Касательные напряжения эллиптического

При кручении стержней эллиптического поперечного сечения максимальные касательные напряжения возникают в крайних точках, лежащих на малых полуосях (рис. 215). В этом случае [c.221]

Наиболее опасная точка расположена на оси 2 на некоторой глубине, зависящей от отношения Ь/а) полуосей эллиптической площадки контакта. Однако наибольшее касательное напряжение в опасной точке почти не зависит от указанного отношения размеров площадки, и можно принять, что [c.721]

На примере стержня эллиптического сечения мы убедились в том, что касательное напряжение достигает максимума в точке, принадлежащей контуру сечения. Если решение представлено в виде ряда, как например для прямоугольного сечения, то сделать подобное заключение, основываясь непосредственно на анализе найденного решения, затруднительно. Однако, опираясь на известные свойства гармонических функций, можно доказать, что величина касательного напряжения не может принимать максимального [c.304]

Пользуясь формулой (14.7.3), мы можем без труда получить явное выражение для касательного напряжения через эллиптические интегралы первого и второго рода, однако этот вывод для наших целей бесполезен. [c.467]

Некоторый интерес представляет зато вопрос о характере распределения касательных напряжений вблизи самой линии дислокации, когда г весьма близко к р. При этом модуль эллиптического интеграла (14.7.4) становится близким к единице и для К(к) применимо следующее разложение [c.467]

Показать, что при одном и том же угле закручивания эллиптическое сечение обладает большими касательными напряжениями, чем вписанное круговое сечение, радиус которого равен малой полуоси эллипса. Какое сечение воспринимает больший крутящий момент при том же допускаемом напряжении [c.354]

Для консольного стержня, нагруженного на свободном конце, имеющего эллиптическое поперечное сечение с полуосями а и 6, получены решения ) для касательных напряжений [c.123]

Если а < 6, то 2 (т )/ х2 > О, если же а > 6, то d 1)/ Х < О и тогда в точке (О, 6) т , а следовательно, и т , в первом случае принимает минимальное, а во втором — максимальное значения. Из множества значений, принимаемых полным касательным напряжением в точках, лежащих на контуре эллиптического поперечного сечения скручиваемой призмы, максимальным является значение Хц в точке А, ближайшей к центру сечения, и минимальным в точке В, наиболее удаленной от центра. [c.58]

Распределение касательных напряжений в эллиптическом поперечном сечении показано на рис. 11.24, а. [c.59]

В случае эллиптической площадки контакта детальное исследование напряжений было выполнено Н. М. Беляевым В частности, Н. М. Беляевым установлено, что наибольшая величина разности главных напряжений колеблется весьма мало при изменении эксцентриситета е площадки контакта и составляет при разных значениях е от 0,608 до 0,650 наибольшего давления в центре поверхности контакта. При этом опасная точка — с наибольшим касательным напряжением - располагается на глубине от 0,5 (для круговой площадки контакта) до 0,78 (для полоски контакта) наименьшей полуоси контактного эллипса. [c.81]

Рис. 10-9. Результаты расчета ламинарного пограничного слоя на эллиптическом цилиндре с отношением осей 4 1. а — распределение скорости потенциального течения вдоль стенки б — профили скорости в пограничном слое в сечениях до точки отрыва (точка 6) в — касательное напряжение на стенке [Л. 1] / — критическая точка б — точка отрыва.

Например, для стержня эллиптического сечения наибольшие касательные напряжения достигаются на концах малой полуоси [c.187]

Прежде чем заняться пластинкой с эллиптическим отверстием, оси которого ориентированы любым образом по отношению к направлению растяжения, мы должны решить еще задачу для подобной пластинки, подвергнутой равномерно распределенному касательному напряжению S, в направлениях лг, у. [c.471]

