Множество векторов компактное

Здесь уместно вспомнить, что по определению гильбертово ( -пространство является полным. Это означает, что любая последовательность подчиняющаяся сильному условию Коши, т. е. Н / — -> О, является в этом пространстве сильно сходящейся. Однако гильбертово пространство обладает полнотой также и в слабом смысле ([947], т. 1, стр. 71). Множество векторов называется компактным, если во всякой принадлежащей ему последовательности содержится сильно сходящаяся подпоследовательность множество векторов называется слабо компактным, если из каждой последовательности, входящей в это множество, можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Часто оказывается полезным то обстоятельство, что любое ограниченное (в сильном смысле) множество в гильбертовом пространстве является слабо компактным ([947], стр. 79). Это утверждение— слабый аналог теоремы Больцано — Вейерштрасса, которая не справедлива для гильбертова пространства в сильном смысле. Верно и обратное утверждение каждая слабо сходящаяся последовательность является ограниченной в сильном смысле ([947], стр. 71). [c.163]

Оператор является вполне непрерывным тогда и только тогда, когда он отображает любое ограниченное множество векторов в компактное множество (1947), стр. 89). [c.193]

Действительно, по следствию 1 векторы u,v зависимы во всех точках множества Г. Пусть теперь Ф — произвольная аналитическая 2-форма на М. Так как Ф(м,г )—аналитическая функция на М, равная нулю на Г, и Г — ключевое множество, то Ф(и, г ) s 0. Воспользуемся следующим фактом пусть Фо — заданная внешняя форма в точке Zq G М тогда существует аналитическая дифференциальная форма Фг на М, которая при z = zq совпадает с Фо. Отсюда вытекает зависимость полей и, v во всех точках М. Утверждение о возможности продолжения формы Фо на все М доказывается с помощью известного результата о вложении компактного аналитического многообразия М в Пусть Фо—ограничение 2-формы ifo, заданной в точке zo М С R , на Т М. Форма v oi очевидно, продолжается до аналитической формы ip на всем R (пусть, например, все ее коэффициенты постоянны). Остается ограничить форму ip на М. [c.222]

Доказательство. Пусть (М) (Ост< 1) есть семейство, соединяющее поля г и г . Вектор-функция (М) является непрерывной функцией, заданной на компактном множестве (топологическом произведении кривой С и сегмента [О, 1]), и, следовательно, равномерно-непрерывна. Поэтому при всяком е > О можно найти такое 6 > О, что если т - т" К б, г е[0, 1], т"е[0, 1], то г .(М)-Гг (М) <Св для любого Л/ С. Далее, так как ио условию —поле без особенностей, то ь (М) ф О, и I Vx (М) I достигает наименьшего значения, которое мы [c.210]

Совокупность векторов а, компоненты которых пробегают в совокупности область Qm, далее будем считать принадлежащими векторному пространству Ч т. При определении конкретных значений параметров а/ по измерениям aj, =1,. . ., п решают аппроксимационную задачу путем минимизации нормы ll a(A-) — — (X, а) в 2(A) или в дискретном варианте a — Р( )11 в k, где модельный вектор (a) имеет компоненты (Xi, ai,. .., a ,. .., am). Напомним, что последняя норма обычно называется оптической невязкой и обозначается через рфа )- В рассматриваемом случае можно просто писать р(а). В качестве решения обратной задачи выбирается вектор а, минимизирующий эту невязку при условии, конечно, что р(а ) а. Это условие указывает на то, что для измеренного вектора a мы подобрали вполне приемлемую аппроксимацию из параметрического семейства оптических моделей Вт, порождаемых вектором а и соответствующим параметрическим полидисперсным интегралом. С учетом (1.88) можно надеяться, что полученное распределение s(r, а ) будет близким к действительному распределению 5о(г). Характер этой близости требует особого рассмотрения, и к нему мы вернемся несколько позже. Очевидно, нет надобности доказывать, что модельные характеристики (А, а), используемые для аппроксимации измеренной функции a( ), образуют компактное множество. [c.54]

Для каждого 5 выберем упорядоченный ортонормированный базис и рассмотрим такую подпоследовательность, что все последовательности элементов базиса сходятся. Так как пересечение 2] с единичной сферой компактно, оно содержит некоторый новый базис, состоящий из пределов элементов базиса. Аналогично, любая последовательность векторов, определенных фиксированным множеством коэффициентов, сходится к вектору из Т . Следовательно, линейная оболочка 5 нашего базиса-предела принадлежит всем множествам 2]- и, таким образом, их пересечению. Теперь мы должны показать, что 5 = Е . [c.254]

С-близко к N. Очевидно, П 11 — N , так что если з — регулярное значение тг о о, то трансверсально К пЦ. Теперь рассмотрим локально конечное покрытие М координатными окрестностями Х7 (г 6 14), т. е. такое покрытие, что каждое компактное множество пересекает лишь конечное число окрестностей Ц. Кроме того, выберем множества и С ЬТ. так, что lft С Ui и и по-прежнему покрывают М. Тогда, используя предшествующую процедуру индуктивно, мы можем построить такие векторы а и соответствующие диффеоморфизмы для [c.711]

