Тензор направляющий

Каждому тензору напряжений соответствует свой направляющий тензор, оси которого совпадают с главными осями соответствующего тензора. Направляющий тензор Ds определяется отношением девиатора тензора напряжений к октаэдрическому напряжению. Для координатной системы, совпадающей с главными осями. [c.39]

Момент инерции тела относительно некоторой оси I определяется только тем, как распределены массы тела относительно этой оси, и, разумеется, совершенно не зависит от того, каким образом выбрана система координат, по отношению к которой моменты инерции известны. При изменении системы координат изменяется шестерка указанных чисел — характеристик этой системы, но изменяется и ориентация рассматриваемой оси относительно системы, т. е. направляющие косинусы а, В и v общее же выражение, позволяющее определить момент инерции тела через характеристики избранной системы и направляющие косинусы, остается одним и тем же и задается формулой (25). Можно показать, что при повороте системы декартовых координат х, у, Z относительно рассматриваемой точки О моменты инерции J , JУ к Jz центробежные моменты инерции изменяются в соответствии с формулами, определяющими симметрический тензор второго ранга ). Поэтому матрица [c.177]

Направляющим тензором второго ранга называют тензор =dij/d. [c.15]

Следовательно, направляющий тензор полностью характеризуется четырьмя числами тремя параметрами, определяющими главные направления тензора (тремя углами Эйлера), и фазой <р. [c.15]

Рассмотрим площадки, равнонаклоненные к главным осям тензора напряжений. Такие площадки называются октаэдрическими. Они образуют геометрическую фигуру октаэдр. Для первого октанта (рис. 2.10, а), образуемого положительными направлениями главных осей, направляющие косинусы внешней нормали V равны и= У2>. Поэтому на основании формул (2.9), (2.30) получаем [c.54]

Следовательно, направляющий тензор полностью характеризуется заданием четырех чисел, поскольку шесть его компонент связаны двумя соотношениями (2.65), (2.66). Отметим, что главные оси направляющего тензора совпадают с главными осями тензора и девиатора напряжений. [c.56]

Помимо ориентации трех главных осей тензора напряжений направляющий тензор определяет также вид напряженного состояния, т. е., например, параметр Лоде либо угол вида напряженного состояния ф. Действительно, для определения главных направлений направляющего тензора согласно (2.43) имеем систему уравнений [c.56]

С помощью направляющего тензора S j) компоненты тензора напряжений могут быть представлены в виде [c.57]

Два модуля (То и а определяют скалярные свойства материала. Векторные свойства материала определяет направляющий тензор [c.57]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Направляющим тензором деформации называют девиатор, у которого компоненты [c.71]

Следовательно, направляющий тензор деформации определяется заданием четырех величин —трех углов Эйлера, определяющих направление главных осей тензора, и угла вида деформированного состояния (фазы) if. [c.72]

С помощью направляющего тензора тензор деформации может быть представлен в виде [c.72]

Модули ео, Э определяют скалярные свойства е,/, а направляющий тензор 9ij—векторные свойства материала. [c.72]

Если разделить компоненты тензора-девиатора 3,/ на модуль Vj то получим направляющий тензор скоростей деформаций [c.89]

Таким образом, по известным компонентам тензора напряжений, записанным в осях х, у, z, могут быть найдены проекции полного напряжения Х , Y , на наклонной площадке, определяемой направляющими косинусами I, т, п. [c.13]

Если разделить компоненты девиатора напряжений на интенсивность касательных напряжений, получим направляющий тензор напряжений [c.19]

Введем понятие направляющего тензора деформаций [c.23]

В свою очередь, компоненты направляющего тензора напряжений не зависят от параметра X. [c.298]

Ранее отмечалось, что уравнения теории малых упругопластических деформаций, строго говоря, справедливы только при простом нагружении, т. е. в том случае, когда компоненты тензора напряжений меняются при увеличении нагрузок пропорционально одному параметру. Как было показано ранее на примере однородного напряженного состояния (напряженное состояние одинаково во всех точках тела), простое нагружение реализуется в том случае, когда внешние нагрузки меняются пропорционально одному параметру. Однако пока не известно, можно ли осуществить в случае произвольного тела такое нагружение, при котором направляющий тензор напряжений останется в процессе нагружения от начала и до конца неизменным, будучи различным в разных точках те.па. [c.309]

Тензор напряжений вполне определяет собой напряженное состояние в точке. В самом деле, рассматривая равновесие элементарного тетраэдра в проекциях на координатные оси (рис. 7), видим, что, зная компоненты и направляющие косинусы наклонной площадки = os(v, х) m = os(v, у) n = os(v, г), можно определить р,х, рчу, Рчг по формулам [c.7]

Компоненты единичного вектора п в направлении главных осей тензора деформации или, что то же самое, направляющие косинусы вектора -и, которые обозначим через Uj, определяются из уравнений [см. (1 .48)1 [c.18]

Подставив в уравнения (1.62) вместо в главное значение тензора (ег ), например е , и решив их совместно с (1.63), найдем направляющие косинусы Uij для первой главной оси. Аналогично определяются направляющие косинусы второй и третьей главных осей тензора (ej ). [c.18]

Компоненты rij единичного вектора п в направлении какой-либо главной оси тензора (pij), которые равны направляющим косинусам вектора л, определяются из уравнений [см. (1 .48)1 [c.39]