Если от центра эллипса перемещаться в радиальном направлении, то у и Z будут увеличиваться в постоянном отношении, и то же будет с напряжениями и Отсюда следует, что полное напряжение х в каждой точке одного и того же радиуса имеет одно и то же направление, параллельное направлению касательной к эллипсу, проведенной в конце радиуса, или, иначе говоря, направлению сопряженного диаметра. Если мы в сечении начертим ряд эллипсов, подобных контурному и подобно расположенных, то в каждой точке такого эллипса напряжение х будет проходить в направлении касательной к соответствующему эллипсу. Линию, лежащую в плоскости сечения и идущую в направлении касательного напряжения х, называют траекторией касательных напряжений. Поэтому для эллиптического сечения траекториями касательных напряжений будут эллипсы, подобные эллиптическому контуру. [c.56]

Далее, найденное решение легко также обобщить на случай полого вала, предполагая, что внутренний контур полого сечения совпадает с одной из траекторий касательных напряжений соответствующего сплошного сечения. Это замечание действительно во всех случаях, а не только для эллиптического сечения, к которому мы применили его здесь. Именно, если мы предположим, что в сечении любой формы проведена одна из траекторий касательных напряжений, то она разделит сечение на внутреннюю и наружную части. Точно так же и цилиндрическая поверхность, сечение которой представляет рассматриваемая траектория касательных напряжений, разделит весь стержень на внутреннюю и внешнюю части. В сплошном стержне на границе между этими двумя частями никакие силы действовать не будут. Это вытекает из следующего во всех точках стержня мы имеем чистый сдвиг, и поверхность раздела проведена нами таким образом, что во всех точках касательная к ней плоскость совпадает с площадкой, на которой не действует никаких напряжений. [c.57]

Вообще говоря, задачу о кручении стержня с полым сечением решить труднее, чем в случае сплошного сечения, так как при этом должны быть выполнены еще граничные условия на внутреннем контуре, ограничивающем полость. Лишь в том случае, если внутренний контур совпадает с траекторией касательных напряжений сплошного сечения с одинаковым наружным контуром, эта лишняя трудность отпадает, и решение задачи можно получить непосредственно из решения для сплошного сечения. Об этом уже была речь раньше, и в 65 были выведены формулы для круглого и эллиптического полых сечений, в случае которых указанное предположение выполняется. Во всех же других случаях и даже в случае полого сечения, ограниченного и внутри и снаружи кругами, но расположенными эксцентрично, задача о кручении становится много сложнее, чем для соответствующего сплошного сечения.. [c.87]

Для бруса эллиптического сечения с полуосями эллипса а и Ь а Ь) характер распределения касательных напряжений показан на рис. 6.26. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках А по концам малой оси, и необходимый для их вычисления момент сонротивления кручению [c.138]

При стесненном кручении в точках поперечного сечения наряду с касательными напряжениями возникают также нормальные напряжения. Последние в случае сплошного сечения (например, прямоугольного, эллиптического) незначительны и при расчете не учитываются. [c.207]

В случае стержня прямоугольного поперечного сечения не удается найти столь же простое выражение для перемещений и, как при эллиптическом сечении. Приходится прибегать к разложению и в ряд, как это и сделал Сен-Венан, которому принадлежит решение этой задачи. Однако можно представить картину распределения напряжений и вид формул для углов закручивания и наибольших касательных напряжений в точках прямоугольного сечения, проводя аналогию между прямоугольным и эллиптическим сечениями. Если обозначить через Н п Ь соответственно длинную и короткую стороны прямоугольника (к Ь), то по аналогии с эллипсом следует ожидать наибольших касательных напряжений в точке контура посредине длинной стороны. Напряжения Тв в точке посредине короткой стороны должны иметь меньшую величину. Так как по доказанному касательное напряжение не должно иметь составляющей по нормали к контуру, то в угловых точках одновременно и Туж = О и Тгж = О, т. е. т = 0. Таким образом, примерный вид эпюр касательных напряжений можно представить рис. 145. [c.231]

Заметим также, что если для круглого сечения тангенциальное напряжение в произвольной точке перпендикулярно к направлению радиуса, проведенного из центра сечения, то для других профилей (прямоугольное, эллиптическое и другие сечения) касательные напряжения, вообще говоря, не перпендикулярны к лучам, проходящим через центр тяжести сечения. [c.119]

