Обозначения компонент деформаций

Другие системы обозначений компонент деформаций приведены в табл. 6. [c.33]

Данные дифференциальные уравнения называют зависимостями Коши. Используя обозначения компонент деформаций, приведенные в табл. 6 (третья строка), уравнения Коши представим в виде [c.66]

Ниже нередко используются тензорные обозначения компонент деформации [c.23]

С помощью круговой подстановки обозначений (см. рис. 2.7) легко записать соотношения для остальных компонент деформаций. Считая удлинения е <С1, отбрасывая нелинейные члены и полагая sin у у, из (2.17) и (2.18) получим уравнения Коши (2.14). [c.33]

Другие обозначения компонентов смещения, напряжений, деформаций. Дополнительные обозначения [c.12]

Если применить нумерованные обозначения координатных осей и соответствующие им обозначения компонент тензора деформации, то уравнения (1.7.1) примут вид [c.21]

Уравнения (3) и (6) определяют компоненты деформаций как функции компонент напряжения. Иногда требуется выразить компоненты напряжений в функции компонент деформаций. Их можно получить следующим образом. Складывая уравнения (3) и используя обозначения [c.30]

Используя для компонент деформаций обозначения (е) из 81, [c.242]

Для численного решения удобно развернуть зависимости (29) в виде трех формул для стц, а22> Oi2- Индексные обозначения при этом можно заменить на обычно употребляемые в технической литературе так оц, 022, < 12, ёц, мы заменим на Oj , Оу, х, Ёу, 72Y y соответственно. Эти обозначения лучше согласуются с теми, которые применялись ранее в работах по микромеханическому анализу. Отметим, в частности, что ei2 заменена на / Уху того, чтобы перейти от тензорных компонент деформации сдвига к техническим ее компонентам, обычно используемым в численных методах. [c.222]

Покажем, что при постоянных объемных нагрузках X = pg и F — PSv решение задачи о плоском деформированном состоянии в напряжениях сводится к решению того же бигармонического уравнения (2.8), к которому была сведена задача о плоском напряженном состоянии. Действительно, уравнения равновесия и зависимости, связывающие компоненты деформаций Р у, Уху с перемещениями и и v, в этих двух задачах полностью совпадают различие между ними заключается только в зависимостях закона Гука, связывающих компоненты деформаций с компонентами напряжений. Преобразуем формулы (2.11) и (2.12), введя новые обозначения [c.39]

Здесь подчеркнуты определяющие параметры процесса. Под величиной е понимается обобщенное значение компонентов деформации. Остальные обозначения приведены в 1.3. [c.95]

Рассмотрим две прямоугольные декартовы системы координат (д , у, г) и (х, у, г) и обозначим компоненты деформации и напряжений в этих системах через е, Ву.....уху, <Тх. Оу .% / н ё, . .... ху Ох, ду.....ixy соответственно, где черточка сверху указывает на различие этих двух систем координат. Для краткости часто также используются следующие обозначения [c.43]

Величину А будем называть функцией энергии деформации ). Из физических соображений, которые будут приведены в гл. 3, можно предположить, что энергия деформации должна быть положительно определенной функцией компонент деформаций ). Это допущение приводит к некоторым неравенствам между упругими постоянными. Для удобства в дальнейшем мы вводим обозначение А и, V, w) для того, чтобы подчеркнуть, что функция энергии деформации выражается через компоненты перемещений с по- [c.49]

В общем случае, когда используются все девять компонент деформации, это дает 81 константу. Впрочем, то, что Т1,7 = Т1//. уменьшает число независимых компонент деформации до шести, а число независимых упругих констант —до 36. При этом обычно вводятся матричные обозначения, где не различаются ij и ji. Такие комбинации заменяются следующим образом [c.146]

Учитывая соотношения взаимности касательных напряжений (10.17) главы I и обозначения компонент скоростей деформаций (5.5) главы 1, будем иметь д [, [c.89]

Для изотропных тел соотношения обобщенного закона Гука известны из курса сопротивления материалов. В принятых обозначениях компонентов тензоров напряжений и деформаций они следующие [c.43]

Было предложено несколько различных систем для обозначения компонент напряжения и деформации, причем обозначения, использованные в тексте, сравниваются здесь с двумя системами обозначений, наиболее употребительными в литературе, а именно с обозначениями Лява [88] и с обозначениями Кармана [151]. Первыми пользовались также Саусвелл [132] и Планк [110], а вторыми Тимошенко [144]. [c.178]

