Обрезанные потенциалы

Другое заслуживающее внимания свойство оператора столкновений состоит в том, что частота столкновений v ( ) для любых обрезанных потенциалов равна частоте столкновений упругих сферических молекул с диаметром, равным радиусу обрезания о межмолекулярных сил. В самом деле. [c.93]

Необходимо отметить, однако, что понятие среднего свободного пробега можно строго определить только для упругих сферических молекул или для обрезанных потенциалов (с радиусом действия порядка длины, на которой притяжение заменяется отталкиванием) в случае дальнодействующих потенциалов молекулы взаимодействуют всюду (o = оо) и, следовательно, средний свободный пробег, строго говоря, равен нулю. Несмотря на это, указанное понятие можно сохранить как средство выражения порядка величины правой части уравнения Больцмана, который оказывается равным О (w i V) Величину можно считать [c.115]

Можно получить полезное интегральное уравнение, когда оператор столкновений представляется в виде Иг = КН — v/г, где К — интегральный оператор. Это, как известно, возможно для твердых сфер, обрезанных потенциалов и модельных уравнений. [c.250]

Здесь следует за.метить, что полученные выше общие результаты для обрезанных потенциалов не позволяют сделать какие бы то ни было выводы о ситуации, имеющей место в случае, когда радиус, на котором производится обрезание потенциала, устремляется в бесконечность (т. е. когда радиус действия потенциала обращается в бесконечность). Поясним это более подробно. Мы должны ожидать, что в общем случае структура особенностей S-матрицы при любом заданном потенциале с бесконечным радиусом действия должна существенно отличаться от структуры ее особенностей при соответствующем обрезанном потенциале в пределе, когда радиус, на котором производится обрезание, стремится к бесконечности. Действительно, для потенциала с конечным радиусом действия R не может быть полюсов у функции Поста, каким бы большим ни был радиус R. Однако функция Поста, соответствующая обрезанному потенциалу, радиус действия которого устремлен к бесконечности, обычно имеет полюсы в нижней полуплоскости, причем фактически в общем случае их имеется даже бесконечное множество. Можно ожидать, что подобная ситуация имеет место не только для резко обрезаемых потенциалов, но также и в более общем случае. Например, сказанное в равной мере относится к случаю экранированного кулоновского поля, когда радиус экранирования неограниченно возрастает [2551. Математическая причина такого положения заключается в том, что операции предельных переходов оо и —>- оо неравномерны и их нельзя менять местами. [c.338]

Выражение (10.7) может быть использовано при расчетах лишь для короткодействующих потенциалов. Часто для упрощения вычислений вводят обрезанный потенциал [c.185]

Неаналитический по параметру плотности член с коэффициентом а 2 возникает вследствие учета затухания на длине свободного пробега в процессах, включающих четыре частицы. Интересно отметить, что коэффициент а 2 при аналитическом вкладе в разложении (3.1.77) определяется теперь процессами столкновений, в которых участвует произвольно большое число частиц. Оценка коэффициента а 2 была получена для газа твердых сфер [73], однако для других потенциалов о разложении коэффициентов переноса по плотности известно очень немного, в том числе и о наличии логарифмических членов в разложениях по плотности коэффициентов переноса реальных газов. В параграфе 3.3 мы вернемся к вопросу о роли коллективных эффектов в кинетической теории. В частности, мы покажем, что эта роль не сводится только к обрезанию многочастичных процессов на длине свободного пробега. [c.181]

В дальнейшем мы, как правило, будем применять потенциалы, обрезанные на некоторой (неконкретизированной) длине а. Так как, однако, использование распространяющихся до бесконечности потенциалов приводит к определенным упрощениям (особенно в случае степенных потенциалов), мы будем иногда рассматривать предельный случай о = оо. Чтобы показать, где возникают упрощения, заметим, что в случае степенных потенциалов [c.49]

Степенные потенциалы и угловое обрезание [c.86]

Это выражение можно преобразовать далее ((Зм. [2]) и показать, что для степенных потенциалов с угловым обрезанием ядро 2 (1 1) ограничено константой, умноженной на соответствующее ядро для упругих сферических молекул. В той же работе [2] показано, что третья итерация симметризованной формы / /27 2/7 / этого ядра интегрируема с квадратом. Следовательно, оператор вполне непрерывен в (понятия функционального анализа см. в книге [4]) при любых степенных потенциалах с угловым обрезанием и для упругих сферических молекул. Так как это, очевидно, верно и для (в этом случае ядро само интегрируемо с квадратом), то отсюда следует, что оператор К вполне непрерывен. Ясно, однако, что это свойство бесполезно, если переходить [c.87]

