Пример Смейла

Пример Смейла 60 Проблема Биркгофа 87 [c.279]

В качестве примера, к которому может быть применена сформулированная и доказанная теорема, можно взять отображение рис, 7.54, Отображение, соответствующее этому рис. 7.54, получило название подковы Смейла [27]. Смейл [521 обратил внимание на наличие у такого отображения бесконечного множества различных седловых неподвижных точек, а также на то, что эти неподвижные точки [c.311]

Существование на границе множества систем Морса—Смейла векторных полей с контурами установлено в [58]. На рис. 51 приведен пример подобного диффеоморфизма. [c.141]

На примере легко понять, почему в окрестности vq существуют векторные поля, удовлетворяющие аксиоме А Смейла (теорема пункта 6.5). [c.145]

Бифуркации подков Смейла". Начнем с примера пункта 6.6. Здесь при изменении е осуществляются бифуркации, связанные с возникновением подков Смейла. Легко проверить, [c.145]

Здесь описывается компонента границы множества систем Морса—Смейла, состоящая из потоков с бесконечным множеством неблуждающих траекторий. Во всех приводимых ниже примерах типичные точки границы недостижимы. Так ли это в общем случае, неизвестно. В частности, неизвестно, верно ли, что в типичном однопараметрическом семействе векторных полей рождению бесконечного неблуждающего множества предшествует одна из бифуркаций, описанных в предыдущих параграфах (появление негиперболической особой точки или цикла, или траекторий, принадлежащих простому касанию либо не-трансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий особой точки и (или) цикла). [c.149]

Несмотря на простую и естественную формулировку этих достаточных условий, возможная качественная структура систем Морса — Смейла может быть очень сложной. У таких систем может быть счетное множество ячеек . Существуют также примеры грубых динамических систем со счетным множеством седловых предельных циклов с неограниченно увеличивающимся периодом. Впервые такой пример был построен американским математиком Смейлом (см. список дополнительной литературы [42 ]). Примеры грубых систем со счетным множеством устойчивых или неустойчивых циклов с неограниченно увеличивающимся периодом отсутствуют. Доказательство того, что в грубых многомерных системах не может существовать счетного множества предельных циклов с ограниченными периодами, не представляет затруднений. [c.470]

В этом параграфе мы продолжим изучение подковы Смейла (см. п. 2.5 в). Эта динамическая система содержит нетривиальное гиперболическое множество с естественной и очень удобной для кодирования динамикой. Оказывается, что поведение, которое демонстрирует этот пример, может быть обнаружено в широком классе динамических систем. [c.279]

Как мы уже упоминали, подкова Смейла была первым примером структурно устойчивой системы со сложной структурой орбит [308] (см. предложение 6.5.3). [c.724]

Примером гиперболического множества может служить подкова Смейла. Наглядное представление о ней можно получить, рассмотрев отображение 5 квадрата АГ=[0, 1]х[0, 1] в плоскость при котором квадрат сначала сильно растягивается в горизонтальном направлении, потом изгибается, приобретая форму подковы, и, наконец, накладывается на исходный квадрат так, чтобы пересечение КГ 3 К) состояло из двух полос Яг = [c.131]

Приведенная конструкция дословно повторяет для спеппаль иого отображения f пример Смейла. [c.180]

Подкова Смейла является нростеСиним примером такого рода, аналогичные ей примеры точечных отображений представлены на рис. 7,60 и могут быть легко продолжены. [c.312]

Лемма (В. С. Афраймович, 1985). Если векторное поле, удовлетворяющее требованиям, наложенным в примере 2 или 3, имеет гомоклиническую траекторию цикла, по которой трансверсально пересекаются множества 5 и S , то все векторные поля из некоторой окрестности поля в пространстве х (Л ) имеют бесконечное множество неблуждающих траекторий и, следовательно, поле не принадлежит границе множества векторных полей Морса—Смейла. [c.91]

Смейл на примере плоской задачи трех тел предложил общий метод исследования перестроек интегральных многообразий при переходе через бифуркационные кривые. Применительно к уравнениям Эйлера-Пуассона (линейный потенциал) перестройки бифуркационньк кривых качественно изучены С. Б. Каток, Я. В. Татариновым и Р. П. Кузьминой [84, 164, 109]. [c.144]

С. Смейл продемонстрировал пример, существенной деталью которого была знаменитая подкова Смейла . Вскоре появились У-снстемы Д. В. Аносова и аксиома А Смейла, н тем самым был выделен интересный и важный класс динамических систем, обладающих свойством экспонеицнальной неустойчивости траекторий. [c.6]