Если выбрать для компонент деформаций III систему обозначений (табл. 6), а для косинусов углов между координатными осями старой Xi (i = 1, 2, 3) и новой x (i = 1, 2, 3) системами — обозначения, приведенные в табл. 5, то формулы (1.48) в сокращенной форме записи имеют вид [91] [c.35]

Используя обозначения компонент тензора приращений деформаций, приведенные в табл. 8, запишем [c.47]

Если использовать обозначения компонент тензора скорости деформаций, приведенные в табл. 9, то тензор скорости деформаций приобретает вид [c.49]

Если принять для компонент деформаций обозначения (1.51), а для компонент напряжений — (1.4), то зависимость (2.8) можно представить в сокращенной форме [c.71]

Здесь Ж-лагранжева скорость фронта разрыва, квадратными скобками обозначены скачки соответствующих функций, например, [и ] = k1 индекс относится к состоянию перед разрывом, индекс + — за разрывом. Далее для компонент деформации перед скачком обычно будут еще использоваться обозначения = [ к, а для компонент за разрывом индекс + часто будет опускаться, = ик- Последняя группа кинематических соотношений служит, очевидно, для вычисления скачка скорости среды [и,]. [c.177]

В нижеследующих таблицах даны некоторые наиболее важные обозначения д1Я компонентов деформации и напряжения [c.642]

Ради краткости письма мы применим для перемещений и, V, -ш обозначения и , Нд и для координат лг, г обозначения Х1, л-д. В таком случае компоненты деформаций удобно обозначить Зц,..., 22.. ., причём [c.121]

Т.Карманом для обозначения компонентов тензора деформации были введены обозначение [c.65]

В трехмерном случае учитываются все шесть компонент деформации. Используя известные обозначения Тимошенко, запишем матрицу деформаций в виде [c.108]

Точки над буквами в обозначениях компонент скорости деформации будем для краткости опускать. [c.193]

Уравнения движения. Понятия напряжения и деформации и терминология, установленная для изотропных твердых тел, применимы без изменений к анизотропным твердым телам так же, как и уравнения движения, выраженные через напряжения, согласно уравнению (2.3). Но изменяется связь между напряжениями и деформациями- Согласно закону Гука в его наиболее общей форме каждая компонента напряжения зависит линейно от каждой компоненты деформации, а константы пропорциональности интерпретируются как упругие константы. Для изотропной среды имеются только две независимые константы. В случае поперечно-изотропной среды закон Гука содержит пять независимых констант. Если для них использовать обозначения Лява, то связь напряжения и деформации запишется так [c.46]

В тензорных обозначениях компоненты скорости деформации равны [c.27]

Правило знаков для обобщенных напряжений и деформаций должно быть согласовано с таковым для самих напряжений и деформаций. Последнее состоит в том, что если внешняя нормаль к площадке направлена так же, как и координатная ось, индекс которой входит в обозначение компоненты, то положительное направление этой компоненты — направление другой координатной оси, указанной вторым индексом. При противоположном направлении внешней нормали противоположным будет и положительное направление компоненты (см. элемент на рис. 28). [c.96]

При решении многих конкретных задач для компонентов тензоров упругих модулей, деформации и напряжения полезна запись в матричных обозначениях, поскольку она уменьшает число индексов у компонентов. [c.126]

Первый интеграл в (16) равен / смысл обозначений Г, Vr и т. д. ясен из рис. 13. Заметим, что в уиругопластическом теле ири произвольной истории нагружения dW/дх .ф aij de,ij/dx ], поскольку 0(7 не будут однозначными функциями компонент деформации ец. В общем случае величину dW/dxi несложно найти, определив полную работу напряжений W для двух соседних частиц материала. [c.66]

Считаем, что материал нелинейно-упругий, а деформации конечные. Пользуемся фиксированной (глобальной) системой декартовых координат, такой, что Xi и У, являются координатами данной материальной точки до и после деформирования. Введем еще одну локальную декартову систему координат х,, такую, что координатная ось xi направлена по нормали к фронту трещины и лежит в ее плоскости, Х2 направлена по нормали к плоскости трещины, а хз лежит в плоскости трещины, но направлена по касательной к ее фронту. Компоненты деформаций представляем в виде Fij = Yi, i = dYifdXj, причем dYi = FijdXi. Далее в этом параграфе будем пользоваться номинальными напряжениями, обозначенными через tij, и считать их мерой напряжений деформированного тела. Заметим, что где Тд —пер- [c.130]