Преимущество углового обрезания, введенного в 3, состоит Б том, что оно приводит к довольно простой математической теории оператора столкновений, не изменяя зависимости дифференциального поперечного сечения (которое пропорционально В (0, V)) от относительной скорости. Однако нужно рассматривать угловое обрезание как математический прием, который приобретает смысл, только если можно перейти к пределу 0о я/2. С другой стороны, из анализа 7 гл. 1 следует, что учет лишь парных взаимодействий физически оправдан только для потенциалов с конечным радиусом взаимодействия в этом случае для получения разбиения (2.12) не нужно вводить угловое обрезание. Недостатком обрезанного потенциала по сравнению с потенциалом бесконечного радиуса с угловым обрезанием является то, что оператор К тогда слишком сложен в обращении. В частности, трудно доказать или опровергнуть утверждение о том, что оператор К вполне непрерывен в (см. [5]). Можно, однако, доказать, что интегральный оператор с ядром К ( , 1) [V ( ) V (11)]вполне непрерывен при соответствующих значениях а (легко показать, что это верно при всех а 2). Но трудно, если вообще возможно, показать, что значения а могут быть уменьшены до нуля по мнению автора, хотя при а = О полной непрерывности может и не быть, но очень возможно, что при а = 1/2 оператор вполне непрерывен. Этот результат, как будет видно в следующей главе, позволит построить последовательную и стройную теорию. [c.91]

Нетрудно видеть, что простейшим будет способ, основанный -на использовании следующего факта как мы знаем (упругие сферические молекулы и потенциалы с угловым обрезанием) или предполагаем (потенциалы с радиальным обрезанием), оператор самосопряжен и вполне непрерывен в (здесь применяются терминология и результаты гл. 3), так что его ядро можно разложить в ряд по его интегрируемым с квадратом собственным функциям (таким, что = A- v9r). Другими словами, можно записать [c.108]

Лемма 2. Для жестких потенциалов с угловым или радиальным обрезанием существует такая постоянная а< 1, что [c.154]

Чтобы осуществить это обобщение, надо ввести небольшое изменение в предыдущее рассуждение. Лемма 1 остается справедливой, если в члене формулы (3.8) и в связанных с ним уравнениях заменить модулем проекции вектора на соответствующую ось или плоскость. Лемма 2 остается тогда справедливой для упругих сферических молекул и потенциалов с угловым обрезанием, но доказательство нужно изменить и явно использовать полную непрерывность оператора Поскольку не известно, выполняется ли последнее свойство при потенциалах с конечным радиусом взаимодействия (без углового обрезания), для таких потенциалов нужны дальнейшие видоизменения. Можно заменить ы ( ) некоторой степенью функции V (Н) так, чтобы оператор был вполне непрерывен (см. 4 гл. 3), а остальные свойства сохранялись. При этих изменениях по-прежнему справедливы две основные леммы, а следовательно, и основные теоремы 1 и 6. [c.159]

Поскольку fo( J пропорциональна ехр(—где а>0 и + (I — 1 2 — 2 (I — I ), вклад в этот интеграл от полупространства - (I — 1 ) <0 по абсолютной величине меньше, чем от полупространства -( —1 )>0. Так как первый вклад отрицателен, а второй положителен, весь интеграл положителен и ду/д больше или меньше нуля одновременно с величиной у Далее, у = п — 5)/(п—1) для потенциалов с обрезанием по углу и у = I для твердых сфер и потенциалов конечного радиуса. Следовательно, частота столкновений монотонно возрастает для твердых сфер и потенциалов конечного радиуса. Для степенных потенциалов с обрезанием по углу она монотонно возрастает при /2 > 5 и монотонно убывает при /2 < 5. Таким образом, в последнем случае п < 5) частота ограничена сверху, [c.204]

Следует различать два случая или v( ) — постоянная (как для максвелловских молекул с обрезанием по углу), и тогда уравнение (6.14) дает К = —V, т. е. спектр сводится к одной точке, или же v(g) не является постоянной и >. + v( ) может равняться нулю не более чем в одной точке (по крайней мере, если 1) монотонна, как в случае степенных потенциалов и твердых сфер, рассмотренном в разд. 5), и тогда уравнение [c.209]

В случае потенциалов с конечным радиусом для того, чтобы произвести указанное в (5.15) разбиение, обрезание по углу не требуется, однако оператор К намного труднее анализировать в частности, нелегко доказать или опровергнуть, что К вполне непрерывен в Ж [25]. [c.211]

