Разложение по парциальным волнам

Вообще весьма интересно сопоставить свойства сходимости разложения по парциальным волнам (9.1) или (9.6) с соответствующими свойствами 1 -преоб-разования. [c.134]

В заключение укажем на связь аналитических свойств /( , t) при тк О и для фиксированного 1 при с разложением по парциальным волнам. [c.168]

В рамках приведенных рассуждений нельзя найти аналитическое поведение амплитуды при больших os , так как оно определяется совместным эффектом всех Тп, и поэтому теория возмущений о нем ничего не говорит. Чтобы изучить поведение при больших OS S, необходимо применить к разложению по парциальным волнам И -преобразование. [c.176]

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПАРЦИАЛЬНЫМ ВОЛНАМ [c.280]

При разложении по парциальным волнам мы приходим к радиальному уравнению Шредингера (11.8), в котором I фигурирует в качестве параметра при центробежном члене г . Если забыть о том, что это уравнение получилось из полного уравнения Шредингера, то нет никаких оснований считать, что в нем I может принимать только целочисленные значения. Однако поскольку для вычисления амплитуды рассеяния нам необходимы матричные элементы S-матрицы и фазовые сдвиги только с целочисленными значениями I, то может показаться, что в равной степени нет никаких оснований рассматривать другие значения I. Тем не менее нетрудно убедиться, что иногда имеет смысл считать I непрерывной (и даже комплексной) переменной. [c.354]

Отправным пунктом пам послужит разложение по парциальным волнам (П. 10а), которое можно также записать в виде [c.373]

Другой метод, предложенный Гильбертом и Шихом [332], позволяет непосредственно связать поведение разложения по парциальным волнам с поведением соответствующего степенного ряда. [c.385]

Однако существует еще одна проблема, требующая рассмотрения. Если 0 стремится к бесконечности, то в соответствии с (18.11) фазовый сдвиг, вычисленный в приближении ВКБ, будет сильно зависеть от I. Поэтому метод суммирования разложения по парциальным волнам, который применялся в п. 2 и основывался на предположении о слабой зависимости фазовых сдвигов от I, теперь становится непригодным. Таким образом, область значений угловых моментов, вблизи которой возникает закручивание, нужно рассматривать отдельно. [c.532]

Наконец, если в этом разложении по парциальным волнам с помощью (13.12) заменить суммирование интегрированием, то величину а к, Ь). можно будет выразить непосредственно через амплитуду рассеяния. Меняя порядок суммирования и интегрирования и снова используя (18.37), получаем [c.536]

Это даст нам возможность перейти к разложению по парциальным волнам [c.491]

Разложение рассеянного поля по парциальным волнам [c.459]

Если оператор Н сферически симметричен, то второй член в формуле (7.76) можно разложить по парциальным волнам. Так как первый член нам известен в явном виде, то нет необходимости в его разложении. Другими словами, амплитуду рассеяния можно записать в виде [c.400]

В выражение (16.82) входят амплитуды без черточек, определяемые (16.65) параметр а (помимо всех прочих квантовых чисел) должен включать в себя квантовые числа спиральностей отдельных фрагментов. Если в соотношение (16.82) подставить разложения амплитуд по парциальным волнам, то легко показать, что оно эквивалентно условию унитарности матрицы 5 (но не матрицы 5 ) [c.455]

Изложение будет состоять из ряда этапов, на первом из которых будет проводиться приближенное вычисление фазовых сдвигов, а на последующих — разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам и формулировка приемов, которые упрощают процедуру суммирования. [c.522]

Отметим, что в этой области фазовый сдвиг как функция I меняется сравнительно медленно. Тогда из (18. И) следует, что не существует какого-то единственного фазового сдвига (или их небольшого числа), который давал бы в рассеяние основной вклад. В результате, поскольку в разложении амплитуды по парциальным волнам основную роль играют высокие моменты, это разложение будет содержать множество сравнительно мало отличающихся друг от друга слагаемых. [c.526]

Так как теперь нас будут интересовать малые величины sin 0, то при анализе разложения амплитуды по парциальным волнам для полиномов Лежандра следует использовать вместо асимптотического выражения (3.73) формулу (3.59), В остальном методика ничем не отличается от той, которая применялась нами в п. 2. Имеем [c.530]

Формулу (18.32) можно рассмотреть также с точки зрения разложения амплитуды по парциальным волнам. Так как в квазиклассическом случае кЬ = I + /г, а Уо [( + /2) 01 является приближенным выражением (3.59) для полиномов Лежандра 1-го порядка при больших / и малых углах, то (18.32) представляет просто интеграл, заменяющий сумму [c.534]

Рассмотрим подробнее представление (1.11) полного поля дифракции. Первое слагаемое в представлении для верхнего полупространства отвечает наклонно падающей на решетку первичной волне. Направление ее распространения составляет с осью 2 угол ф. Бесконечные ряды в (1.11) представляют собой рассеянное (вторичное) поле, а члены этих рядов — парциальные волны пространственного спектра или дифракционные гармоники. Рэлей первым [15] представил рассеянное поле вблизи периодической структуры в виде разложения в ряд по плоским волнам, поэтому иногда формулы типа (1.11) называют представлениями Рэлея. Каждый член разложения [c.17]

