Корни квадратные и уравнений — Формулы

Таким образом, коэ( )фициенты Рх и Ра можно определять двумя путями как коэффициенты формы по формулам (69), или как корни квадратного уравнения (78). [c.440]

Уравнение (16-11) показывает, что при заданных (О, гпа и R, или, иначе говоря, при заданных Q и D (полагая уклон дна и шероховатость канала неизменными), живое сечение канала может быть представлено двумя вариантами, отвечающими двум корням этого квадратного уравнения, определяемым формулой [c.167]

При этом частоты главных колебаний и определяются из уравнения (19.3), а коэффициенты распределения рх и pj —по формулам (19.4). Так как знаменатель в формулах амплитуд вынужденных колебаний Лхв и Лав является квадратным многочленом относительно р , а корнями этого многочлена являются квадраты частот главных колебаний системы k и e , то формулы (26.6) можно представить в виде [c.128]

Коэффициент Шези имеет размерность корня квадратного из ускорения, что непосредственно следует из уравнения (4.73), и обычно выражается в м /с. Этот коэффициент зависит от тех же факторов, что и коэффициент >. (от числа Рейнольдса, относительной шероховатости) и может, вообще говоря, быть найден пересчетом формул для X в соответствии с формулой (4.73). На практике, однако, при расчете течений в открытых руслах пользуются специальными формулами для определения коэффициента Шези, отражающими от- [c.195]

Если мы обозначим найденные таким образом корни квадратного уравнения через и си и обобщим выражения (20.11) по образцу формулы (3.246), то, представив решения в действительной форме, получим [c.147]

При определении частоты колебаний дисков газовых турбин необходимо учитывать наличие у этих дисков неравномерного нагрева по радиусу, вызывающего снижение собственной частоты колебаний. Это объясняется как уменьшением модуля упругости материала диска при нагреве (частота пропорциональна корню квадратному из модуля упругости), так и влиянием сжимающих тангенциальных температурных напряжений, действующих в области максимальных прогибов диска при его колебаниях. При наличии температурного градиента собственную частоту колебаний диска следует определять не по формуле (337), а по уравнению [c.271]

В обоих частях первого из этих равенств извлекаем квадратные корни и пользуемся известной формулой приближенного исчисления, тогда, разрешая полученное уравнение относительно е , получим [c.50]

Итерации сходятся к корню х = 1+3(. Так как заранее известно, что один из остальных корней должен быть комплексно-сопряженным с найденным, то остается найти еще лишь два корня. Значения этих корней можно получить, используя формулу корней квадратного уравнения, получаемого из исходного уравнения. Применяя затем метод итераций ко всему алгебраическому уравнению, уточним значения корней. Возможен и другой подход. Так, можно задать другое исходное значение л и получить, как это часто бывает, другой корень. Например, задав исходное значение х = 2-г21, получим корень л = 3+Ог. В этом случае выдача имеет вид [c.29]

Если рассматриваемое тело, все параметры которого будем считать действительными (причем т и а — положительными), таково, что дискриминант квадратного уравнения (14.124) есть величина положительная, то корни этого уравнения, т. е. величины С1 и Сг, окажутся действительными, а следовательно, действительными будут такл<е массы неподвижных центров и тг, определяемые формулами (14.122). Силовая функция й задачи двух неподвижных центров также, разумеется, будет действительной. [c.790]

Это характеристическое уравнение является квадратным относительно /7 и его корни представляют характеристические значения для этой системы. Решая уравнение (з) по формулам для квадратного алгебраического уравнения, найдем [c.216]

Так как марки оптического стекла двухлинзового объектива вы. браны, то по формулам (543) можно вычислить величину Р щ каждой линзы. Подставляя выражения (541) в формулы (540) и учитывая зависимости (542), получаем два уравнения квадратное и первой степени. В этих уравнениях неизвестными являются основные параметры и тонких линз объектива. Если квадратное уравнение будет иметь вещественные корни, то из по-, лученных решений целесообразно взять такие, которые соответствуют меньшим абсолютным значениям параметров Wx и ВТ, . 370 [c.370]

Кубическое уравнение, как мы знаем, решается алгебраически. Для этого существует классическая формула Кардана. Но пользоваться ею в подобных случаях очень неудобно. Предпочтительнее подобрать или угадать один корень, а затем понизить порядок уравнения и свести его к квадратному. Не тратя времени на решение, сразу укажу три корня [c.28]

Отыскание корней многочленов второй, третьей и четвертой степени можно выполнить в радикалах. Формулы для решения квадратного уравнения известны из школьного курса алгебры [c.83]