Это определение принадлежит Смейлу [14]. Советские математики интенсивно изучали диффеоморфизмы I специального типа, а нменио У-днффеоморфнзмьг ) [ называется У-диффеоморфизмом, если все многообразие М является гиперболическим множеством [2]. Мы увидим несколько позднее, что такие диффеоморфизмы всегда удовлетворяют аксиоме А. Отметим в связи с этим, что неизвестно, выполняется ли условие 0(/) = М для всякого У-диффеомор-физма I. Отсылаем читателя к примерам из [14] ). [c.59]

Основной результат настоящей статьи состоит в том, что п сохраняет свойство минимальности и что все минимальные подмножества / нульмерны. Это, в частности, дает ответ на следующий вопрос Смейла [10] может ли гиперболический автоморфизм тора иметь одномерные минимальные множества Хирш [2] показал, что в этом примере пе может быть минимальных множеств коразмерности один. [c.92]

Другая версия полулокального анализа включает изучение орбит, которые остаются внутри определенного, обычно открытого, неинвариантного множества. Конечно, может оказаться, что таких орбит вообще не существует, но при определенных условиях их существование может быть гарантировано. Конструкции инвариантного канторова множества в квадратичном семействе и подковы Смейла, обсуждаемые в 2.5, представляют собой простые, но нетривиальные примеры такого анализа. [c.30]

Существуют также аналоги теоремы Купки — Смейла для случая диффеоморфизмов и потоков, сохраняющих дополнительную структуру. Наиболее важные и часто используемые примеры таких структур — гладкие положительные меры (см. определение 5.1.1) и симплектические формы (определение 5.5.7). Из-за наличия встроенных резонансов (6.6.4), (6.6.5) и (6.6.6) соотношение между гиперболичностью и массивностью изменяется. [c.302]

Хотя МОЖНО было бы предположить, что диффеоморфизмы Купки — Смейла имеют более простую структуру орбит, чем близлежащие нетранс-версальные диффеоморфизмы, это не всегда верно. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий важный пример. [c.303]

Другое важное замечание состоит в том, что утверждение о трансверсальности из теоремы Купки — Смейла не может быть обобщено на случай устойчивых и чеустойчивых многообразий непериодических точек. Например, если Л — гиперболическое множество, то каждая точка Л обладает устойчивым и неустойчивым многообразиями (см. 6.4), так что для установления трансверсальности пришлось бы иметь дело с несчетным множеством точек. Нетрудно построить такой пример системы с двумя непе-ресекающимися локально максимальными гиперболическими мнозкествами, что касания между устойчивыми многообразиями точек первого множества и неустойчивыми многообразиями точек другого имеют место для открытого множества возмущений данного отображения [ ]. [c.303]

Длинная ось симметрии соответствует гиперболической точке периода два, и орбиты, проходящие через каждый из фокусов, образуют две ветви вырожденной инвариантной кривой, содержащей такую орбиту (упражнение 9.2.5). Эти ветви переставляются биллиардным отображением, и каждая из них состоит из ветви устойчивого многообразия одной из точек этой периодической орбиты и ветви неустойчивого многообразия другой. Поэтому все орбиты на этой кривой являются нетрансверсальными гетероклини-ческнми орбитами, и возмущения данного биллиардного отображения в соответствии с теоремой Купки — Смейла дают примеры сложного поведения (сравните с примером в конце 7.2). Короткая ось симметрии соответствует эллиптическим орбитам. Заметим, что индекс гиперболической орбиты как неподвижной точки квадрата отображения возвращения равен -1, а индекс эллиптической орбиты равен +1 (см. таблицу в 8.4). [c.351]

Как отмечалось прежде, отображение, введенное при рассмотрении примера аттрактора Смейла, не может быть представлено как непрерывная деформация полнотория в [c.538]

Мы встречались с понятием марковского разбиения неоднократно при рассмотрении кодирования для растягивающих отображений (п. 2.4 б), при изучении множеств типа подковы для квадратичных отображений (п. 2.5 б) и подковы Смейла (п. 2.5 в), при исследовании гиперболического автоморфизма тора (п. 2.5 г), гиперболических отталкивающих множеств для общих одномерных систем (теорема 16.1.1) и аттрактора Смейла ( 17.1). Во всех этих примерах марковские разбиения дают либо сопряжение с топологической цепью Маркова, либо полусопряжение, которые описываются весьма элементарным образом. Оказывается, это явление представляет собой феномен, характерный для малых размерностей и возникающий благодаря тому факту, что граница каждого из упомянутых множеств представляет собой конечное объединение отрезков устойчивых и неустойчивых многообразий. Уже для гиперболического автомтфизма тора Т необходимо определять элементы разбиения таким способом, чтобы граница содержала несчетное множество отрезков устойчивых или неустойчивых многообразий. Таким образом, геометрическая структура марковских разбиений в высших размерностях оказывается гораздо более сложной. Однако возможность рассматривать марковские разбиения существует, и с помощью этих разбиений мы сможем установить достаточно хорошее соответствие между марковской моделью и компактным локально максимальным гиперболическим множеством Л. [c.593]

