Устойчивость изоэнергетическая

Если п = 2, то условие изоэнергетической невырожденности гарантирует также устойчивость переменных действия в том смысле, что они остаются вечно вблизи своих начальных значений при достаточно малом возмущении. [c.376]

В случае п = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции не должна делиться на линейную. В этом случае изоэнергетическая невырожденность гарантирует устойчивость положения равновесия пО Ляпунову. [c.378]

Это семейство замкнутых орбит параметризовано частотой о , которая соответствует энергии. Легко проверить, что на любой поверхности постоянной энергии существуют ровно две орбиты подобного типа, одна 00 + 1 > о и другая с си + 1 < 0. Исследуем сначала изоэнергетическую устойчивость этих решений нри малых значениях /х. Для этого нам придется рассмотреть связанное с ними сохраняющее площадь отображение, которое мы уже изучали в конце 24 в связи с применением теоремы Биркгофа о неподвижной точке к этой проблеме. Решающую роль здесь играет то, что условия устойчивости выражаются в терминах конечного числа неравенств [c.319]

Для значений параметров вь, 9с, лежащих вне областей параметрического резонанса и не принадлежащих рассмотренным выше кривым резонансов до четвертого порядка включительно, прецессия Гриоли орбитально устойчива всюду, кроме, быть может, кривой, на которой нарушается условие Арнольда-Мозера изоэнергетической невырожденности гамильтониана возмущенного движения. Эта кривая состоит из пяти участков, показанных на рис. 4 штриховыми линиями участок, проходящий через точку Р2б(0,56776, 0,56776) и точку Р12 участок, соединяющий точки Ре и Р26(0,83902, 0,16098) участки Р14Р3 и Р15Р9 петлеобразный участок, лежащий между кривой ЗЛ = 4 и вертикалью вь = 1- [c.544]

Заключение. Таким образом, вопрос об орбитальной устойчивости регулярной прецессии Г риоли решен для почти всех допустимых значений параметров из области вс 0,01. Для оставшихся неисследованными шести точек Рк+18 ( = = 1, 2,..., 6), лежащих на кривых резонансов четвертого порядка, и для кривой изоэнергетической вырожденности при анализе устойчивости необходимо рассмотреть члены выше четвертой степени в разложении гамильтониана возмущенного движения в ряд. [c.544]

Условие 2) теоремы 1 существенно для наличия невырожденных инвариантных торов возмущенной системы. Дело в том, что при малом возмущении функции Г амильтона изоэнергетически невырожденные периодические решения не исчезают, а переходят в периодические решеиия того же периода. Для инвариантных торов размерности m 2 это уже не так. В работах В. К. Мельникова [128], Ю. Мозера [129], С. Граффа [198] показано, что гиперболические приводимые горы с сильно несоизмеримым набором частот (условие (Ю.4)) сохраняются при возмущении уравнений Гамильтона. Однако аналогичный результат для негиперболических инвариантных торов (например, устойчивых) в общем случае не удается получить даже на формальном уровне (исключение составляют случаи, когда т=1и п=п — 1). Обсуждение этих вопросов можно найти в работе Ю Мозера [129]. [c.240]

Замечание ([184]). Относительная мера множества инвариантных торов в полидиске т <е не меньше 1—Если между частотами отсутствуют резонансы до порядка / 4 включительно, то эта мера даже не меньше 1—0(е ). Д В случае п = 2 изознергетическая невырожденность гарантирует устойчивость равновесия по Ляпунову [5]. При п = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции Но не делится на линейную. Если даже квадратичная часть делится на лннелную, то равновесие все равно, как правило, устойчиво. Именно, предположи.м, что между частотами о)1 и ыг нет резонансных соотношений до порядка 1>4 включительно. Тогда функцию Гамильтона можио привести к нормальной форме [c.207]

Если между собственными частотами системы с двумя степенями свободы отсутствуют резонансные соотношения до 4-го порядка включительно, то равновесие устойчиво (при дополнительном условии изоэнергетической невырожденности) этот результат уже обсуждался в гл. 5, п. 3.5 Б. Для оставшегося конечного числа резонансных случаев справедлив ааедую-щий результат. [c.281]

При решении задачи об устойчивости будем использовать подход, который применен А. Д. Брюно, в работах [10, 14]. В этих работах, в отличие от классической постановки задачи об устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем, значение постоянной энергии не фиксируется, а она может изменяться в некотором интервале. Тем самым не используется понижение числа степеней свободы гамильтоновой системы, как это делается при изоэнергетической редукции. Такой подход позволяет исследовать полную окрестность периодического движения, используя канонические преобразования, а в окрестности периодического движения можно ввести такие локальные координаты, что гамильтониан возмуш енного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности положения равновесия. Таким образом, задача об орбитальной устойчивости периодических движений сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову по отношению к локальным координатам. [c.209]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...