Интенсивность касательных напряжений. Интенсивность напряжений. Трактовка, данная В. В. Новожиловым величинам Т и Шд. Октаэдрические площадки и напряжения. Направляющий тензор напряжений. Девиаторная плоскость. Гидростатическая ось. Величина Yli (Do), выше уже встречавшаяся, называется интенсивностью касательных напряжений и обозначается символом х,- [c.421]

Частное от деления девиатора напряжений на интенсивность касательных напряжений называют направляющим тензором напряжений [c.423]

В соответствии с общим определением тензоров компоненты тензора инерции /,ь при повороте осей координат относительно начала преобразуются в Jui (г, k=x, у, г ). Причем компоненты Jш определяются через компоненты Jui и представляют квадратичные формы относительно направляющих косинусов. В последнем можно убедиться непосредственным вычислением Jиспользуя формулы преобразования координат при повороте координатной системы. Тензор инерции будет второго занга. [c.173]

Назовем направляющим тензором напряжений девиа-тор напряжений Stj), у которого компоненты определяются соотношением [c.56]

Этот вектор эквивалентен направляющему тензору деформаций Эц1Э. т. е. связан с ним взаимно однозначными соотношениями. Если значения 3ij известны, то направляющие косинусы единичного вектора 3 находятся по формулам [c.87]

Этот вектор эквивалентен направляющему тензору напряжений Sij —Sijl a. При простом нагружении вектор а остается неподвижным в пространстве напряжений и поэтому траектория нагружения есть прямой луч, исходящий из начала координат. За время d/ вектор напряжений получает приращение [c.94]

Так как для данной точк-и тела модуль 5 девиатора скоростей напряжений ц является определенной функцией времени t, то вместо t для этой точки тела можно использовать в качестве независимого параметра прослеживания процесса дугу траектории нагружения 2. Единичный вектор qi в пространстве напряжений соответствует направляющему тензору скоростей напряжений [c.95]

Деформационная теория Генки—Надаи. Теория применима для случая квазипростого образа процесса нагружения, когда векторы напряжений и деформаций в пространстве деформаций либо напряжений направлены по одному лучу, изменяющему со временем свое положение в пространстве, т. е. когда направляющие тензоры напряжений и деформаций а = Э или [c.260]

Здесь ср — значение скаляра <р в повой системе координат. В фор-М улу (а) не входят направляющие косинусы осей повой системы координат. Однако можно по.дожить, то правая часть этой формулы содержит их в нулевой степени. Векто[) аналитически определяется системой трех чисел — проекцнн вектора на оси координат, или компонент вектора. Компоненты векто1)а. зависят от выбора системы координат и преобразуются при изменении системы координат но формулам (1.35) и (1.36). Эти формулы линейны и однородны относительно направляющих косинусов осей новой системы координат. Возникает вопрос о существовании физических пли геометрических объектов, аналитически определяемых более сложными системами чисел, чем векторы, но имеющих аналитические свойства, родственные свойствам скаляров и векторов. Такие объекты существуют. Они называются тензорами. Мы рассмотрим здесь аналитическое определение тензоров и убедимся, чго абсолютные скаляры и векторы являются лишь их частными случаями. [c.43]

В (3) через у обозначена матрица направляющих косинусов между осями трехгранников jItiS и С х У г, а через y — транспонированная матрица. Компоненты тензоров /<2), /<3) колес в осях Axyz вычисляются затем с помощью формул пересчета при параллельном переносе [16]. Тензор инерции ротора / в осях Axyz получается, если сложить тензоры колес /=/( )+/(2)-f/й. [c.116]

Характерно, что главные оси тензора напряжений совпадают с главными осями направляющего тензора напряжений. Можно показать, что направляющий тензор напряжений полностью определяется четырьмя компонентами, например его тремя главными направлениями и одним из главных напряжений или отношением любой пары главных напряжений между собой. Учитывая эти замечания, можно сказать, что тензор напряжений полностью определен, если известны его направляющий тензор напряжений 0 , среднее напряжение а р и октаэдрическое касательное напряжение Токт, или интенсивность касательных напряжений т , или интенсивность напряжений а . [c.19]

Таким образом, при простом нагружении от параметра X зависят только два инварианта тензора напряжени11 Стср и ст , а направляющий тензор напряжений остается неизменным. [c.298]

В гл. 1 были введены понятия тензоров, хнаровых тензоров и де-виаторов напряжений и деформаций. Там н е отмечено, что тензоры напряжений и деформаций полностью определяются их направляющими тензорами DD , средними значениями напряжений Оср и деформаций Вср (или объемной деформацией 0) и интенсивностями напряжений о и деформаций е . [c.299]

Принимая для направляющих коеинусов a j и обозначения, приведенные в табл. 1.1, на основании закона (2.32) получим следую щие юрмулы для компонент тензора напряжений относительно повернутых осей [c.38]

Подставив в (2.36) вместо а поочередно главные значения Oi, О2, О3 тензора ((т ) и решив каждую из трех полученных групп уравнений совместно G равенством (2.37), найдем три группы направляющих косинусов tiij, n j, n j, определяющих направления трех главных осей тензора напряжений. [c.39]

Здесь Hip — направляющие косинусы оси Xi по отношению к осям Хр (или наоборот, оси Хр по отношению к осям Xi, вследствие высокой степени симметрии тензора Epqr, это безразлично). [c.240]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...