Проблема Биркгофа

Исключая в окрестности неподвижной точки все члены, начиная со второго порядка, получим его линейную часть, то есть дифференциал. Дифференциал канонического отображения есть каноническое линейное отображение. Линейные канонические отображения рассмотрены в приложении 27. Если это линейное отображение гиперболично (соответственно, гиперболично с отражением, эллиптично), то говорят, что неподвижная точка называется гиперболической (соответственно, гиперболической с отражением, эллиптической). Несложно показать, что гиперболические неподвижные точки неустойчивы не только для линейной части отображения, но и для всего нелинейного отображения (Адамар). Проблема устойчивости эллиптических точек известна как проблема Биркгофа . В общем случае эллиптические точки двумерных систем являются устойчивыми (см. приложение 28). [c.87]

Пример Смейла 60 Проблема Биркгофа 87 [c.279]

Параллельно с развитием теоретического направления, обсуждавшегося в предыдущем разделе, развивалось и иное направление. Еще в 30-х годах группой математиков, ведущими среди которых были фон Нейман, Биркгоф и Хопф, был предложен новый подход к исследованию динамических систем. Этот подход полностью отличается по своему стилю и основным идеям от описанного в предыдущих разделах. Исследования, рассмотренные выше, были отчасти стимулированы астрономическими проблемами недаром первые основы такой теории заложил еще Пуанкаре в своем классическом Трактате о небесной механике . Здесь же нам предстоит обсудить направление, стимулированное непосредственно статистической механикой математики упорно стремятся обосновать некоторые предположения, сформулированные еще Больцманом и Гиббсом. Эти предположения считаются фундаментальными для статистической механики, однако им не было придано математической формулировки. [c.372]

В книге Биркгофа сделана попытка привлечь к проблеме интегрирования уравнений гидромеханики методы теории групп, что позволяет обозреть с единой точки зрения свойства различ- [c.10]

Дифференциальные уравнения, в том числе уравнения Г амильтона, принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. Если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес (Дж. Биркгоф [18]). В этой главе мы дадим обзор различных подходов к проблеме интегрирования гамильтоновых систем. [c.62]

Динамические системы, у которых имеются траектории, всюду плотно заполняющие фазовое пространство, называются транзитивными. Наша система транзитивна на подмножестве А С В, поэтому ее можно отнести к транзитивному типу (термин Биркгофа). Любая неинтегрируемая проблема транзитивного типа может, однако, считаться решенной , если для нее можно указать специальный алгоритм, достаточно могущественный для разрешения всех вопросов о типах и распределении движений . ) В нашем случае этот алгоритм дает символическое представление траекторий в квадрате В, описываемое теоремой 1. [c.304]

Пионером этого качественно-аналитического направления можно считать известного немецкого математика К. Зигеля ), который по-новому подошел как к классическим проблемам небесной механики, так и к блестящим достижениям А. М. Ляпунова, А. Пуанкаре, К. Зундмана, Дж. Д. Биркгофа, Т. Леви-Чивиты и других. [c.356]

И, главное, наиболее общие качественные результаты в проблеме трех тел, связанные с ними, содержатся в работах Дж. Биркгофа [74], Н. Д. Моисеева [75], [76] и В. В. Степа нова [77]. [c.834]

Сам Биркгоф рассматривал биллиарды как предел задачи о геодезических линиях выпуклой поверхности, которая непрерывно деформируется в область на плоскости. В общем случае строгий анализ такого предельного перехода является довольно деликатной проблемой насколько нам известно, она не изучена до сих пор. Однако в ряде конкретных случаев (например, деформация эллипсоида, когда две его полуоси неизменны, а меньшая стремится к нулю) можно действительно показать, что почти все геодезические линии переходят в траектории биллиарда Биркгофа. [c.20]

Это семейство замкнутых орбит параметризовано частотой о , которая соответствует энергии. Легко проверить, что на любой поверхности постоянной энергии существуют ровно две орбиты подобного типа, одна 00 + 1 > о и другая с си + 1 < 0. Исследуем сначала изоэнергетическую устойчивость этих решений нри малых значениях /х. Для этого нам придется рассмотреть связанное с ними сохраняющее площадь отображение, которое мы уже изучали в конце 24 в связи с применением теоремы Биркгофа о неподвижной точке к этой проблеме. Решающую роль здесь играет то, что условия устойчивости выражаются в терминах конечного числа неравенств [c.319]

Возникающие при этом проблемы существования связаны с соотношениями Биркгофа для критических точек функций двух переменных. Эти соотношения были выведены Биркгофом, а затем распространены Морсом на многомерный случай именно в связи с упомянутыми проблемами. [c.209]

