Задачи краевые в плоской задаче теории упругости для функций комплексного

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

Винтовая дислокация, рассмотренная в 9.2, и краевая дислокация, построенная в 10.3 как пример решения некоторой плоской задачи теории упругости путем представления решения через функции комплексной переменной, служат примерами дислокаций, для которых линия дислокации — прямая. Те же результаты могут быть получены и путем применения общих формул 14.3 это и будет сделано в настоящем параграфе. [c.461]

Итак, решение основных плоских задач теории упругости свелось к определению двух функций комплексного переменного ф (z) и X (2) при двух типах краевых условий (1.45) или (1.45 ) ). [c.499]

В плоской задаче теории упругости, решаемой методом теории функций комплексной переменной, проблема состоит в отыскании двух голоморфных функций /(г) и х( ) [62], комбинация которых принимает заданное значение на границе области (контуре Г). Если рассматривается первая краевая задача, т.е. на границе заданы компоненты вектора перемещения и и t), то эта комбинация имеет вид [c.252]

В смешанных задачах теории упругости, где имеются линии и точки раздела граничных условий, нельзя рассчитывать на существование гладких решений даже при весьма гладких исходных данных задачи. Возможно поэтому методы теории потенциала использовались здесь значительно реже. В плоской задаче эффективным средством анализа смешанных трехмерных краевых задач оказались методы теории функций комплексного переменного [176, 177, 208, 226, 227, 377]. Более приспособленными для исследования существенно смешанных задач оказались функциональные методы. Они дают возможность вначале доказать разрешимость основных задач в классе слабых решений, а затем установить степень гладкости решения в зависимости от исходных данных и внутренней структуры решения. [c.88]

Задачи краевые в плоской задаче теории упругости для функций комплексного переменного 500 [c.563]

Функция % z) входит лишь в выражение момента т ее знание чаще всего излишне. Поэтому часто оказывается ненужным и разыскание функции напряжений напряженное состояние и перемещения в плоской задаче целиком определяются двумя функциями комплексного переменного ф(г), о] (г) и их производными. Систематическое применение этих функций к решению краевых задач плоской теории упругости принадлежит [c.480]

Введение. Рассмотрим теперь решение краевых задач в динамической теории упругости. Решения подобных задач были получены лишь в последнее время. Основные методы получения решения подобных задач базируются на теории функций комплексного переменного и теории интегральных преобразований. Метод комплексного переменного применим только для двумерных задач, а метод интегральных преобразований, применимый и к трехмерным задачам, в случае двумерных задач приводит к более простым результатам. По этим причинам мы ограничимся случаем плоской деформации, для которой уравнения движения имеют вид [c.202]

По-видимому, впервые плоская контактная задача была поставлена и решена в 1900 г. выдающимся нашим современником С. А. Чаплыгиным [358]. Он рассмотрел общую задачу давления цилиндра на упругую почву , и в предположении малости смещений дал корректную постановку контактной задачи с граничными условиями на невозмущенном уровне почвы . Введя в рассмотрение две аналитических функции комплексного переменного, он свел проблему к простейшей краевой задаче теории аналитических функций и получил ее решение в частном случае штампа с прямолинейным основанием длины 2а. Для давления под штампом С. А. Чаплыгиным получено выражение, совпадающее с (1.51). Однако эта работа не была опубликована автором и была найдена в архивных документах С. А, Чаплыгина. Поэтому в литературе задачу для штампа с плоским основанием принято называть задачей [c.13]

Из (1.3) следует возможность приведения задачи изгиба к краевым задачам теории функций комплексного переменного, как это сделано в плоской задаче теории упругости. [c.93]

Как известно, задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа решаются с помощью потенциалов простого и двойного слоев, а при решении краевых задач для других дифференциальных уравнений применяются различного рода обобщенные потенциалы. Краевые задачи теории аналитических функций комплексного переменного, к которым приводятся задачи плоской теории упругости, [c.135]

Успехи в области исследования плоской задачи теории упругости тесно связаны с применением теории функций комплексного переменного. Такая возможность вытекает из того обстоятельства, что плоская задача теории упругости сводится к краевым задачам для бигармопического уравнения. [c.252]

Решение плоской задачи теории упругости выражается через кусочно-го-ломорфные функции Ф(г) и 2(7) комплексного переменного г =х по известным формулам [15]. Функции Ф(г) и 2(7) находятся из решения краевой задачи, которая в рассматриваемом случае имеет вид [c.161]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г) и Y (г) (1.145) являются общим решением двумерной бигармони-ческой задачи, содержащим две произвольные комплексные функции g (/) и q (/) (или четыре действительные функции), что позволяет с их помощью изучать самые разные краевые задачи для областей с разрезали . В частности, удовлетворив с помощью представления (1.145) и формул (1.26), (1.30), (1.42) граничным условиям плоской задачи теории упругости для бесконечной плоскости с разрезами, когда на одном берегу разреза заданы смещения, а на другом — напряжения, найдем сингулярные интегральные уравнения второго рода. При использовании условий неидеального контакта упругих тел, когда напряжения и смещения берегов разреза связаны линейными зависимостями (см. [40, 172, 175, 261]), легко получить сингулярные интегро-дифференциальные уравнения типа Прандтля для тел с тонкостенными упругими включениями 238]. Интегральные представления могут быть использованы при решении различных смешанных задач для тел с разрезами, задач о полосах пластичности, моделируемых скачками перемещений [23], и др. [c.38]

Рассматривается плоское напряженное состояние кусочно однородной упругой плоскости, в которой на линии раздела сред (действительной оси) расположена классическая открытая трегцина и отслоивгиееся тонкое гладкое жесткое включение. Плоскость на бесконечности нагружена с заданными напряжениями и врагцениями. С использованием теории краевых задач на римановых поверхностях найдены явно в элементарных функциях комплексные потенциалы, коэффициенты интенсивности напряжений (КИП). Рассмотрены примеры, приведены графики КИН. [c.301]

Эффективное решение многих задач указанного типа оказывается возможным при помощи методов, использующих теорию функций комплексного переменного, разработанных в монографиях И. И. Мусхелишвили (1966, 1968), Г. И. Положего (1949), Г. И. Савина (1951, 1968), Ф. Д. Гахова (1963), С. М. Белоносова (1962). Г. П. Черепановым (1962) указан класс задач плоской теории упругости, в котором соответствующие краевые задачи для аналитических функций могут быть решены в замкнутом виде. [c.381]

Следует вспомнить, что для пространственных задач линейной теории упругости (исключая случаи полупространства и шара) неизвестен способ эффективного представления решения второй краевой задачи при произвольном задании массовых и поверхностных сил. Это исключает возможность разыскания напряженного состояния уже для эффектов второго порядка, определимы лишь некоторые его интегральные характеристики. Доступнее плоские задачи, так как применимость приемов решения задачи линейной теории упругости методами теории функций комплексного переменного не ограничена спецификой задания массовых и поверхностных сил для обширного класса областей. Это позволило получить решения нелинейных задач не только для эффектов второго порядка, но довести их для ряда примеров до величин четвертого порядка (в многочисленных работах Ю. И. Койфмана и др.). Здесь же следует отметить исследование в рамках нелинейной плоской задачи поведения материала в окрестности конца прямолинейной трещины (J. К. Knowles, Е. Sternberg, 1975). [c.134]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...