Канонические многообразия

ТЕОРЕМА ДАРБУ. В окрестности каждой точки канонического многообразия суш,ествуют канонические координаты. [c.255]

КАНОНИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ- Пусть есть каноническое многообразие (М ", Q) и его отображение в себя ф М М. Можно определить обратный образ ф й формы Q. В терминах интегрирования [c.258]

ЭФФЕКТИВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ — УГОЛ. Существование переменных р, а было установлено на произвольном каноническом многообразии и без предположения, что интегралы в инволюции заданы в какой-либо канонической системе координат. Если это предположение все же выполнено, то мы можем воспользоваться эффективным пополнением и получить смешанные формулы замены [c.269]

Пара (М, Е) называется симплектическим (каноническим) многообразием. Функция f,g называется скобкой Пуассона функций /ид. Скобка Пуассона превращает линейное пространство С М) в бесконечномерную алгебру Ли над полем R. Ее центр (множество элементов, коммутирующих со всеми элементами алгебры) состоит лишь из постоянных функций. [c.19]

В том случае, когда многообразие, определенное первыми интегралами — Д, г = 1,.., ,п, канонических переменных, компактно, переменные т/, (см. пример 9.7.4) действительно имеют смысл угловых координат на этом многообразии. В других случаях переменные Гр, строго говоря, уже не будут угловыми, хотя мы сохраним за ними это название. [c.689]

Предположим сначала, соответственно теории А. Пуанкаре, что Ы = 0. Затем проинтегрируем правую и левую части равенства (б ) по замкнутому контуру в области шо, которой принадлежит многообразие изображающих точек с координатами и где и — начальные значения канонических переменных. [c.383]

Доказанная теорема позволяет сделать вывод, аналогичный приведенному в 127. Переход от одной точки в многообразии изображающих точек, соответствующих системе канонических уравнений динамики, к другой точке Этого многообразия можно рассматривать как результат бесконечной последовательности бесконечно малых канонических преобразований, определенных формулами (II. 388). [c.388]

Чтобы показать особенно простой пример таких инвариантов, остановимся на случае (в некотором смысле противоположном рассмотренному в п. 32), в котором многообразие интегрирования имеет наименьшее число измерений, т. е. сводится к линии точнее, обращаясь исключительно к каноническим системам, докажем, что для всякой такой системы будет инвариантом интеграл [c.295]

Теорема. Многообразие L является инвариантным для исходной канонической системы, т. е. как бы соткано из решений если начальная точка (р°, q°, °)eL, то соответствующее решение уравнений (1) целиком лежит на L. [c.138]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ. Канона-ческим, или симплектическим многообразием называется пара Q), где — 2п-мерное гладкое многообразие, а fi(a, Ь) — заданная на всем невырожденная — [c.246]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Поскольку найденное условие каноничности замены содержит ограничения на производные от уравнений замены, то оно носит название локального критерия каноничности. Локальный критерий каноничности выделяет в множестве всех дифференцируемых замен многообразие второго порядка канонических замен. [c.294]

Многообразие канонических замен в плоскости (и, у) всех рассматриваемых замен представляет собой окружность единичного радиуса. [c.294]

Канонические переменные действие-угол вводятся в случае компактного многообразия уровня первых интегралов "Нк и являются удобными при формировании в дальнейшем процедур приближенного интегрирования систем, близких к интегрируемым по Лиувиллю. [c.303]

Пусть N — пространство положений натуральной системы, XI,..., Хп — локальные координаты на Л , а у I,..., — импульсы. Координаты х,у являются каноническими на Т М, и в этих переменных симплектическая структура П имеет стандартный вид П = с1у А х,. Рассмотрим дополнительно некоторую замкнутую 2-форму на Л Г = Гу х)(1х Л ([c.24]

Как уже говорилось в гл. I, обычно в задачах динамики фазовое пространство совпадает с пространством кокасательного расслоения конфигурационного многообразия М , а функция Гамильтона квадратично зависит от канонических импульсов. [c.65]

Для доказательства теоремы 1 воспользуемся следующим результатом симплектической топологии в некоторой окрестности и каждой точки лагранжева подмногообразия Л симплектического многообразия (М, Г2) найдутся канонические координаты р, д, в которых = (/р Л ( 5, и множество Л П 7 задается уравнением р = О [13]. Папример, пусть лагранжева поверхность Л задана ура в-нением у = дЗ/дх (см. 2 гл. II). Тогда координаты р, д вводятся каноническим преобразованием д = х, р = у - дЗ/дх. [c.256]

