Координаты действие-угол

Оказывается, получающаяся гамильтонова система с п степенями свободы имеет п интегралов в инволюции и может быть полностью проинтегрирована с помощью подходящих координат действие — угол. Таким образом получается конечномерное семейство частных решений уравнения Кортевега — де Фриза, зависящее от Зге -Ь 1 параметров 2п фазовых координат и еще п параметр с , й). [c.468]

При такой записи уравнений движения легко видеть, что движение происходит вдоль прямых линий и с постоянной скоростью, так как скорость v сохраняется. Это значит что п компонент вектора v являются интегралами движения. Для любой данной скорости v движение соответствует линейному потоку Т/ (см. 1.5). Следовательно, мы можем рассматривать фазовое пространство ГТ как E" х Т" с динамикой, описываемой следующим образом торы X Т" инвариантны и движение на г х Т" задается выражением г) X Т/. Таким образом, эта система вполне интегрируема, и естественные координаты являются для нее координатами действие — угол , которые были введены в 1.5. Гамильтониан системы Н(х, v) = v, v)/2 равен ее кинетической энергии, и невырожденная 2-форма ш имеет вид w = dx А dVi. [c.205]

Замечание. Теорема Лиувилля в ее полном варианте утверждает, что в окрестности можно найти такую симплектическую замену координат, что в новых координатах у,,..., у , Р, . ) гамильтониан зависит только от (у,,..., у ). Это так называемые координаты действие — угол . [c.234]

Многозначная функция 5 является производящей функцией (см. приложение 32) канонического преобразования ср р, д, определяющего координаты действие-угол [c.211]

Классические системы 11 Коммутатор Ли 237 Компактное многообразие отрицательной кривизны 63, 168, 177 Координаты действие-угол 94, 209, 211 [c.279]

Решение. Система имеет две степени свободы и находится в равновесии под действием трех пар сил (задаваемые силы) с моментами М , Ml и Mg. Примем за обобщенные координаты фо—угол поворота водила и — угол поворота шестерни I. [c.403]

Для центробежного регулятора прямого действия (см. рнс. 88, а) при составлении выражения кинетической энергии Т будем учитывать только постоянный приведенный момент инерции /п звеньев машины, приведенный к валу двигателя, и массу шаров т. За обобщенные координаты примем угол поворота ср вала двигателя и перемещение муфты регулятора г, отсчитываемое от положения, соответствующего номинальной скорости вала двигателя (см. рис. 88). [c.315]

Другие свойства переменных действие — угол. В предыдущем параграфе было установлено, что когда Wi изменяется на единицу, координата qi совершает полный цикл изменения. В случае периодического движения типа либрации это означает, что <7г возвращается к своему первоначальному значению. Следовательно, в случае либрации переменная qt должна быть периодической функцией переменной ш,, и период этой функции должен быть равен hwi = 1. Поэтому либрационную координату qh можно представить в виде ряда [c.322]

В случае вырождающегося плоского движения гармонического осциллятора разделение переменных возможно в любой декартовой системе координат. Получите соотношения между переменными действие — угол, соответствующими двум декартовым системам координат, образующим друг с другом угол 0. (Заметим, что рассматриваемое преобразование переменных (J, w) не является ортогональным.) [c.344]

Од постоянный импульс в задаче Кеплера (в переменных действие — угол), а<р кинетический момент, соответствующий координате ф, [c.410]

VI.4. Маятникообразное качение цилиндра по плоскому основанию. Пусть центр тяжести S неоднородного кругового цилиндра радиуса а находится на расстоянии s от его оси. Цилиндр катится под действием силы тяжести по горизонтальной плоскости. Масса цилиндра равна ш, момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести параллельно оси цилиндра, равен 0. Исследовать движение по методу Лагранжа, введя в качестве обобщенной координаты q угол поворота цилиндра вокруг его оси. При вычислении кинетической энергии поместить точку отсчета [c.330]

Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов а (г = 1, 2,..., п) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться /. Канонически сопряженные к ним координаты wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол wi весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [c.371]

Как показано ниже, теория переменных действие — угол зависит от разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. Пространство QP должно иметь евклидову топологию, одна или более разделяющихся переменных может быть циклической (как, например, азимутальный угол) ). Однако наличие циклических координат не является существенной чертой теории, просто они делают обсуждение несколько более сложным. Поэтому будем предполагать, что таких координат нет существенные изменения, вызванные их наличием, будут отмечаться там, где это необходимо. [c.348]

ЭФФЕКТИВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ — УГОЛ. Существование переменных р, а было установлено на произвольном каноническом многообразии и без предположения, что интегралы в инволюции заданы в какой-либо канонической системе координат. Если это предположение все же выполнено, то мы можем воспользоваться эффективным пополнением и получить смешанные формулы замены [c.269]

Исходная координата <7 —известная функция Wg и Д. так как мы предполагаем, что невозмущенная задача может быть решена путем введения переменных действие-угол. Если параметр Я О, мы возвращаемся к невозмущенной задаче, так что S должно соответствовать тождественному преобразованию следовательно, эта функция должна быть вида [ср. (5.224)] [c.191]

Найдя S (кроме Ьо..., которое. можно положить равным нулю) и, следовательно, из уравнений типа (7.206) и (7.207) новые переменные действие — угол, можно выразить координаты через новые переменные и тем самым предсказать поведение системы. [c.197]

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ СООТНОШЕНИЯ — фундаментальные соотношения квантовой механики, устанавливающие предел точности одноврем. определения канонически-сопряжённых динамических переменных, характеризующих квантовую систему координата — импульс, действие — угол и т. д. Математически Н. с. имеет вид неравенства, напр. [c.321]

Область Д в координатах Ii, I2 есть снова Д = h, h h О, /i /2 . В канонических переменных действие-угол I, (fi функция имеет вид S h I2 h Ф1 Ф2 Фз), то есть зависит только от h, h - Используя формулу (1.1), легко получить, что линии уровня функции 23 (h, h)/ в координатах действие суть прямые линии, проходящие через начало координат. Прямые II = О, /i = I2 (лежащие в Д) отвечают вращениям твердого тела вокруг меньшей и большей осей инерции. Вращениям вокруг средней оси инерции соответствуют точки из Д, расположенные на двух прямых 23 Ii, I2) = / . [c.40]

В некоторой окрестности и-мерного тора Т" , где интегралы независимы, можно перейти к переменным действие-угол приведенной задачи. Эта окрестность диффеоморфна прямому произведению В х Т" , где В — область Переменные действие I = (Д,. .., / ) постоянны во все время движения и принимают значения из области В, а переменные угол (р1,. .., (рп суть угловые координаты на и-мерном торе Т", равномерно меняющиеся со временем. В переменных действие-угол (р , (г = 1, 2,. .., и) функция Гамильтона (3.1) не зависит от т.е. [c.212]

Функция g — это координата ж, представленная в переменных действие-угол. Ее можно разложить в ряд Фурье [c.237]

В частности, в переменных /, р mod 2тг функция Гамильтона вполне интегрируемой системы с инвариантными торами принимает вид Я = Н 1). При этом / = -dH/dip = О, р = дН/д1 = = о (/). Следовательно, I t) = /о, ш 1) = о (/о). Переменные /, нумерующие инвариантные торы в I) х Т", называются переменными действия, а равномерно меняющиеся координаты ip — угловыми переменными вместе они называются переменными действие — угол. [c.86]

Канонические координаты х mod 2тг и у являются переменными действие — угол невозмущенной системы с гамильтонианом Яо. Следуя Пуанкаре, мы рассмотрим задачи о существовании для этой системы дополнительных интегралов и нетривиальных полей симметрий в виде рядов по степеням малого параметра е. Здесь существенное значение имеет классическая схема теории возмущений, изложенная в 10 гл. II. Оказывается, интегрируемости гамильтоновой системы препятствует разрушение большого числа резонансных инвариантных торов невозмущенной задачи при малых значениях s 0. [c.177]

Условные обозначения и единицы величин, определяющих динамику процесса, следующие пр - сила, развиваемая приводом робота, Н / сб сила, приходящаяся на пару сопрягаемых деталей, Н Ру, — осевая упругая сила от деформации /-й наклонной опоры механизма компенсации, Н 0 - осевая составляющая деформации, мм — вертикальная составляющая деформации опор, мм Л/ — реакции в точках контактирования деталей, Н С д — вес соединяемой детали и захватного механизма, Н —сила трения, возникающая в точках контактирования, Н Ра — суммарная сила, действующая на деталь, Н М , Л/вр — моменты, действующие в системе, Н мм р , р — соответственно начальное и текущее значения угла наклона опор механизма, ° 0 - угол между осями координат ОрА р и 0]Л 1,° а — угол между линией действия и осью координат," у - угол наклона оси присоединяемой детали, [c.411]