Задача сводится к определению напряженного состояния среды с эллиптической трещиной под действием касательного напряжения Гх = Тх(0), г2 = Т2(в) и давления а= о(в) > О, изменяющихся в процесс нагружения (0 — параметр нагружения). Краевая задача в этом случае аналогична (1.2). Компоненты скачка смещения под действием заданного сдвигового напряжения имеют вид [31 ] [c.66]

После решения уравнения (22) находим распределение нормального давления па границе контакта — <т из второго соотношения (4) в координатах, направленных по касательной и нормали к границе контакта. Затем интегрированием распределения нормальных и касательных напряжений находим вертикальную силу ТУ, горизонтальную силу Г и момент М относительно центра эллипса, которые действуют на эллиптический цилиндр со стороны пластической области [c.587]

Из рассмотрения формул (10.116) мы видим, что в случае эллиптического поперечного сечения, если сечение симметрично относительно оси, параллельно которой направлена изгибаю-ш,ая сила, появляющиеся при изгибе касательные напряжения, параллельные оси симметрии, распределены относительно этой оси симметрично и сводятся к одной равнодействующей, направленной по оси симметрии. Появляющиеся при изгибе касательные напряжения, перпендикулярные к оси симметрии, взаимно уравновешиваются. Поэтому момент обеих систем касательных напряжений относительно центра тяжести сечения, который лежит на оси симметрии и в котором взято начало координат, равен нулю [c.295]

Эллиптическое отверстие, край которого подвержен равномерному касательному напряжению Т. В этом случае [c.309]

В инженерной практике довольно часто кручению подвергаются стержни, имеющие не круглое, а прямоугольное, треугольное, эллиптическое и другие сечения. В этих случаях гипотеза плоских сечений неприменима, так как сечения искривляются (депланируют). Точные расчеты стержней некруглого сечения можно получить методами теории упругости. Однако поскольку в настоящем курсе нет возможности их изложить, приведем здесь только некоторые окончательные результаты. Отметим при этом, что в стержнях произвольного сечения, как и в стержнях круглого сечения, касательные напряжения при кручении направлены по касательной к контуру. [c.219]

С другой стороны, Полилов показал, что в некоторой точке контура эллиптического отверстия, отмеченной крестиком на рис, 20.7Л, достигают максимума касательные напряжения Oiz, при этом для изотропного материала отношение (ai2)max/(0n)mai оказывается равным приблизительно 0,324 при Ыа - 0. Касательные напряжения на контуре щели оказываются более опасными, чем нормальные напряжения перед кончиком трещины, и картина расслоения скорее напоминает ту, которая показана на рис. 20.7.2. [c.704]

Скорости в точках перед цилиндром и за ним снижаются до нуля, тогда как скорости в боковых РисГг О. точках т и п удваиваются. Следовательно, отверстие такого вида удваивает касательные напряжения в той части вала, в которой оно расположено. Малый полукруглый надрез на поверхности, параллельный оси вала (рис. 170), производит тот же эффект. Касательное напряжение на дне надреза в точке т примерно вдвое превышает напряжение на поверхности вала в точках, достаточно удаленных от надреза. Та же гидродинамическая аналогия объясняет влияние малого отверстия эллиптического сечения или полуэллиптического надреза. Если одна из главных осей а малого эллиптического отверстия расположена в радиальном направлении, а другая ось равна Ь, то напряжения на границе отверстия по концам оси а увеличиваются в пропорции (l+a/b) l. Максимальное напряжение, дей-ствуюш,ее в этом случае, зависит, таким образом, от величины отношения а/Ь. Влияние отверстия на напрял<ение будет больше, когда большая ось эллипса расположена в радиальном направлении, по сравнению со случаем, когда она расположена в окружном направлении. Поэтому радиальные трещины оказывают существенное ослабляющее влияние на прочность вала. Подобное влияние на распределение напряжений оказывает н полуэллип-тический надрез на поверхности, параллельной оси вала. [c.333]