Отображение кольца в кольцо представляет значительный интерес и довольно часто встречается при исследовании конкретных динамических систем. Изучение ограниченной проблемы трех тел привело А. Пуанкаре к рассмотрению сохраняющего площадь отображения кольца на себя. Он обнаружил, что если при отображении внешний и внутренний контуры вращаются в разных направлениях, то нмезтся неподвижная точка. Это утверждение получило наименование последней геометрической теоремы А. Пуанкаре [431. Ее доказательство было позднее найдено Дж. Биркгофом [191. [c.299]

Напомним еще, что из общих проблем, возникающих в этом круге представлений, огромную известность получила задача Больцмана, т. е. противоречие, имеющееся между термодинамической необратимостью ( закон возрастания энтропии ) п пoлнo обратимостью во времени всех чисто механических процессов ( обратимость законов движения ). Эта проблема (правильная постановка которой достигается уже и у Гиббса введением понятия вероятности и рассмотрением соотношения двух упомянутых аспектов) и в наши дни является предметом многих работ. Отметим, в частности, недавнее исследование (193Э г.) Вейцзекера и фундаментальные работы Биркгофа и Нейманна (1930 и 1931 гг.). [c.9]

Но дело, пожалуй, не только в этом. Примеры консервативных динамических систем с весьма сложным поведением фазовых траекторий (тех самых, которые сегодня, не задумываясь, назвали бы хаотическими и стохастическими) были известны довольно давно, как и отдельные примеры неконсервативных систем, сводимых к точечным отображениям с хаотическим поведением последовательных преобразований. Более того, Д. Бирк-гоф [88] предложил общую классификацию движений динамических систем, включавшую эти сложные движения. Схема такой классификации приводилась в работе А. А. Андронова Математические проблемы теории автоколебаний 1933 г. [12], где, в частности, отмечалось, что совокупность всех движений может образовывать сложную систему. Читая поистине пророческие строки в работе А. А. Андронова и глядя на классификацию Д. Биркгофа, трудно понять, что же собственно мешало сделать [c.81]

Значения, приведенные в табл. 5.2, соответствуют неограниченному потоку обтекающей жидкости. При сравнении их с экспериментальными данными, полученными в лабораторных условиях, необходимо вводить поправки на влияние стенок, так как рабочая часть трубы всегда имеет конечную ширину. Теоретические поправки на влияние стенок вводили Биркгоф, Плессет и Симмонс [10], Коэн и Ту [15], а также Коэн и Ди Прима [13]. Вследствие влияния стенок в закрытых рабочих частях измеренные значения коэффициентов сил сопротивления для данного тела получаются заниженными, а длины каверн — завышенными по сравнению с их значениями при том же параметре К в неограниченном потоке жидкости. Увеличение длины каверны может быть очень большим. Более того, для ограниченных струй существует коэффициент загромождения, который определяет нижний предел параметра К. Зильберман [74] получил экспериментальные данные для двумерных тел в гидродинамической трубе со свободной струей и сопоставил их с теоретическими значениями. Для свободной струи проблема загромождения отсутствует, так что эксперименты можно проводить при весьма малых, даже нулевых, значениях параметра К. Однако свободные границы струи все же оказывают небольшое влияние на сопротивление тела и длину каверны в сторону некоторого их уменьшения. Зильберман установил, что поправки при пересчете измеренных значений сил в свободной струе на случай неограниченного потока жидкости пренебрежимо малы, за исключением очень малых значений К, когда измеренные значения коэффициентов оказываются меньше, чем в неограниченном потоке. [c.232]

В этом месте А. Пуанкаре, как и Ришар, признаёт только объекты, а не классы, и потому не принимает возражение Шёнфлиса. Однако далее А. Пуанкаре сам отступает от данного ограничения, когда использует понятие отрезка и понятие точки (см. комментарии 3, 4). Можно согласиться с Дж. Д. Биркгофом [93] в том, что понятие класса ограничивает обсуждение проблемы, однако мы не согласны с тем, что понятие класса ограничивает взгляды А. Пуанкаре на проблему. Напротив, А. Пуанкаре не отрицает полезность непредикативных понятий и правил соответствия и демонстрирует применение аксиомы сводимости Рассела, допускающей существование иного способа задания элементов множества не через это множество. [c.214]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Метод точечных отображений как средство изучения динамических систем, придающее аналитическим проблемам геометрическую трактовку, существенно расширяющую возможности исследования, ведет свое начало от А. Пуанкаре, П. Боля, Я. Брауера и Дж. Биркгофа. При этом многие основные геометрические соображения, такие как теоремы о неподвижных точках, понятие индекса векторного поля, были привлечены извне, а некоторые, например, последняя геометрическая теорема Пуанкаре, и, вообще, теория отображений с инвариантной мерой, теория устойчивости, теория бифуркаций и ветвления решений, воникли в прямой связи с теорией динамических систем. [c.137]

