ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационное исчисление из "Метод конечных элементов Основы " Принцип виртуальной работы характеризуется вариацией энергии деформации и потенциала прикладываемых нагрузок. Если рассмотреть варьируемые величины и V, то можно установить ряд полезных свойств, которыми они обладают. Это рассмотрение показывает, что задача анализа конструкций, основанная на подсчете вариации суммы 7+У, относится к хорошо разработанной области математики, известной как вариационное исчисление [6.1—6.4]. Ряд важных результатов в этом разделе математики можно непосредственно применить к задачам конечно-элементного анализа конструкций. [c.160] Вариация бД приводит к малому изменению функционала, обозначаемому через бП, которая является первой вариацией функционала. [c.162] Символ б, или дельта-оператор, означает малые произвольные изменения зависимой переменной А при фиксированных значениях независимой переменной х. Как видно из рис. 6.3, в заданной точке XI величина бД есть амплитуда В —А. Отличие дельта-оператора б от оператора дифференциального исчисления йу заключается в том, что последний связывает йхсйу. Иными словами, йу характеризует расстояние по вертикали между точками данной кривой, находящимися на расстоянии с1х. Важным свойством оператора дельта, используемого при построении вариационных соотношений, является коммутативность по отношению к операциям дифференцирования и интегрирования, т. е. [c.162] Это уравнение известно как уравнение Эйлера (или уравнение Эйлера — Лагранжа) для функционала П. Функция Д, доставляющая экстремальное значение функционалу П, удовлетворяет соответствующему уравнению Эйлера. На практике величины, входящие в уравнение Эйлера, позволяют выписать определяющее дифференциальное уравнение физического процесса, описываемого исходным функционалом. [c.164] Заметим, что одно из полученных соотношений и есть исходное ограничение =0. Строгое обоснование метода излагается в книгах по вариационному исчислению (см., например, [6.1]—[6.41). [c.165] Множители Лагранжа могут иметь важный физический смысл в рассматриваемой задаче. В некоторых случаях этот смысл можно выяснить, детально изучая их свойства. В других случаях физический смысл множителей Лагранжа легко выяснить, рассматривая функционал П. Например, при расчете конструкций на основе энергетических методов П представляет собой энергию и имеет размерность силы, умноженной на перемещение. В некоторых задачах ограничения задают соотношения между перемещениями. Поэтому нз соображений размерности величина должна иметь размерность силы и множители Лагранжа можно рассматривать как обобщенные силы. [c.165] Вернуться к основной статье