При всем многообразии алгоритмов решения задач в них можно выделить три основных (канонических) вида алгоритмических структур линейную, ветвящуюся (разветвляющуюся) и циклическую. С помощью этих трех видов структур можно построить алгоритм любой сложности. [c.152]

А. Скобка Пуассона двух функций. Пусть (Л/ ", (о ) — симплектическое многообразие. Функции Н К, заданной на симплектическом многообразии, соответствует однопараметрическая группа я Л/ " канонических преобразований [c.187]

Теорема. Если функция Гамильтона Н, заданная на симплектическом многообразии (М , ), выдерживает однопараметрическую группу канонических преобразований, заданную гамильтонианом F, то F есть первый интеграл системы с функцией Гамильтона Н. [c.188]

Определение. Атлас многообразия называется симплектическим, если в координатном пространстве = р, дг)) введена стандартная симплектическая структура со = Д и переход с одной карты на другую осуществляется каноническим (т. е. сохраняющим со ) преобразованием ) фТ /. [c.201]

Эта теорема позволяет немедленно распространить на все Симплектические многообразия любое утверждение локального характера, инвариантное относительно канонических преобразований и доказанное для стандартного фазового пространства (К , со = Д йд). [c.201]

Начальные значения канонических переменных арифметизируют многообразие изображающих точек, принадлежащее области Шо. Эта арифметизация не изменяется при дальнейщем движении материальной системы и сохраняется в области ш ( 132). Рещения системы дифференциальных уравнений (II. 379) устанавливают связь между каноническими переменными д, и pj в произвольный момент времени и их начальными значениями. Также постоянные и 6j связаны с д о и р,о. Следовательно, gio и можно рассматривать как независимые координаты в многообразии изображающих точек. Подробнее об этом сказано в следующем параграфе. [c.383]

Параметры ы и и являются координатами точек некоторого двумерного многообразия в фазовом пространстве. Возьмем в качестве такого многообразия плоскость qiqj и вычислим скобку Лагранжа qu q . При этом можно, конечно, пользоваться любой системой канонических переменных, например переменными q, р, которые, очевидно, наиболее удобны. Тогда скобка qu q ] примет вид [c.277]

Галилеева симметрия в конце XIX в. не включалась в канонический формализм как мы уже отмечали, вопрос о том, какой закон сохранения отвечает ей, оставался открытым. В силу особой роли времени в классической механике галилеево-ньютонова группа как некоторая единая система преобразований, действующая на пространственно-временном многообразии, оставалась неизвестной, несмотря на то, что все ее генераторы были известны, по существу говоря, со времени Галилея и Ньютона. Галилеев принцип относительности имел большое значение для обоснования системы Коперника (Галилей), использовался Гюйгенсом в качестве одного из главных постулатов теории упругого удара, но уже в Началах Ньютона формулировался в виде следствия из трех основных аксиом или законов механики, а в механике XVIII в., как правило, не фигурировал вообще. Во второй половине XIX в. возобновляется некоторый интерес к физическим основам механики, в частности к вопросам об абсолютном пространстве, инерциаль-ных системах отсчета и принципе относительности Галилея (Э. Мах, К. Нейман, Л. Ланге и др.) . Частично это было связано с проблемой увлекаемо-сти эфира в оптике и электродинамике движущихся сред. Однако исследования эти не носили систематического характера, и галилеева симметрия в механике не рассматривалась на одном уровне с евклидовой симметрией. Отчетливое понимание роли галилеевой симметрии в классической механике и открытие галилеево-ньютоновой группы произошло, по сути дела, после открытия теории относительности. Ф. Клейн в этой связи подчеркивал Эта выделенность t (т. е. времени.— В. В.) играла определенную тормозящую роль в истории развития механики. Несмотря на то, что уже Лагранж [c.238]

Горак выводит для склерономной и реономной неголономных систем в голономных и неголономных координатах, а также в склерономных параметрах обобщенные уравнения Ньютона, Лагранжа — Эйлера и Аппеля — Гиббса. Из этих уравнений получаются как частные случаи уравнения Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова и др. Из уравнений Горака можно получить также обобщенный принцип Гамильтона — Остроградского и обобщенные уравнения неголономной динамики в канонической и естественной формах. С целью упрощения установленных им уравнений 3. Горак строит неголономное многообразие со специальной метрикой — вселенную системы. Во вселенной системы, как оказывается, уравнения Лагранжа—Эйлера и Аппеля — Гиббса получают весьма простой вид. Во вселенной обобщаются также вариационные принципы механики — принципы Гаусса — Герца наименьшей кривизны и Гамильтона — Остроградского наименьшего действия. 3. Горак показывает, что принцип Гамильтона — Остроградского эквивалентен уравнениям линии вселенной . Рассматривая время как временной параметр и вводя понятие пространственно-временной силы , 3. Го-раку удалось значительно упростить выражения дифференциальных урав- 105 нений движения неголономной системы. [c.105]