Г. В. Ужиком и другими исследователями экеперимен-тально установлено, что зависимость между предельными амплитудами симметричных циклов нормальных и касательных напряжений в напряженном состоянии (рис. XI.18, б) (зависимость tRa = Ra Ra)) при ИХ синфазном изменении можно считать эллиптической. На основании этого утверждения и результатов опытов Л. И. Савельева, условие усталостного разрушения в опасной точке детали из пластичного материала запишется в виде [c.347]

Рис. 11.24. К кручению эллиптического цилиндра а) распределение касательных напряжений б) деплапация поперечного сечения эллиптического цилиндра при свободном кручении (аксонометрия) в) ортогональная проекция горизонталей.

Если в пределах поперечного сечения (при фиксированном значении а/6) провести линию через точки, координата у у которых составляет одинаковую долю от ширины 6 = 6 (х), то во всех точках этой линии (такие линии на рисунках в табл. 13.6 показаны штрихами) погрешность, даваемая формулой элементарного решения, оказывается одинаковой. Это свидетельствует об аффинной эквивалентности эпюр компонента касательного напряжения на всех линиях, параллельных нейтра.чьно 1. В табл. 13.7 помещены значения 1) — Ра /1у) для точек первого квадранта. Разумеется, приведенные выводы относятся именно к эллиптическому поперечному сечению. Однако некоторые бнаруженные закономерности проявляются и в других поперечных сечениях. [c.354]

Обозначения Р — полное давление п кГ р — нагрузка на единицу длины цилиндра или едини ну длины пластинки в кГ1см q — среднее давление на единицу площади контакта в кГ см — наибольшее давление по площадке контакта, раоное наибольшему сжимающему напряжению, в кГ слС-, max t — наибольшее касательное напряжение шах о — наибольшее растягивающее напряжение с — радиус площадки контакта по кругу или половина шнрины прямоугольной площадки контакта а и f — наибольшая и наименьшая полуоси эллиптической площадки контакта w — величина сближения по линии давления точек обеих деталей, удаленных от зоны контакта, из-за деформации в зоне контакта (или величина перемещения в направлении, параллельном давлению по отношению к неподвижной удаленной точке) Е — модуль продольной упругости р. — коэффициент Пуассона I н 2 — индексы, соответствующие первой п второй деталям. [c.420]

Пример 2. Оценка характера распределения давлений по контуру плоской модели в месте передачи нагрузки может быть произведена по форме наблюдаемых в полярископе полос интерференции. На фнг. 19 приведены три случая распределения нагрузки а — по эллиптическому закону (полоса наибольшего порядка внутри области замкнутых полос) б — равномерное распределеггие (полоса наибольшего порядка в виде полуокружности) в — увеличенные давления у краев штампа или нажатие штампа углом (концентрация полос с наибольшими порядками у краев). Величины касательных напряжений указаны на фигуре в долях среднего давления. [c.589]

В настоящее время ограничение (1) может быть преодолено использованием любой универсальной программы для расчета напряжений в трехмерном случае. Ограничение (2) также недавно было преодолено в работе [87], где получено общее решение для внутренней эллиптической трещины, находящейся в неограниченном пространстве, когда на поверхность трещины действуют не только нормальные, но и касательные напряжения, представленные полиномами произвольного порядка. Это общее решение Нисиоки и Атлури [88] включили в конечно-элементный метод альтернирования, предназначенный для решения задач, связанных с поверхностными трещинами в конструктивных элементах сложной формы. [c.212]

При круговой площадке касания разрушение поверхности характеризуется кольцевыми или дуговыми трещинами в сочетании с более мелкими, расположенными концентрично. В поперечном сечении трещины идут вначале вглубь, нормально к поверхности, отклоняясь затем от зоны контакта в сторону, наружу. При эллиптической форме пятна первые трещины начинаются у концов большой и малой осей и распространяются вглубь так же, как в случае кругового контакта. Не обнаружены трещины в зоне действия максимального касательного напряжения, как можно было бы ожидать на основании теории наибольших касательных напряжений. Дело в том, что в результате физико-механических изменений прочность субповерхностного слоя понизилась. [c.246]