Перед тем как перейти к общей теории, мы хотели бы подчеркнуть, что простой пример, показывающий инвариантность класса гёльдеровых функций, уже был приведен ранее. Гиперболическое множество подковы Смейла (см. п. 2.5 в) топологически сопряжено с топологическим 2-сдвигом Бернулли. При правильном выборе скоростей сжатия и растяжения легко видеть, что это множество изометрично пространству 2-сдвига с метрикой с1) , как показано в п. 1.9 а. Следовательно, класс гёльдеровых функций этой символической динамической системы в точности совпадает с классом гёльдеровых функций на инвариантном множестве подковы относительно евклидовой метрики. [c.600]

Использование градиентных потоков для изучения топологии многообразий описано в первой главе классической книги Милнора [205]. Мы следуем Милнору в изложении трех элементарных примеров. Полезным динамическим обобщением понятия градиентного потока типичной функции является понятие системы Морса — Смейла [310]. [c.723]

Подобно тому как вращения окружности и сдвиги на торе являются частными примерами сдвигов на компактных абелевых группах, автоморфизмы и эндоморфизмы тора являются простейшими примерами автоморфизмов и эндоморфизмов компактных абелевых групп. Топологический сдвнг Бернулли, обсуждаемый в следующем параграфе, и аттрактор Смейла, который обсуждается в 17.1, также могут рассматриваться как автоморфизмы компактных абелевых групп. Изучение динамики к эргодической теорнн автоморфизмов компактных абелевых групп связано с вопросами, относящимися к коммутативной алгебре, алгебраической геометрии и в особенности алгебраической теории чисел. Эта взаимосвязь хорошо представлена в книге Шмидта [287], [288]. [c.723]

Имеется обширная литература, посвященная бифуркациям, из которой мы можем привести только незначительную выборку. Работа [28] представляет собой всесторонний обзор, охватывающий локальную и нелокальную теорию. Книга Палиса и Такенса [243] — лучший источник информации об определенном классе нелокальных бифуркаций, связанных с появлением положительной энтропии в системах Морса — Смейла. Книги [25] и [283] содмжат введение в вопрос. Локальные и глобальные бифуркации также обсуждаются в [104]. Локальные нормальные формы и гомотопический прием представляют собой наиболее полезные инструменты в теории локальных бифуркаций. Алгебраическая геометрия и ее приложения в теории особенностей начинают играть важную роль, когда рассматриваются многопараметрнческие семейства. Интересный пример глобальных бифуркаций появляется в типичных семействах [c.728]

С другой стороны, С.Смейл (8.8та1е [2]) привел пример, который показывает, что структурно устойчивые системы не образуют всюду плотное множество в пространстве классических динамических систем (см. приложение 24). Таким образом, структурно устойчивые системы не являются общим случаем. [c.70]

С некоторой точки зрения [I], следует считать сложными ДС с положительной топологической энтропией (о ией см. в т. 2 или МЭ, Топологическая энтропия ). В известных примерах грубых ДС, не я вляющ1гхся ДС Морса —Смейла, она положительна, но не доказано, что это обязательно должно быть так. [c.190]

Другой распр остраненный механизм неинтегрируемости связан с появлением подковы Смейла (5. 5та1е) (см. гл. 7, 2), т. е. подмножества фазового пространства, в котором ди-шамика обладает специальными свойствами неустойчивости. По мере удаления от интегрируемости множество, занятое инвариантными торами, уменьшается, а множество , заполненное не- интегрируемой частью со сложным поведением траекторий, растет. Пределом можно считать динамические системы, обладающие самыми сильными статистическими свойствами на всем фазовом пространстве. Наиболее важными примерами таких систем служат геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, биллиарды в областях с выпуклой внутрь границей (см. гл. 7 и 8) и некоторые одномер--ные отображения (гл. 9). В основе исследования эргодических свойств подобных систем лежит понятие гиперболичности, которое подробно обсуждается в главе 7, 1. [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...