Роско [41 ] показал, что, несмотря на все многообразие схем моделей, их можно в основном свести к двум каноническим формам первая (рис. 11, о) — из последовательно соединенных элементов Фойхта — Кельвина, вторая (рис. 11, б) — из параллельно соединенных элементов Максвелла. [c.29]

Отмеченные сложности определяют также и многообразие подходов к решению задач. Наиболее распространен при их исследовании метод, опираюш,ийся на использование принципа суперпозиции, позволяюш,его для неоднородности канонической формы, целиком расположенной в одном из слоев структуры, точным образом свести краевую задачу к системе интегро-функциональных уравнений. В случае, когда неоднородность пересекает границу слоя (полупространства), или имеет произвольную форму, наиболее перспективно использование методики граничных интегральных уравнений (ГИУ) и реализуюш,их ее на ЭВМ метода граничных элементов (ГЭ). Использование метода конечного элемента в данной проблематике практически ограничено исследованием задач нестационарного контактного взаимодействия при относительно малых временах и некоторых ограничениях на импульс силового воздействия (его частотный спектр). [c.311]

Начнем с аксиоматического определения скобки Пуассона, идея которого восходит, по-видимому, к Дираку [193]. Пусть М — четномерное многообразие. Множество всех бесконечно дифференцируемых функций f М R обозначим С М). Симплекти-ческой (канонической) структурой Е М называется билинейное отображение , С М) х С М) —> С М), удовлетворяющее следующим условиям [c.19]

Диффеоморфизм М —> М называется каноническим, если он сохраняет скобку Пуассона / о <р ( ) = /> 5 (<р( ))-Канонические диффеоморфизмы симплекти чес кого многообразия М,и) образуют, конечно, группу ). Фазовый поток любой гамильтоновой системы на М является однопараметрической подгруппой группы канонических диффеоморфизмов М. [c.20]

Если дифференциальные уравнения, представленные в некоторых локальных координатах на гладком многообразии не имеют канонического вида уравнений Г амильтона, то это еще не означает, что они не гамильтоновы локальные координаты могут не быть симплектическими. Приведем примеры динамических систем, гамильтоновость которых априори не очевидна. [c.59]

Источником симплектических структур в механике являются фазовые пространства (т. е. кокасательные расслоения к конфигурационным многообразиям), на которых всегда есть каноническая симплектическая структура. Источником контактных структур являются многообразия контактных элементов конфихурацион-ных пространств. [c.314]

Определение. Канонической 1-формой на пространстве-симплектизации контактного многообразия называется дифференциальная 1-форма а, значение которой на каждом векторе касательном к пространству-симплектизации в некоторой точке р (рис. 237), равно значению на проекции вектора в касательную плоскость к контактному многообразию той 1-формы на этой касательной плоскости, которой является точка р [c.323]

Следствие. Пространство-симплектизация контактного многообрази.ч имеет симплектическую структуру, которая канонически (т. е. однозначно, без вс.якого произвола) определена контактной структурой исходного нечетномерного многообразия. [c.323]

Доказательство. Сиьшлектизация 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов на и-мерном гладком многообразии, построенная по полю 2п — 2-мерных контактных плоскостей, есть по построению пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых кокасательных векторов. Каноническая 1-форма а на симплектизации есть, согласно ее определению, та самая 1-форма на кокасательном расслоении, которую мы назвали р д и которая лежит в основе гаьшльтоновой механики (см. 37). Ее производная йа. есть, следовательно, форма айр Д йд , задающая обычную симплектическую структуру фазового пространства. Стало быть, форма йа не вырождена. Значит, по предыдущему замечанию, поле контактных гиперплоскостей не вырождено. Следствие доказано. [c.325]

Ж. Сииплектизация контактных диффеоморфизмов и полей. По каждому контактному диффеоморфизму контактного многообразия каноническим образом строится симплектический диффеоморфизм его симплектизации. [c.326]

Теорема. Определенное выше отображение /1 симплектизации контактного многообразия в себя является симплектическим диффеоморфизмом, коммутирующим с действием мультипликативной группы вещественных чисел и сохраняющим каноническую -форму на симплектизации. [c.327]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...