Расчеты с ненулевыми градиентами давления выходят за пределы этой книги. Однако результаты приближенного метода решения для установившегося ламинарного пограничного слоя на эллиптическом цилиндре в потоке со скоростью и ас приводятся на рис. 10-9 [Л. 1]. На рис. 10-9,а показано поперечное сечение этого цилиндра, представляюш,ее собой эллипс с отношением осей 4 1, и распределение скорости вдоль внешней границы пограничного слоя. В этом примере предполагается, что U(x) представляет собой скорость невязкого потенциального течения 1. На рис. 10-9,6 приведены вычисленные профили безразмерной скорости для разных сечений от передней критической точки при х = 0 до точки отрыва. Обратите внимание, как развивается перегиб профиля скорости с возрастанием xjl. Предполагается, что отрыв будет иметь место в точке, где duldy y=a = Q. На рис. 10-9,в приведено распределение касательного напряжения на стенке, которое постепенно снижается до нуля в точке отрыва. [c.218]

Следующий раздел книги Клебш посвящает задаче Сен-Ве-нана. Он опускает соображения физического характера, введенные Сен-Венаном при использовании им здесь полуобратного метода, и ставит проблему в чисто математической формулировке найти силы, которые должны быть приложены к торцам призматического бруса, если объемные силы отсутствуют, по боковой поверхности бруса не приложено никаких сил, но между продольными волокнами действуют лишь касательные напряжения в осевом направлении. Таким путем Клебш получает возможность задачи осевого растяжения, кручения и изгиба рассматривать и решать как единую задачу. Подобная трактовка вопроса принимает более сложный вид, чем у Сен-Венана, поскольку при этом подходе опускается физическая сторона явления и решение получается слишком абстрактным, чтобы заинтересовать инженера. Клебш проходит мимо тех многочисленных приложений, на которых останавливается Сен-Венан, демонстрирующий эффективность своего метода на балках различных поперечных сечений. В качестве примеров Клебш приводит случаи сплошного эллиптического бруса и полого бруса, поперечное сечение которого образовано двумя конфокальными эллипсами. Почти никакого практического интереса эти задачи не представляют, но Клебш обращается к ним для того, чтобы впервые ввести новый прием математической трактовки, а именно, использовать сопряженные функции в решении задачи Сен-Венана. [c.310]

Местные напряжения, вызываемые отверстиями и желобками, исследованы Дж. Лармором ). Он показал, что просверленное в валу круглое отверстие малого диаметра, параллельное оси вала, удваивает максимальное напряжение в той части вала, где просверлено отверстие. Влияние полукруглых выточек на поверхности круглого вала, параллельных его оси, проявляется в том, что наибольшее касательное напряжение у основания выточки приблизительно вдвое больше, чем касательное напряжение, вычисленное для поверхности вала в том предположении, что выточки нет. Коэффициент концентрации напряжения в случае отверстия или выточки эллиптической формы равен (1+а/Ь), где avib — полуоси эллипса соответственно в радиальном и перпендикулярном к нему направлениях. [c.571]

Решение трехмерной контактной задачи о вдавливании в пьезоэлектрическое полупространство плоского эллиптического штампа рассмотрено в работе [36] при условии, что вне области, занятой штампом, механические нагрузки отсутствуют, в области основания эллиптического штампа касательные напряжения нулевые, а нормальное напряжение неизвестно и должно быть определено при решении задачи. При таких условиях равновесие штампа возможно только при действии на него сжимаю-ш,ей силы и моментов, равнодействующие которых определяются из условий равновесия штампа. Краевое усилие для перемещения т точек площадки штампа определяется через перемещение штампа как жесткого тела и принимается в виде ш б-сОуХ+и у, где 6 поступательное, аш ,иу —вращательные движения штампа. При формулировке граничных условий для электрических полей рассмотрены два варианта их задания [c.596]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...