинейного и кругового движений диска по горизонтальной плоскости. Путем простых рассуждений легко убедиться в том, что в смысле Ляпунова эти движения являются неустойчивыми. Действительно, прямолинейное движение диска можно сколь угодно малым возмущением превратить в круговое движение, хотя и с очень большим радиусом. При этом, конечно, спустя достаточно большой промежуток времени положения диска в возмущенном и невозмущенном движениях разойдутся на любое большое расстояние. Аналогично при сколь угодно малом возмущении кругового движения, в частности, при таком, когда движение остается круговым, но с другим значением угловой скорости ф, спустя значительное время положения диска в возмущенном и невозмущенном движениях могут разойтись на расстояние порядка радиуса описанной диском окружности. Наряду с этим движение диска оказывается устойчивым по отношению к изменению угла 0 его наклона к горизонтальной плоскости. Именно, этим свойством, устойчивостью по отношению к углу наклона, и объясняется удивительная способность диска катиться по плоскости, не падая. [c.61]

Теории критических случаев по Ляпунову посвящена обширная литература, непрерывно пополняемая до настоящего времени. При этом основным методом исследования критических случаев оказался второй метод Ляпунова — Четаева. Первой после Ляпунова работой в этой области была, по-видимому, работа И. Г. Малкина (1933), в которой доказана неустойчивость невозмущенного движения для системы второго порядка вида [c.55]

Если скорость скольжения колес по рельсам получит малые приращения в результате случайных малых возмущающих воздействий, то такое движение называется возмущенным. Если приращение скорости, скольжения колес при возмущенном движении несущественно, то движение называется устойчивым. Если же при сколь угодно малом возмущении величина скорости скольжения колес все время отклоняется от значений при невозмущенном движении, то невозмущенное движение называется неустойчивым по Ляпунову. В эксплуатации такое возмущенное движение называют разносным боксова-нием. [c.196]

Коэффициент определяется опытным путем как отношение наибольшей надежно реализуемой в эксплуатации силы тяги к статической нагрузке движущих колес на рельсы, т. е. к сцепному весу локомотива. Это значит, что если силу тяги по сцеплению мы определили по формуле (19) и движение поезда рассчитали с учетом этой силы, то движение, которое должен совершать локомотив согласно этим расчетам, будет невозмущенным движением по Ляпунову. Если же в реальной действительности поезд будет испытывать случайные воздействия, не учтенные в расчетах, то численное приращение скорости скольжения колес локомотива по рельсам не должно быть большим и возрастающим по времени, что исключает боксование. Следовательно, рассчитанное невозмущенное движение поезда является устойчивым по отношению к скорости скольжения движущихся колес по рельсам. [c.196]

Примечание. Следует отметить, что при условиях теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости всякое другое решение уравнений (2.1), достаточно близкое к невозмущенному по начальным условиям, неограниченно приближается к нулевому решению, когда оо. Если же выполняются условия теоремы Дубошина — Малкина, то всякое решение системы (2.1"), начальные значения которых численно сколь угодно малы, вовсе не стремится к нулевому решению системы (2.1), но всегда остается сколь угодно близким к этому решению, т. е. к невозмущенному движению. [c.90]

Часто используют понятие орбитной (или орбитальной) устойчивости. Оно отличается от устойчивости по Ляпунову тем, что из условия (1 х 1о), Х Ьо)) < 6 должно следовать лишь (1 х 1) , Х 1)) < е, т. е. не требуется синхронности в движении по возмущенной и (невозмущенной траекториям. Здесь х 1) означает всю траекторию при t > Ьо-Нужно лишь, чтобы возмущенное решение (пусть с отставанием или опережением) не выходило за пределы е-окрестности невозмущенного. Если при 1 00 расстояние (1 между возмущенным и невозмущенным решениями стремится к нулю, то устойчивость называется асимптотической. Если же, кроме того, <1 ехр(— ) (а > 0), начиная с некоторого I > 1о, то она называется экспоненциальной. [c.131]

Невозмущенное движение по Ляпунову называется устойчивым относительно некоторой совокупности величин, которыми обычно бывают координаты д, и скорости если [c.17]

Так как период колебаний нелинейной консервативной системы, изображаемых на фазовой плоскости замкнутыми траекториями, не один и тот же, а зависит от начальных условий, то две изображающие точки, начавшие свои движения, например от оси Оу, одновременно по двум близким траекториям, с течением времени отойдут одна от другой на конечное расстояние. Вследствие этого периодические движения консервативных систем нельзя, строго говоря, считать устойчивыми по Ляпунову. Но они обладают орбитальной устойчивостью, выражающейся л том, что при весьма малом изменении начальных условий возмущенное периодическое движение изображающей точки переходит на другую траекторию, сколь угодно близкую к первоначальной (невозмущенной). [c.482]