Далее, как в задаче о неустойчивых резонаторах со светорассеянием, следует учесть, что мы имеем дело, по существу, с углами наклона фронтов парциальных волн, каждая из которых ввиду ограниченности сечения имеет конечную расходимость дифракционного происхождения. Поэтому можно считать, что формирование пучка с дифракционной расходимостью основной моды — завершается тогда, когда геометрическая расходимость уменьшается до значения X/ (2а) (у разложения суммарного поля в ряд Фурье остается фактически единственный член). Это происходит через число обходов Wq, определяемое соотношением 2а/= = XI(2а), или Af" = 4a l( f2) К данному моменту внутри резонатора остается доля первичного затравочного излучения, равная = [c.173]

Как и в разложении (10.31), символом Ь здесь обозначена пара квантовых чисел момента количества движения I, т). Теперь надо решить уравнение (10.70) относительно функции 1 )-Но по существу это не более чем задача о решении уравнения Шредингера для радиальных функций (10.32). Используя различные тождества, которым удовлетворяет -матрица, мы можем установить связь разложения (10.72) с выражением (10.35), возникающим в методе парциальных волн для матричных элементов в представлении орбитальных квантовых чисел [c.489]

Перное слагаемое в атой ф-ле —плоская полна, опи- ывaюп aя нач. поток частиц, второе слагае.мое — расходящаяся волна, онисываюшая рассеянные частицы, f b, е) можно представить в виде ряда по полиномам Лежандра Р, ( os0) разложение по парциальным волнам) [c.71]

Существуют обобщоиия разложения по парциальным волнам для более сложных случаев рассеяния (рассеяния релятивистских частиц, частиц со спином, много-частичных амплитуд и пр.). [c.71]

Так, Давид в какой-то степени повлиял на тему моей кандидатской диссертации. Вскоре после моего появления в ФИАНе и опубликования двух моих работ по фоторождению пионов и рассеянию фотонов на нуклонах с учетом изобарных состояний, Давид спросил, собираюсь ли я их защищать. Это действительно входило в мои планы. Давид сказал, что Ландау критически относится к изобарам. Но-видимому, под влиянием этой информации я сделал еще несколько работ по инвариантной структуре амплитуды рассеяния частиц со спином и ее разложениям по парциальным волнам, которые и составили мою диссертацию. Позднее, когда резонансы прочно вошли в физику частиц, стало ясно, что критика Ландау была напрасной. Вместе с тем, результаты по спиновой структуре амплитуды рассеяния тоже оказались полезными и тогда же были использованы при построении дисперсионных соотношений. [c.396]

В соответствии с этим Р следует рассматривать как изменение плотности свободной энергии, обусловленное существованием нелинейной компоненты поляризации. Пренебрегая быстро осциллирующими членами в б/ и учитывая разложение по парциальным волнам, получим [c.204]

Содержание книги можно разбить на две в известной степени независимые части. В первой из них (гл. 1—9) после изложения используемого математического аппарата и формулировки фундаментального метода Иоста подробно исследуется уравнение для парциальных амплитуд и излагаются физические выводы для парциальных и полных амплитуд. При этом авторы применяют методы, близкие к тем, которые применялись в их собственных оригинальных работах, хотя возможны (а подчас и более просты) другие подходы, использованные, например, в цитируемых работах Барута и Цванцигера, Ньютона, Грибова, Брауна, Фивеля, Ли и Сойера и ряда других. Во второй части (гл. 10—13) более конспективно приводятся результаты, получающиеся без применения разложения по парциальным волнам (в их числе дисперсионные соотношения), а также кратко рассматриваются обобщения на случай многоканальных задач и так называемых сингулярных потенциалов. Относительно подробно излагается обратная задача восстановления потенциала. [c.7]

Далее (гл. 11—15) автор весьма подробно рассматривает разложения по парциальным волнам при потенциальном рассеянии как для скалярных частиц, так и для частиц со спином и 1, а также аналитические свойства амплитуд и дисперсионные соотношения. В главе 13 отдельно изложена теория комплексного углового момента и представление Мандельстама. [c.6]

Несмотря на то что в квантовой механике угловые моменты частиц или групп частиц могут равняться только целому или полуцелому числу, кратному II, для более ясного понимания математических свойств амплитуды рассеяния целесообразно снять это ограничение. С математической точки зрения введение квантования орбитального углового момента I связано с использованием разложений по парциальным волнам. При этом существенное значение имеют свойства сферических гармоник, которые в случае нецелочисленных I как функции переменного os 0 при os О 1 не обладают достаточно хорошим поведением. Условие целочисленности углового момента I вытекает из требования регулярности трехмерной волновой функции по всем направлениям. [c.354]