Формулы (21.6) показывают, что рх и рз являются корнями следующего квадратного уравнения [c.98]

Сопоставляя характеристическое уравнение (3) и развернутое выражение (8) для определителя А, нетрудно заметить, что они отличаются на постоянный множитель, т. е. коэ( х )ициенты в них при одинаковых степенях р и а совпадают. Это позволяет выражение, стояш,ее в квадратных скобках формулы (8), разложить по корням характеристического уравнения, т. е. представить определитель в виде [c.28]

Параметры yi, у , q , в предыдущих формулах относятся к определенным комбинациям упругих постоянных материала. В частности, Ti и 72 — корни следующего квадратного (относительно у ) уравнения [c.193]

Авторы считают уравнение (15) наиболее точной и полной формулой, пригодной для определения разрушающих давлений в тонкостенном цилиндрическом сосуде под давлением с трещинами различных размеров. Эта зависимость свидетельствует о том, что коэффициент Ксг пропорционален разрушающему напряжению и квадратному корню из длины трещины. Таким образом, для данного материала с заданным Ксг "i m больше длина трещины, тем меньше разрушающее напряжение, т. е. для данного Ксг чем выше разрушающее напряжение, тем меньше длина трещины. Эта зависимость наводит на мысль, что материал с самым высоким значением Ксг является самым вязким материалом, т. е. при наличии длинных трещин он способен не разрушиться при данном уровне напряжения. [c.160]

Отметим, что % %, 0) = 1/я (—1< <1). Это следует из того, что, когда 1 = 0, уравнением (2.12) описывается классическая контактная задача о вдавливании жесткого штампа с плоским основанием в упругую полуплоскость и формулой (2.24) должно даваться известное решение Садовского этой задачи [24, 25]. Из рассмотрения получаемых далее бесконечных систем линейных уравнений следует, что по крайней мере в некоторой окрестности точки Л = О функция и по X является непрерывной функцией. Поэтому по крайней мере в некоторой окрестности точки X = 0. Сказанное и означает, что присущие контактным напряжениям особенности на концах упругой на-кл адки характеризуются квадратным корнем по формуле (2.24). [c.114]

Уравнения (221) являются известными гидродинамическими уравнениями с поправкой на внутреннее трение. Эти уравнения удовлетворяются, т. е. получается возможное движение, если положить р постоянным, Х= Z = О, г> = и> = 0, и = ау. Тогда каждый слой газа, параллельный плоскости ЛГ2-, передвигается со скоростью ау параллельно самому себе, т. е. в направлении х. а означает разность скоростей двух таких слоев, отстоящих друг от друга на единицу длины. Само собой разумеется, один из этих слоев нужно искусственно сделать неподвижным, а другой — искусственно поддерживать в его постоянном движении. Тангенциальная сила, действующая на единицу поверхности этих слоев, согласно формулам (220) равна следовательно, 9 есть величина, которую мы еще в 12 назвали коэффициентом трения. Из формулы (219) следует, что она пропорциональна р р, т. е. абсолютной температуре, а при заданной температуре не зависит от давления и плотности. Последнее также справедливо, если молекулы являются упругими шарами но тогда 91 пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры. [c.209]

После двухкратного возведения в квадрат уравнений (6) и (7) получаем квадратные уравнения относительно давления р, корни которых могут быть вычислены по следующим формулам. [c.121]

Если квадратное уравнение (534) не имеет вещественных корней, то это означает, что при выбранных марках оптического стекла нельзя одновременно исправить сферическую аберрацию и хроматизм положения. В этом случае необходимо взять другую комбинацию марок оптического стекла. Приняв значение параметра (2 по формуле (533), найдем величины а и аз и вычислим радиусы кривизны с учетом реальных толщин линз объектива. Правильность расчета радиусов можно проверить, используя программу 7 прил. 2. [c.368]

Коэффициент С в формуле Шези имеет размерность корня квадратного из ускорения, что непосредственно слсдует из уравнения. Этот коэффициент зависит от тех же факторов (число Рейнольдса, шероховатость и т.д.), что и коэффициент X, и может быть найден пересчетом формул для к или же по формулам, полученным с учетом особенностей движения воды в открытых руслах (некруговая форма сечения, наличие свободной поверхности). Эти формулы получены (большей частью) и результате опытов, в которых исследовалось движение воды в каналах разного сечения, из разного материала и при различных уклонах дна. Они раскрывают зависимость коэффициента Шези от гидравлического радиуса, шероховатости стенок и уклона дна, которая следует из выражения для этоги коэффициента. Действительно [c.194]