Мы будем в основном рассматривать аппроксимации различных непрерывных функций, определенных на компактных подмножествах А-мерного точечного пространства Более точно, пусть 3 — некоторое множество элементов Т, и, V,. . в значительной мере произвольных. Почти во всех наших приложениях величины Т будут действительными или комплексными числами, векторами или тензорами заданного порядка. Нами будут рассматриваться отображения F , которые ставят в соответствие каждой точке X некоторого компактного подмножества пространства элемент 1( 3. Для обозначения таких функций мы будем использовать запись Т = Р (X), где Т — значение функции в точке X. Область есть область определения функции Р (X). Предполагается, что Р непрерывна на М, т. е. для каждой точки Хо принадлежащей Р (X) Р (Хо) при г (X, Хо) 0. Отсюда следует, что образ Р Ц) тоже компактен. Если при этом Р — взаимно однозначная функция, то существует Р 1 и Р называют тогда топологическим отображением или гомеоморфизмом. [c.43]

Необходимо отметить следующее обстоятельство. Известно, что некорректно поставленная задача будет корректной, по Тихонову, в случае имеющейся информации о том, что точное решение при невозмущенных правых частях единственно и принадлежит некоторому компактному множеству [13]. В рассматриваемом случае искомое решение является решением некоторой задачи теорти упругости на множестве ограниченных функций, пр1надлежащих классу. Это множество является компактным, и в случае однозначной разрешимости уравнения (3.12) задача восстановления вектора напряжений на L будет устойчива, если ее пртближен-ное решение искать в виде [c.70]

Н. Положим дп = ОЕо Х)) /п,дп = о9п,Фп = офп Лостаточно проверить компактность множества вектор-функций [c.191]

Уравнение (3.18) решается методом последовательных приближений, для которого достаточное условие сходимости Д < 1, (где - И - норма в L-i i В - интегральный оператор уравнения (3.18)) априори выполняется ввиду полной аналогии метода последовательных приближений для (3.18) и альтернирующего процесса (3.15). Возможность решить задачу восстановления напряженного состояния в объеме упругого тела по экспериментальным данным на части его поверхности как корректную задачу основывается на априорной информации о принадлежности искомого решения компактному множеству корректности - множеству ограниченных вектор-функций, удовлетворяющих системе (3.6). Изложенный подход к решению поставленной задачи может быть полностью использован при [c.77]

Пусть Л —вполне непрерывный (другое название компактный) оператор. Известно (см., например, [2], гл. V), что тогда 2 (Л) состоит из О и не более чем счетного множества собственных значений, которые могут скапливаться только к 0. Каждому собственному значению Я =/= О отвечает конечномерное корневое подпространство 2 (Я) = %), состоящее из всех таких векторов f, что (Л — /) f = 0 при каком-нибудь натуральном т. Если f =7 = О, то наименьшее m = m(f) называется порядком вектора f. Корневые векторы порядка 1 — это собственные векторы, порядка больше 1 — присоединенные векторы. Если О — собственное значение, то мы будем предполагать, что отвечающие ему корневые векторы образуют конечномерное подпространство ). Размерность d (Я) = dim й (Я) называется алгебраической кратностью собственного значения Я. Если она больше 1, то либо 2 (Я) состоит из О и собственных векторов, либо там имеются также и присоединенные векторы. Положим еще m( ) = maxm(f) по всем f =7 О из Й(Я) это наибольший из размеров жордановых клеток матрицы оператора Л в (Я). [c.302]

Доказательство. Поскольку группа тг, (М) бесконечна, универсальное накрытие М некомпактно. В частности, для любого neN можно найти такие точки х , г/ 6 М, что d(x , у ) Зп. По теореме 9.5.8 существует кратчайшая кривая 7 , соеданяющая точки и и параметризованная длиной дуги. Пусть е SM — касательный вектор к кривой 7 в ее середине. Тогда проекция вектора на SM — вектор и еЛ1 . Поэтому множество М непусто. Поскольку оно компактно и СЛ , мы заключаем, что Мф=0 >. О [c.379]

Требуемую плотную последовательность векторов можно построить так. Возьмем все полиномы по переменным xi,. .., Хп, действительные и мнимые части коэффициентов которых — рациональные числа, и умножим их на последовательность бесконечно дифференцируемых функций, равных 1 внутри сферы радиуса га, и О вне сферы радиуса /г + 1. Получающееся множество счетно и в соответствии с теоремой Вейерштрасса, по которой непрерывную функцию можно аппроксимировать компактным множеством полиномов, вполне правдоподобно, что наше, множество имеет любой вектор в S и своей предельной точкой. Здесь это показано не будет. (Доказатёльство см. в ссылке [24], стр. 373.) [c.57]

Пусть QdR , d 2, — компактная область с кусочно гладкой границей, М — единичное касательное расслоение над Q, Г — биллиард в Q (см. 1). Через Mi обозначим множество единичных касательных векторов таких, что их носители принадлежат d Q, а сами они направлены внутрь Q. Через Ti обозначим преобразование сопоставляющее каждому xGMi точку уеМг следующим образом х движется по биллиардной траектории до достижения dQ, а затем отражается от dQ. Результат этого отражения и есть у. Инвариантная мера fii для Ti имеет вид d jn da q)d( iq- n q), х), где da — элемент объема OQ, dat — элемент объема на. S , n q)—единичный вектор нормали к oQ в точке q dQ. Если f x) —время до следующего отражения, то поток Р представим как специальный поток, построенный по Ti и f. [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...