К 6. Впервые квантовоыеханическим способом формула Резерфорда была получена в борновском приближении как предельный случай экранированного кулоновского поля Венцелем [899], а позже непосредственно для кулоновского поля без экранирования Оппенгейыером [672]. Впервые точное решение уравнения Шредингера с использованием разложения по парциальным волнам, а также в параболических координатах получено Гордоном [351]. [c.408]

Основной помехой использования представления (18.36) при любых энергиях (по сравнению с разложением по парциальным волнам) является отсутствие взаимно однозначной связи между амплитудой рассеяния Л к, os 0) и амплитудой а к, Ь), соответствующей определенному значению прицельного параметра. Так как переменная z = os 0 должна быть всегда больше минус единицы, то функция а (к, Ь), определяемая соотношением (18.40) или (18.41), не является единственной функцией, которая при подстановке ее в (18.36) приводит к заданной амплитуде Л. [В действительности амплитуда, определяемая формулой (18.40) или (18.41), должна удовлетворять интегральному уравнению Каптейна, и если ее подставить в (18.36), то при z С — 1 интеграл [c.536]

Для обычных частиц, например для нейтронов, разложение по парциальным сечениям есть не что иное, как разложение по состояниям с различными значениями орбитального момента /. Поэтому если длина волны нейтрона значительно больше области, в которой действуют ядерные силы (за счет короткодействия ядер-ных сил размеры этой области почти совпадают с размерами ядра), то рассеяние в основном идет в s-состоянии (/ = 0), а вероятность рассеяния в состояниях с большими I резко падает с ростом I. Для фотона, в отличие от других частиц, понятия орбитального момента не существует. Мы не будем объяснять этого тонкого обстоятельства, а лишь укажем, что оно обусловлено совместным действием двух причин равенством нулю массы покоя фотона и ненулевым значением его спина, который равен единице. [c.162]

Рис. 6.23. Угловое распределение интенсивности рассеянного света, вычисленное для лучей из рис. 6.22 масштабный параметр 0 = 1500. I — распределение интенсивности, полученное вычислением дифракционного интеграла для 5-образного волнового фронта 2 — распределение волн, полученное с учетом вклада поверхностных волн, возникающих в представлении Ватсона — Редже при скалярной аппроксимации рассеянного поля 3 — решение, полученное при сложении более чем 1500 членов разложения в представлении рассеянного поля в виде ряда по парциальным волнам. (Из книги Нуссенцвейга [36].)

Дальнейшие свойства функций Иоста обсуждались в работах Баргмана [2, 3] (1949 г.), где также никак не использовался конкретный вид потенциалов. Рассмотрение в цитированных статьях специальных потенциалов, позволяющих получить окончательное решение, оказалось полезным для проверки целого ряда гипотез об аналитических свойствах функций Иоста и парциальных амплитуд. Следует подчеркнуть, что во всех работах последнего направления рассматривалась не полная амплитуда рассеяния, а лишь отдельные члены разложения ее по парциальным волнам. [c.16]

К 2, п. 5. Разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам в виде, аналогичном (2.87), в квантовой механике впервые было использовано Факсеном и Хольц-марком [249]. [c.59]

Итак, разложение амплитуды по парциальным волнам абсолютно сходится и алшлитуда рассеяния Л есть аналитическая функция 1 в эллипсе Ле.мана на кохшлексной плоскости Фокусы эллипса Лемана находятся в точках / - О и — 4Й-, а его центр — в точке I - — При действительных к большая и малая полуоси эллипса равны соответственно а 2к и о ( о + 4А ) 2. Из формулы (13.1) для амплитуды А на первый взгляд может показаться, что амплитуда А аналитична во всей плоскости г с разрезом от [c.375]

По этой причине мы будем рассматривать разложение (П. 10а) амплитуды по парциальным волнам так же, как это делалось в гл. 3, 5. Первый член разложения (П. 10а), т. е. его первая строка, обусловливает дифракционное рассеяиие, которое сосредоточено в малой области углов в окрестности направления вперед. Размеры этой области зависят от радиуса взаимодействия R [c.526]

В 1908 г. Густав Ми объяснил окраску, возникающую при освещении коллоидного раствора металлических частиц, рассмотрев рассеяние волны на сферической частице, имеющей комплексный показатель преломления, в среде с потерями. Рассчеты Ми включали в себя суммирование нескольких первых парциальных волн в разложении поля по этим волнам [27]. [c.459]

В приведенной форме настоящий результат очень похож на выражение, использованное в методе Мартина (см. гл. 6). По существу, метод Мартина представляет собой далеко идущее обобщение рассмотренного примера в том смысле, что он использует возможность разложения по нецелым степеням величины ехр(—тх12). Из только что приведенного обсуждения ясно, что ложные полюсы возникают тогда, когда С(а) является дираковской o-функцией или суперпозицией 0-функций. По этой причине сразу исключаются как стандартный потенциал Юкавы, так и все потенциалы, следующие из теории поля. Во всяком случае, если раньше, когда поставленная проблема ложных полюсов считалась существенной, внимание было сосредоточено на парциальных волнах, то теперь [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...