Поведение нелинейных осцилляторов

Поведение нелинейных осцилляторов [c.53]

Совершенно аналогично можно исследовать поведение нелинейного осциллятора, совершающего вынужденные колебания и выведенного из равновесного состояния. При этом будем исходить из соотношения (5.112), представляющего собой выражение баланса энергии. В данном случае силы демпфирования отсутствуют, так что g x, а )=0 и остается исследовать лишь правую часть равенства (5.112). Взяв возмущающую функцию в виде [c.236]

Консервативные Н, с. Простейшим примером поведения консервативной Н, с. являются колебания нелинейного осциллятора, описываемые ур-нием [c.312]

До сих пор мы рассматривали внешние воздействия, входящие в уравнения движения аддитивно (внешние силы). При параметрических внешних воздействиях на нелинейные осцилляторы наблюдаются не менее интересные эффекты. Возможные наборы бифуркаций и хаотических режимов для таких осцилляторов описаны в 4 главы 7 (в основном по материалам работ [60, 62—67]). Здесь мы остановимся на результатах других работ и обратим особое внимание на качественные стороны поведения системы и спектральные характеристики колебаний. Уравнение физического маятника с колеблющейся осью подвеса имеет вид [c.276]

Эта книга появилась в результате исследований по нелинейной динамике. Целью исследований было выяснение поведения отдельного осциллятора при медленном изменении его параметров, с одной стороны, и поведения нескольких слабо взаимодействующих осцилляторов — с другой. Эти две проблемы, которые первоначально рассматривались независимо, оказались тесно связанными между собой в случае многомерных систем. [c.13]

Рассмотрим общее поведение системы связанных нелинейных осцилляторов и структуру их фазового пространства. Основным результатом здесь является теорема KAM, гарантирующая существование инвариантных торов для систем как с двумя, так и с большим числом степеней свободы. Однако некоторые следствия теоремы KAM существенно различаются для этих двух случаев. Так, диффузия Арнольда возможна лишь в последнем случае. Мы отложим обсуждение этого вопроса до гл. 6. Здесь же для иллюстрации теоремы KAM и характерной структуры фазового пространства мы ограничимся рассмотрением двумерных (сохраняющих площадь) отображений с некоторыми естественными обобщениями на случай большего числа степеней свободы. [c.184]

Рассмотрим теперь поведение ансамбля из большого числа невзаимодействующих нелинейных осцилляторов. Это могут быть, например, электроны, движущиеся в поле продольной электрической волны (поведение ансамбля линейных осцилляторов мы рассматривали в гл. 3). Первые задачи подобного рода появились в конце 60-х годов в высокочастотной электронике при исследовании системы возбужденных нелинейных осцилляторов как классической активной среды для мазеров на циклотронном резонансе [5] и в физике плазмы, в частности, в связи с проблемами ускорения и нагрева заряженных частиц. Будем считать. [c.279]

Рассмотренная задача тесно связана с существованием минимального хаоса и своеобразной формой его проявления — стохастической паутиной [21, гл. 13, 4 22]. В чем проблема минимального хаоса Она состоит в отыскании условий, при которых малые области со стохастическим поведением возникают при сколь угодно малом возмущении. Самый простой пример системы, в которой существует минимальный хаос, — два связанных нелинейных осциллятора с гамильтонианом Ж = Ж1 11) + 2( 2) + 6 1 2, 6 2) (минимальный хаос возникает при сколь угодно малых г). Фазовое пространство покрывается некоторой мозаичной структурой — стохастической паутиной, — представляющей собой ячейки, отделенные друг от друга стохастическими слоями. Удивительно красивые картинки стохастических паутин с симметрией пятого и седьмого порядков приведены на цветных вкладках книги [21] (см. в [21], например, рис. ХУП и XIX). [c.295]

Рис. 22.17. Спектры, иллюстрирующие бифуркации удвоения периода при переходе к стохастическому поведению в нелинейном осцилляторе, возбуждаемом периодической силой А — амплитуда / — частота (от а к г амплитуда внешней силы увеличивается)

