Теорема Биркгофа о неподвижной точке

Теорема Биркгофа о неподвижной точке 223 [c.223]

Предположим теперь, что формальный степенной ряд, участвующий в нормальной форме (12), пе сводится к постоянной, т. е. что пе тождественно и = X. Тогда теорема Биркгофа о неподвижной точке, доказанная в 22, гласит, что в каждой окрестности Я начала координат и для каждого достаточно большого натурального п > rfi (Я) можно найти отличные от начала координат неподвижные точки преобразования S ", все образы которых при к = 1, 2, п) также лежат в Я. Ио отсюда, в частности, следует, что S пе является неустойчивым. Следовательно, вообще пе будет неустойчивости, если степенной ряд и пе равен тождественно постоянной. Остается открытым вопрос о том, имеет ли в этом случае место устойчивость или смешанный случай. Как уже было замечено, пе известно примера для смешанного случая, и пе известно, будет ли при и = Л действительно неустойчивость. Если бы это удалось доказать, то был бы получен пример со сходящимся рядом и и расходящейся подстановкой С пе известно также, возможно ли такое сочетание. [c.288]

Это семейство замкнутых орбит параметризовано частотой о , которая соответствует энергии. Легко проверить, что на любой поверхности постоянной энергии существуют ровно две орбиты подобного типа, одна 00 + 1 > о и другая с си + 1 < 0. Исследуем сначала изоэнергетическую устойчивость этих решений нри малых значениях /х. Для этого нам придется рассмотреть связанное с ними сохраняющее площадь отображение, которое мы уже изучали в конце 24 в связи с применением теоремы Биркгофа о неподвижной точке к этой проблеме. Решающую роль здесь играет то, что условия устойчивости выражаются в терминах конечного числа неравенств [c.319]

Книга Биркгофа Динамические системы подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. В этой области Биркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов. Здесь достаточно указать па его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. Перевод книги Биркгофа, предлагаемый вниманию читателя, является поэтому насущной потребностью. [c.11]

Теоремы А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа о неподвижной точке применялись Биркгофом [100], Зигелем [6] и Ю. Мозером [30] для доказательства существования новых семейств (отличных от решений первого сорта Пуанкаре) почти-круговых решений ограниченной круговой задачи трех тел. [c.798]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Пуанкаре принадлежит первый вариант знаменитой теоремы [96], [97] о неподвижной точке, однако в приложениях получила большее распространение другая формулировка теоремы о неподвижной точке, принадлежащая Дж. Биркгофу [98], [99]. Зигель дал новое доказательство [6] теоремы Биркгофа,. сопровождаемое более точными необходимыми оценками для отображаемых областей и для постоянных. [c.798]

Чтобы понять, что происходит в этом дополнительном множестве, рассмотрим кривые, для которых т/2т рационально, нанример равно р/д. При т = О эти кривые состоят из неподвижных точек д-й итерации нашего отображения. При малом возмущении, однако, от этой кривой из неподвижных точек, вообще говоря, сохраняется лишь конечное множество неподвижных точек, и мы можем сказать, что эти кривые разрушаются при возмущении. Пиже мы проиллюстрируем эту ситуацию примером. Некоторые из этих неподвижных точек, существование которых следует из теоремы Биркгофа, будут общего эллиптического тина в этом случае они в свою очередь обладают окрестностями, значительная часть которых покрыта инвариантными кривыми, которые [c.316]

В 3,2 обсуждаются строгие математические результаты, касающиеся важных особенностей поведения системы, включая теорему KAM, которая устанавливает устойчивость квазипериодиче-ских колебаний под действием достаточно малого возмущения. Проанализированы условия умеренной нелинейности, которая необходима для теоретического анализа регулярного движения. На основании теоремы Пуанкаре—Биркгофа о неподвижной точке рассматривается структура фазового пространства вблизи устойчивых и неустойчивых периодических траекторий, в том числе и стохастические слои. Излагая математические результаты, мы не стремимся к строгости. Читателям, интересующимся математическими аспектами теории, следует обратиться к обзорам Арнольда и Авеза [14] и Мозера [310 J, в которых приведены многие математические доказательства, [c.176]

Таким образом, теорема Биркгофа [1] о неподвижной точке доказана полностью. В найденном Биркгофом доказательстве теоремы Пуанкаре о неподвижной точке используется та же самая основная идея о построении охватываюгцей начало координат замкнутой кривой К, точки которой при отображении 5 " смегцаются только радиально. [c.230]

Метод точечных отображений как средство изучения динамических систем, придающее аналитическим проблемам геометрическую трактовку, существенно расширяющую возможности исследования, ведет свое начало от А. Пуанкаре, П. Боля, Я. Брауера и Дж. Биркгофа. При этом многие основные геометрические соображения, такие как теоремы о неподвижных точках, понятие индекса векторного поля, были привлечены извне, а некоторые, например, последняя геометрическая теорема Пуанкаре, и, вообще, теория отображений с инвариантной мерой, теория устойчивости, теория бифуркаций и ветвления решений, воникли в прямой связи с теорией динамических систем. [c.137]

Для теоремы о неподвижной точке Биркгофа важно потребовать, чтобы ряд W в подстановке (31) содержал не только постоянный член, следовательно, чтобы нормальная форма не сводилась только к повороту на постоянный угол jq. Пусть при таком предположении I > О выбрано таким образом, что 71 =. .. = 7 i = 0. Если преобразование (40) опять записать в комплексной форме, причем + irj, — irj, l + iVij l — опять обозначить через С, , i, Щ, то [c.222]

Согласно подходу Ферми [3], можно рассуждать следующим образом. В случае устойчивости в каждой окрестности начала координат Я лежит одпосвязпая инвариантная относительно б окрестпость 8. Примем теперь, что 8 имеет границу, которую можно представить уравнением Р х, у) = 0. Если написать такое уравнение для семейства окрестностей Я = зависящих от параметра 7, то получится семейство уравнений Р х, у, 7) = 0. Если эти уравнения удастся разрешить относительно 7 и если уравнение (р х, у) = 7, кроме того, будет аналитическим по ж и у, то этим будет доказано существование сходящегося инвариантного степенного ряда, так как при отображении б каждая граница ср х, у) = 7 переходит в себя. Наконец, следовало бы установить аналитическими методами, что в общем случае сохраняющее объем преобразование б пе имеет сходящегося инварианта. Этим самым было бы доказано утверждение, что в общем случае устойчивости не будет. Попытки провести строгое доказательство этого утверждения представляются нам довольно безнадежными. Пока даже пе доказано, что границей 8 является кривая, Биркгоф, используя приемы доказательства своей теоремы о неподвижной точке, пытался показать, что 8 будет при достаточно малой окрестности Я звездообразной, если формальный степенной ряд и, входящий в нормальную форму (12), не сводится то.пько к свободному члену, и что тогда граница С области 8 может быть представлена в полярных координатах г, I с помощью схо- [c.289]

Отметим моменты в которых эта книга отличается от немецкого первоисточника. В первую главу К. Л. Зигель добавил два параграфа, посвяш енных тройным столкновениям в задаче трех тел. Глава II в сугцности не изменилась, за исключением добавленного доказательства сходимости преобразования к нормальной форме Биркгофа отображения, сохраняюгцего плогцадь, вблизи гиперболической неподвижной точки. Основные изменения были внесены в третью главу. Двадцать шестой параграф содержит новое и более простое доказательство теоремы Зигеля о конформных отображениях вблизи неподвижной точки. 32-36 содержат вывод теорем устойчивости для систем с двумя [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...