Проблема В, важная для приложений [57], до сих пор не решена, вопреки многочисленным утверждениям, распространенным в литературе ([41], [57], [103, 85]). Ниже намечено решение проблемы Б, основанное на идеях Биркгофа и Рёрля (Н. К6Ьг1) (оно, очевидно, влечет решение проблемы А), а также яроблемы В при дополнительных ограничениях на группу монодромии (см. [65 58], [78]). [c.135]

А. Уинтнер заметил однажды [6], что каждое поколение по-своему формулирует основные проблемы в задаче трех тел и по-своему их решает. Следуя Дж. Биркгофу [3], я считаю, что с чисто математической точки зрения сейчас такой основной проблемой является топологическое описание разбиения фазового пространства на траектории. Это описание должно включать классификацию различных типов движения, классификацию и изучение инвариантных интегральных многообразий, исследование эволюции системы и т. п. [c.134]

Данная книга в основном представляет собой перевод с немецкого книги К. Л. Зигеля Лекции по небесной механике . Потребность в новом издании и переводе на английский язык привели к появлению этого труда, который, однако, представляет собой нечто большее, чем просто перевод. Для того чтобы учесть последние работы в этой области науки в книгу были добавлены несколько параграфов, особенно в третью главу, посвягценную теории устойчивости. Тем не менее, мы не пытались представить полный обзор этой области, и, в основном, следовали структуре оригинальной книги Зигеля. В книге особо выделены результаты и аналитические методы, основанные на идеях А. Пуанкаре, Дж. Д. Биркгофа, А. Ляпунова, и, что касается первой главы, на работе К. Ф. Зундмана и К. Л. Зигеля. В последние годы вновь возник интерес к разделам механики, связанным с теорией меры, что привело к ряду новых результатов, которые не будут здесь обсуждаются. В связи с этой тематикой мы особо рекомендуем интереснейшую книгу В. И. Арнольда и А.Авеца Эргодические проблемы классической механики , которая посвягцена взаимосвязи механики и эргодической теории. [c.11]

Идеи, использованные для доказательства теоремы о возвращении, были усовершенствованы Биркгофом [3] и другими авторами для эргодической теории. Но возможность применения этой теории к заданной системе дифференциальных уравнений ограничена трудностями, которые еще более значительны, чем в проблеме устойчивости. В этой связи замечательны результаты, полученные Данжуа [4-6]. [c.362]

Основное достоинство книги А. Уинтнчра заключается в том, что все изложение материала опирается на современный математический аппарат и главные проблемы небесной механики связываются с современной теорией динамических систем, которая сама по себе, впрочем, вышла из недр небесной механики благодаря трудам А. Пуанкаре, А. М. Ляпунова, Т. Леви-Чивита, Г. Д. Биркгофа и др. [c.5]

Однако в процессе работы становилось все ьолее и более ясно, что систематическому изложению математической теории периодических решений и вопросу о их применении к проблемам движения в солнечной системе, с одной стороны, и численным исследованиям Стремгрена, с другой стороны, должна предшествовать современная трактовка тех аналитических вопросов общей теории канонических систем, которые ведут свое происхождение от небесной механики и остаются для этой науки фундаментальными. После неоднократных обсуждений плана книги с профессором Биркгофом я еще более убедился в необходимости именно такого подхода. Я очень обязан профессору Биркгофу за тот дружеский и активный интерес, который он все время проявлял к этой книге. [c.7]

Это определение устойчивости представляется на первый взгляд наиболее естественным. Но фактически оно весьма неестественно, поскольку требует слишком многого. По существу, все результаты геометрической теории Пуанкаре вещественных дифференциальных уравнений, а также аналогичной теории (но более сложной) преобразований поверхностей (Пуанкаре, Адамар, Леви-Чевргга, Биркгоф) указывают на то, что условие (п) выполняется лишь в исключительно редких случаях. Даже в ограниченной проблеме трех тел неизвестно ни одно устойчивое в этом смысле решение. [c.122]

Как это следует из 200—201, каждое новое поколение обычно старается по своему интерпретировать существо проблем в задаче трех тел. До тех пор, пока Биркгоф не реализовал геометрические идеи Пуанкаре о динамических системах с двумя степенями свободы, ответ на вопрос об этих проблемах был обычно таков с одной стороны, задача трех тел не может быть решена ввиду установленного факта отсутствия интегралов специального вида (см. 129, 320а), но, с другой стороны, задачу [c.423]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...