ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационное исчисление из "Математические методы классической механики " Для дальнейшего нам потребуются некоторые сведения из вариационного исчисления. Более подробное изложение см., например, в учебниках М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстерника Курс вариационного исчисления (М. ГОНТИ, 1938) или Г. Е. Шилова Математический анализ. Специальный курс (М. Физматгиз, 1961). [c.53] Вариационное исчисление занимается отысканием экстремумов функций, область определения которых — бесконечномерное пространство пространство кривых. Такие функции называются функционалами. [c.53] Вообще функционалом называется всякое отображение пространства кривых в числовую ось. [c.53] Рассмотрим близкую к кривую у = I, х х — х ( ) -Ь + К (0). Будем обозначать у — у к. Рассмотрим приращение функционала Ф, Ф (у -Ь /г) — Ф (у) (рис. 41). [c.53] Можно доказать, что если функционал Ф дифференцируем, то его дифференциал определен однозначно. Дифференциал функционала называют также его вариацией, а к называют вариацией кривой. [c.53] Определение. Экстремалью дифференцируемого функционала Ф (у) называется такая кривая у, что Е (к, ) = О при любом к. [c.54] Уравнение Эйлера — Лагранжа. [c.55] Это — система п уравнений второго порядка, и решение зависит от 2п произвольных постоянных. Для нахождения их служат 2п условий х (1 ) = х ,, х ( 1) = Ху . [c.56] Задача. Приведите примеры, когда экстремалей, соединяющих две данные точки, много и когда их нет совсем. [c.56] Важное замечание. Свойство кривой у быть экстремалью функционала не зависит от выбора системы координат. [c.56] Таким образом, мы легко можем написать дифференциальное уравнение семейства всех прямых в любых координатах. [c.56] Задача. Напишите дифференциальное уравнение семейства всех прямых в полярных координатах на плоскости. [c.56] Вернуться к основной статье