Мы увидим, что во многих невозмущенных интегрируемых задачах движение оказывается условно периодическим. При исследовании движения как в невозмущенной, так и особенно в возмущенной задаче полезны специальные симплектические координаты переменные действие — угол . В заключение мы докажем теорему, обосновывающую теорию возмущений одночастотных систем, и докажем адиабатическую инвариантность переменной действия в таких системах, [c.238]

Следствие. Если система невырождена, то инвариантные торы I = onst определены однозначно, независимо от выбора координат действие — угол I, <р, в построении которых имеется всегда некоторый произвол ). [c.255]

Ha самом деле эта система вполне интегрируема. Мы не будем использовать координаты действие — угол непосредственно, как в 1.5, а опишем динамику явно, решая уравнения движения в духе классического понимания полной интегрируемости . Заметим, что г а х г , так что движение происходит в плоскости, перпендикулярной kxxv. Таким образом, для любого данного направления xxv наша задача после соответствуюшей замены координат сводится к плоской задаче в 0 , т. е. к задаче с а = -Ug = 0. [c.207]

Рассмотрим часть поверхности S, заключенную внутри сепаратрис h < а ). Чтобы исследовать отображение Г, используем координаты действие-угол /, ср. Можно доказать (см. приложение 26), что существует каноническое преобразование ср q I такое, что уравнение I = onst определяет инвариантную кривую Г = Г/. Координата (р (mod 2тг) есть угловая координата на Г/, и в системе координат /, (р отображение Т имеет вид [c.84]

Пример 1. Предположим, что мы имеем ряд стержней АВ, ВС, D,. .., спободно соединенных в точках В, С, D, одну из которых можно считать неподвижной. Для простоты мы предположим, что стержни расположены вдоль одной прямой линии. За координаты q,., можно взять перемещения, перпендикулярные к стержням в двух любых точках Р, Q системы. Тогда теорема утверждает, что скорость точки Q, создаваемая импульсом, действующим в точке Р, равна скорости точки Р, создаваемой равным импульсом, приложенным в точке Q. Если за координату возьмем угол, то углорая скорость стержня НК, создаваемая импульсивным моментом, приложенным к другому стержню ВС, равна угловой скорости стержня ВС, создаваемой импульсивным моментом, приложенным к стержню НК- Наконец, в качестве примера с координатами разного типа заметим, что когда импульс приложенный к какой-либо точке Р стержня ВС, сообщает угловую скорость ш стержню НК, то импульсивный момент приложенйый к НК, сообщил бы точке Р скорость ша (.Динамика", 108). [c.185]

Конструктивный перехс5д к циклическим координатам возможен, в частности, при выполнении следующих дополнительных условий любая пара канонически сопряженных переменных должна являться совокупностью ограниченных периодических функций времени с одинаковым периодом Г/, либо каждый импульс Р( должен представлять собой периодическую функцию координаты дк В этом случае переход к переменным действие — угол [ 16], [22, с. 436] приводит [c.78]

Отметим, что если мы допускаем произвольные канонические замены переменных в фазовом пространстве, то тогда любая- вполне интегрируемая гамильтонова система решается разделением переменных для этого достаточно перейти к переменным действие— угол. В такой общей постановке задача о существовании разделенных канонических координат по существу эквивалентна задаче о наличии полного набора инволютивных интегралов. [c.100]

При этом существенно, что главная часть гамильтониана зависит только от импульсов действий , а возмущающая часть от координат (/, , К) зависит 27Г-периодически. Для перехода к переменным действие-угол в рассматриваемой задаче необходимо уметь вычислять интегралы, определяемые соотногпениями (13), (15). Можно показать, что эти интегралы выражаются через эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода. Для получения регпения в исходных переменных необходимо обращать эти интегралы. При этом оказывается, что зависимость [c.401]

Старая квантовая механика Планка, Бора и Зоммерфельда — так называемая атомная механика — основана на рассмотрении переменных действие-угол. Напротив, новая квантовая механика Гейзенберга и Шрёдингера основана на переменных координата и импульс. Поразительно, что уже через несколько месяцев после основополагающих работ Гейзенберга и Шрёдингера Фриц Лондон задался вопросом о том, как переформулировать новую квантовую механику на языке переменных действие-угол. Он сразу же обнаружил, что не существует эрмитового оператора, соответствующего классической фазовой [c.253]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...