Здесь применены и часто ниже будут применяться обозначения компонент тензора напряжения Т, указанные в матрице (1.4.8) гл. I для компонент тензора деформации используются аналогичные обозначения e = 6u, Y i/ = 2ei2 и т. д. [c.111]

В 269 мы отметили, что существует большое разнообразие в обозначениях компонентов напряжения. То же наблюдается и в отлошении символов, обозначающих компоненты деформации. Однако последнее имеет меньшее значение, так как задачи теории упругости обычно решаются с помощью функций напряжений ( 287) или (что более распространено) в компонентах смещения. Пирсон пользовался символами 5 ,...,. .. для величин, которые мы обозначили здесь также, как в Математической теории упругости> Лява, через. ..,. .. На континенте и в Америке обычно обозначают их через. .., Ту ,... ) [c.381]

Если же w и г обозначают компоненты скоростей, то, используя точки для обозначения скоростей деформаций, запишем их как у Ухуу 3 через (O обозначим угловую скорость вращения элемента dxdy. Тогда имеем [c.224]

В феноменологической теории П. [3—5], оперирующей с однородными тензорными полями и кристаллич. средами, используются различные формы записи основных ур-ний, описывающих упругие, пьезоэлектрич. и диэлектрич. свойства кристаллов. Принимая компоненты тензоров механич. напряжений Tjj, напряженности электрич. поля и темп-ру б за независимые переменные, а компоненты механич. деформаций Sij, электрич. индукции б , = (1/4я) >т и энтропию сг — за зависимые и вводя в рассмотрение термодинамич. ф-цию Гиббса G = и — i jT j — (1/4л) — об, где и — ф-ция внутр. энергии, а ij, У,— сокращенное обозначение компонент тензоров ( 5 i=i ii, 1 2 = = Ss = 33 4 = 2i923 = 2i 32, = 2>5 i3 = = 2 Уз1, = 2i i2 = 21921, Ti = Гц, T = T22, 3 = [c.256]

II, Тед II, и , Пу , 9 11, Яу , г II определяют плоскую деформацию цилиндра (в плоскости ху), а компоненты Тзсч II, Тутц], 1II, ] II депланацию в направлении т] (значком II внизу будем снабжать обозначения компонентов вспомогательных двумерных состояний). Эти же компоненты определяют напряженное состояние и заданного упругого тела, так как оно является частью цилиндра. Будем записывать их в цилиндрических координатах, пользуясь формулами (1.18). Если тело вырезать из цилиндра, сохранив при этом в качестве внешних сил те напряжения, которые ранее действовали внутри цилиндра по поверхности тела, то напряженное состояние не изме- [c.16]

Введение. Исследования в гл. XVIII и XIX преимущественно касались таких деформированных состояний тонкого стержня, при которых имелись значительные смещения упругой линии и значительное кручение случаи, где смещения упругой линии н кручение были малы, рассматривались, как предельные. Именно так состояло дело в теории спиральных пружин ( 271). этих случаях фор,лулы для компонентов кривизны и для степени кручения могут быть получены, как было выяснено выше, если считать упругую линию не удлиненной. Мы дадим ниже систематическое изложение теории таких видов деформации, при которых смещения малы, при этом мы введем некоторые величины для обозначения компонентов смещения точек упругой линии и подчиним их условиям, выражающим тот факт, что упругая линия не имеет удлинения ). [c.463]

Обозначения Кельвина и Тэта лля компонентов напряжения и леформации были приняты Релеем и Мичеллом и применялись в первом издаиин этой книги. Обозначения Кирхгофа для компонентов напряжения нашли себе широкое распространение но для компонентов деформации, напротив, им не даио столь же подходящих и удобных обозначений. Обозначения Л ,, Z, для напряжения на плоскости, нормаль с которой V, поддерживал Фохт 5). [c.643]

К сожалепию, язык, на котором обычно излагается теория упругости, не использует полностью все преимущества простых тензорных обозначений. В частности, поле смещений обычно описывают не тензором деформаций (22.77), а компонентами деформаций [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...