Рассмотрим теперь поведение связанных осцилляторов с более математических позиций нас будут интересовать в первую очередь математические свойства решений соответствующих уравнений безотносительно к физической природе осцилляторов. Для дальнейшего важно различать линейный и нелинейный осцилляторы, так как они ведут себя по-разному. [c.190]

Из него видно, что в низшем приближении действие нелинейных членов в правой части уравнения (5.1.28) сводится к сдвигу частот. Следовательно, всякий раз, когда нам встречается нелинейная связь между осцилляторами, мы вправе ожидать сдвиг частот (и, возможно, другие эффекты). В дальнейшем мы рассмотрим осцилляторы с нелинейными связями различных типов. В одном из типов мы исследуем условия, при которых поведение связанных осцилляторов удается воспроизвести с помощью набора несвязанных осцилляторов (возможно, различных). Как будет показано, этот класс осцилляторов играет важную роль во многих практических приложениях. С другой стороны, недавно были обнаружены обширные классы осцилляторов, обладающих поведением совершенно иного типа. Решения, описывающие хаотическое поведение (см. разд. 8.11.2), служат одним из важных примеров качественно нового типа поведения осцилляторов. [c.193]

Рассмотрим на примере математического маятника с периодически меняющейся длиной влияние нелинейности характеристики возмущения на поведение параметрически возбуждаемого осциллятора. Уравнение движения такого осциллятора было уже составлено в разд. 4.1.6 (уравнение (4.9)) и имело вид [c.171]

В заключение этой главы мы вкратце обсудим один интересный, на наш взгляд, механизм усиления или генерации акустического поля, который до недавнего времени изучали лишь в электромагнитных науках -электронике, квантовой радиофизике. Речь идет о коллективном поведении нелинейных резонансных систем - осцилляторов, которые в начальном состоянии колеблются некогерентно, со случайно распределенными начальными фазами, но на некотором зтапе частично синхронизируются за счет нелинейной подстройки фазы, генерируя когерентное поле или усиливая когерентную затравку. Так происходит, например, сверх излучение Дикке, создаваемое системой возбужденных атомов [Желез [c.214]

Другое направление исследований, касающееся связанных нелинейных осцилляторов, началось с попыток решить задачу трех тел в небесной механике, которая служит упрощенной моделью Солнечной системы. Ранние работы по этой проблеме восходят к трудам Гамильтона и Лиувилля середины XIX в., которые стимулировали развитие гамильтоновой механики, лежащей в основе большинства современных исследований. К концу XIX в. многие идеи, касающиеся устойчивости нелинейных систем, были рассмотрены Пуанкаре [337 ] и применены им к проблемам небесной механики. Именно в этот период Пуанкаре, Цейпель [419] и другие разработали методы теории возмущений, которые оказались столь плодотворными при описании поведения нелинейных систем на [c.13]

При малом (X — эго слабонелинейная система. Поведение её близко к суперпозиции квазигармонич. колебаний осцилляторов с медленно меняющимися амплитудами. Благодаря нелинейной связи колебания двух осцилляторов с частотами и соц порождают в системе колебания с комбинац. частотами Шг Юа. Действие иалой нелинейности накапливается, если выполнено условие резонанса частот [c.313]

Пусть теперь создана некоторая простая конфигурация струны, соответствующая возбуждению одной или нескольких низших мод струны. Если мы ожидаем статистическое поведение системы, то ее термализация означала бы передачу энергии пз возбужденных мод во все остальные. Возбуждение новых мод должно происходить таким образом, чтобы энергии каждой пз них в среднем были близки по значениям (равнораспределение энергий по степеням свободы). Этп рассуждения очевидным образом перёпосятся на цепочку осцилляторов (1.1). Необходимо лишь, чтобы N было достаточно велико (в работе [110] N достигало 64). Взаимодействие мод (или осцилляторов) осуществляется благодаря наличию нелинейных членов в уравнениях (1.1), (1.2). Поэтому даже прп [c.124]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...