ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационное исчисление из "Технический справочник железнодорожника Том 1 " Р а с с т о я II и с Д1 между двумя кривыми у = у (х) и у = у (х) на отрезке а х а называется наибольшее значение величины 1у (х) — У (х) I иа этом отрезке е-окрестно стью кривой у = у (х) называется совокупность кривых у = у (X), расстояния которых от кривой у = у (х) меньше е (фиг. 150). [c.177] Дана функция Р (х, у, у ), зависящая от трёх аргументов х, у и у, которая, вместе со своими частными производными до второго порядка включительно по всем аргументам, непрерывна при всех значениях х и у, принадлежащих некоторой области (5-) плоскости ОХУ, и при всех значениях аргумента у. [c.177] Пример 1. Среди всех дуг, имеющих концы в данных точках А (а, 6) и В (а, 3), найти ту, которая при вращении около оси ОХ образует поверхность с минимальной площадью. [c.177] Уравнение Эйлера — обыкновенное дифе-ренциальное уравнение 2-го порядка его общее решение у = у (х, С , С ) зависит от двух произвольных постоянных, которые должны быть определены так, чтобы кривая проходила через точки А (а, й) и В (а, [ ). [c.177] Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями. [c.177] Его общее решение даёт семейство экстремалей х-С. [c.177] Постоянные С, и С, должны Яыть определены из то-го условия, что кривая проходит через точки л (а, 6 и и (а, 3). [c.177] Пример 2, Определить траекторию, соединяющую точку А с точкой В, двигаясь по которой под действием силы тяжести, матеоиальная точка пройдёт путь АВ в кратчайшее время (задача о брахистохроне). [c.177] Если один из концов дуги неподвижен, то условие трансверсальности должно соблюдаться только для другого конца. [c.178] Это уравнение имеет порядок 2п и его общее решение у = у (х, С ,. . ., С п) содержит 2 п произвольных постоянных. Произвольные постоянные определяются из того условия, что в точках х = а и х = а заданы значения искомой функции и её производных до порядка п—1 включительно. [c.178] Проинтегрировав уравнение Эйлера для интеграла Ь, найдём у = у (х, С , С,,, Ц. Постоянные С , Сд и X определяются из условия К = I и из начальных условий. [c.178] Вернуться к основной статье