Для составления канонических уравнений используются формулы (1.7). Канонические уравнения решаются известными методами решения линейных алгебраических уравнений высоких порядков, так как число степеней свободы при решении сложных задач может достигать нескольких десятков тысяч. Обычно используются метод Гаусса, метод квадратного корня (метод Халецкого), метод Зейделя и другие прямые или итерационные методы. В результате решения определяются значения степеней свободы. По найденному вектору степеней свободы q и системе координатных функций ф/ , которая была назначена заранее, определяется функция перемещений (1.4) по всей области системы, а по ней — напряжения и деформации в интересующих расчетчика местах. [c.29]

Следующие два критических числа К1 и Кз находятся как корни квадратного уравнения аггйзз — агзйзг == 0. Нижний из этих корней К1 имеет при к = 0 конечное значение, совпадающее с Кб (формула (20.9)). С ростом к К1 проходит через минимум и при больших к растет по закону К1 0,75 4. Критическое число Кз также имеет минимум при конечном к и при больших к изменяется по закону Кз 2,35/г, но, в отличие от К1, стремится к бесконечности при ->0. Критические движения г 1 и г з представляют собой суперпозиции базисных движений иг и Из [c.135]

Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие специальные функции, например lgл или е , называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений такого типа делятся на прямые и итерационные. Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Известным примером такого рода является формула корней квадратного уравнения. В итерационных методах задается процедура зешения в виде многократного применения некоторого алгоритма. Лолученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному. Итерационные методы наиболее удобны для реализации на ЭВМ и поэтому подробно рассматриваются в этой главе. В каждом из излагаемых методов считается, что решаемая задача состоит в отыскании действительных корней (нулей) уравнения / (л ) = 0. Хотя подобные уравнения также могут иметь комплексные корни, способы их отыскания обычно рассматриваются только для алгебраических уравнений. [c.18]

Это биквадратное уравнение приводит к двум действительным положительным и двум действительным отрицательным значениям р, причем каждая пара значений разделена корнями квадратного уравнения /р = Г (1 — os 0). Значения os 0 опредыяются формулой os 0 = os ( rt/v), где i пробегает все целые значения от = 1 до t = v — I и v — число стержней. [c.325]

Отличные от нуля решения системы уравнений (29) возможны лишь при определенных нормальных частотах oj, обращающих в нуль детерминант, образованный членами в квадратных скобках (29). Таких мод будет ровно Зге—6. Остальные 6 корней системы уравнений (29) равны нулю, поскольку трансляционные (3 степени свободы) и вращательные (еще 3 степени свободы) движения всех частиц как целого не сопровождаются появлением возвращающих сил. Это положение строго обосновывается в курсах аналитической механики (см., например, [164]), где доказывается, что при определенном выборе линейного преобразования координат в выранче-нии (27) исчезают смешанные произведения qlq) и остаются только Зге—6 квадратичных членов ( ) , здесь — новые координаты. При этом Зге уравнений движения (28) преобразуются в Зге—б уравнений для гармонических осцилляторов, имеющих Зге—б нормальных частот колебаний. Согласно квантовой механике дискретный энергетический спектр каждого осциллятора описывается формулой [c.39]

Между тем вещественная часть т дает точную величину вертикальной составляющей волнового вектора, равную квадратному корню пз выражения, стоящего в фигурных скобках в формуле (55). В этом выражении при частотах со, меньших частоты Вяйсяля — Брента N (г), преобладает первый член, давая простое дисперсионное соотношение для внутренних волн (54). Сравнение показывает, что друп е члены имеют порядок квадратов малых величии и р /р. Действительно, из уравнения (29) следует, что при ю < сумма этих членов алгебраически меньше, чем [c.362]

Оно представляет собой дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Если переменная физическая веяичина х(/1 удовлетворяет дифференциальному уравнению (Зб.З). можно утверждать, что она изменяется по закону гармонического колебания (36.3 с круговой частотой о> . равной квадратному корню из коэффициента при j /t в этом уравнении, и с амплитудой и начальной фазой, которые определяются через начальные данные формулами вида Oe.eV [c.116]

Зная основные характеристики объектлва и требуемы значе-ния остаточных абер ций, по формуле (529) находим 5х = Р, по формуле (530) — 51 р. При заданных марках оптического стекла (VI и VJ) по (532) вычисляем фх и ф и согласно (535) находим коэ( ициенты а, Ь, с. Решая квадратное уравнение (534), находим д ва значения параметра Q, соответствующих нужному значению 5х. При выборе одного из корней уравнения можно руководствоваться следующими соображениями. [c.367]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...