Примем следующее определение Ляпунова. Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к переменным у (г = 1, 2,..., т), если для любого сколь угодно малого числа > О существует положительное число S = (г) такое, что для всех возмущенных движений, для которых в начальный момент времени выполняются неравенства [c.515]

Дадим еще определение асимптотической устойчивости в смысле Ляпунова. Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым по отношению к переменным у (г = 1, 2,..., т), если оно устойчиво и число 5 можно выбрать настолько малым, что для всех возмущенных движений, удовлетворяющих неравенствам (6), будут выполняться условия [c.515]

Периодическому движению соответствует движение представляющей точки по определенной замкнутой фазовой траектории. Окружим эту точку некоторой малой областью е, которая движется вместе с представляющей точкой. Если при заданной сколь угодно малой области г мы можем указать такую область 8 (г), что всякая представляющая точка, лежащая в начальный момент в этой области 8 (г), никогда не выйдет за пределы области е, то рассматриваемое движение устойчиво по Ляпунову. Более наглядно мы можем сформулировать это условие устойчивости следующим образом. Пусть движение подверглось некоторому возмущению — система испытала некоторый мгновенный толчок в произвольном направлении. Тогда представляющая точка сместится и будет продолжать движение уже по некоторой другой траектории. Представим себе, что при этом толчке представляющая точка почернела (рис. 101). Тогда исходное невозмущенное движение, устойчивость которого мы исследуем, т. е. движение, которое происходило бы, если бы не было толчка, будет изображаться движением светлой представляющей точки, а движение после толчка — возмущенное, изображается движением черной представляющ ей точки. [c.149]

На первый взгляд может показаться, что понятие устойчивости по Ляпунову является естественным обобщением устойчивости, рассматривавшейся нами для положения равновесия (которое можно трактовать как вырожденную характеристику). Но для классической динамики это понятие оказывается не всегда пригодным, поскольку оно связано со слишком сильными требованиями, накладываемыми на систему. Правда, выше мы привели несколько примеров, для которых имеет место устойчивость в указанном мысле, однако дан е для весьма простых систем, для которых интуитивное представление об устойчивости не вызывает сомнений, критерий устойчивости по Ляпунову не выполняется. Рассмотрим, например, частицу, движущуюся прямолинейно в силовом поле. Согласно определению устойчивости по Ляпунову движение в однородном поле неустойчиво это же относится и к обычному либрационному движению (если не считать некоторых тривиальных исключений, таких, как колебания гармонического осциллятора). Если однородное поле имеет направление вдоль оси Ох, то невозмущенной характеристикой, проходящей через начальную точку (а, и), будет [c.477]

В случае либрационного движения период возмущенного движения (которое также является периодическим) в общем случае отличается от периода невозмущенного движения, так что х t а + Ь) — х (/ а) не может все время оставаться малым, и, стало быть, и ф (г а + 6) — ф (< а) не будет малым. В других, менее простых случаях (например, в ограниченной задаче трех тел, см. гл. XXVIII) лишь очень немногие характеристики оказываются устойчивыми по Ляпунову. [c.478]

В данном А. М. Ляпуновым определении устойчивости предполагается, что возмущающих сил нет в том смысле, что возмущенные движения происходят под действием тех же внешних сил, которые учитываются при определении невозмущенного движения. Задача об устойчивости при возмущающих силах не имеет смысла, если последние ничем не стеснены. Если возмущающие силы меняются от случая к случаю так мало, что их изменение не влияет на линейные члены в правых частях уравнений возмущенного движения, возникает практически важная задача об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого-порядка в функциях Xs- Эту задачу Ляпунов разрешил своими теоремами об устойчивости по первому приближению. Для случая, когда в уравнениях (9.2) Psr = onst и невозмущенное движение устойчиво по первому приближению, Н. Г. Четаев (1946) выяснил те свойства функций Х в уравнениях (9.1), при которых проходит доказательство теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Он показал, что если для произвольного числа > О, как бы мало оно ни было, функции Х могут быть стеснены неравенствами j < Я, где X обозначает число, построенное по способу Ляпунова в доказательстве его теоремы об устойчивости, то невозмущенное движение будет устойчивым независимо от численных значений Хд. [c.51]

Определен ие 1 [32]. Частное решение (невозмущенное движение) x = x t) называется устойчивым по Ляпунову по отношению к вектору х, если для любого е>0 и to (a,oo) существует б = б(е, о)>0 такое, что выполняются следующие условия [c.830]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Обобщением определения Ляпунова на конечный интервал времени является определение устойчивости Каменкова невозмущенный процесс движения является устойчивым по мере f на конечном интервале времени Т, если при достаточно малом числе е>0 мера /Се на интервале Т, включая начальный момент to. [c.320]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...