Рис. 22. Спектр собственных значений задачи (7.3). Верхний рисунок относится к твердым сферам, нижний — к степенным потенциалам с обрезанием

Это справедливо в случае твердых сфер и степенных потенциалов с обрезанием по углу. Для них получаем, что непрерывный спектр представляет собой множество значении, принимаемых функцией — V ( )/ 1, когда компоненты меняются от — со до + оо. Соответственно имеем [c.225]

В частности, для твердых сфер Ко >0, Яоо = оо, а для степенных потенциалов с обрезанием по углу Яо = О, Яоо = оо (см. рис. 22). Вопрос о том, существуют ли собственные значения в интервале 0< Я < Яо, для твердых сфер, кажется, не был исследован. [c.226]

Отметим снова, что операторы столкновений для твердых сфер и жестких потенциалов с обрезанием по углу являются неограниченными и имеют непрерывный спектр операторы для жестких потенциалов без обрезания такл е неограниченны. Если [c.234]

Для исследования менее тривиальных случаев рассмотрим решения с разделенными переменными, которые обсуждались в разд. 8 гл. IV. Если такое решение записано в форме (IV. 8.1), то ясно, что ряд Чепмена — Энскога будет сходиться или нет в зависимости от того, сходится или нет разложение со = со (к) (о)(0)= 0) в ряд по степеням к . Согласно результатам разд. 8 гл. IV, можно утверждать, что сходимость имеет место для твердых сфер, если к достаточно мал, и предполагать, что сходимость отсутствует для потенциалов с обрезанием по углу. Можно также предполагать, что для твердых сфер радиус сходимости по к не бесконечен. Сходимость для к < во, очевидно, означает сходимость разложения Чепмена — Энскога для очень ограниченного типа зависимости от координат все производные от параметров течения должны быть равномерно ограничены по порядку величины, а это значит, что они являются не только аналитическими, но также и целыми функциями. [c.279]

Однако действительная вероятность столкновения случайной пары частиц зависит от молекулярной модели. Следовательно, некоторая случайная пара включается в столкновение с вероятностью, пропорциональной произведению относительной скорости V на сечение столкновения а У). Азимутальный угол е и прицельный параметр Ь при расчете столкновения выбираются случайным образом (с однородным и линейно возрастающим распределением соответственно). Для степенных потенциалов вводится обрезание по углу, так что тах(1 )- Скорости после столкновения вычисляются и запоминаются. [c.401]

Следует отличать псевдомаксвелловские молекулы от максвелловских молекул с обрезанным потенциалом, т. е. молекул с [c.40]

Для молекул с неограниченным радиусом взаимодействия интегралы (7.2), очевидно, расходятся, так как они включают в число столкнувшихся молекулы, взаимодействующие на сколь угодно больших расстояниях со сколь угодно малыми результирующими изменениями состояния. В дальнейшем всегда, когда будут фигурировать раздельно интегралы. /j и ig. будет предполагаться наличие ограниченного радиуса взаимодействия. Так как при достаточно быстро спадающем iioreHnnaJie взаимодействия далекие столкновения не дают существенного вклада, то с известным приближением для таких молекул истинный потенциал можно заменить некоторым обрезанным потенциалом с конечным радиусом взаимодействия. Однако в общем случае правильный выбор эффективного радиуса взаимодействия представляется далеко не тривиальным. [c.68]

Проблема суш,ествовапия решений уравнения Больцмана изучена лишь для задачи с начальными условиями в безграничной области и для молекул с конечным радиусом взаимодействия (с обрезанным потенциалом взаимодействия). Для пространственно-однородного случая теорема существования доказана как для молекул-шаров 2), так и для псевдомаксвелловских молекул ) для полного нелинейного уравнения Больцмана. Для линейного уравнения доказана теорема существования и изучено асимптотическое поведение решений для задачи с начальными условиями, зависяш.ими от пространственных координат ), Пространственно-неоднородная задача для нелинейного уравнения Больцмана рассмотрена Градом 5). Однако существование решений доказано для времен тем меньших, чем больше начальная функция распределения отличается от равновесной. Таким образом, для времен макромасштаба существование доказано лишь для малых начальных возмущений. [c.79]

Из-за бесконечной суммы по v выражение (18) обычно не может быть использовано для прямых расчетов, если только и (г) не обращается достаточно быстро в нуль, как, например, у твердых сфер или потенциалов с прямоугольной ямой. Недавно Браш и др. [15] использовали приближение Эвальда, с помощью которого привели (18) к виду, удобному для вычислений в случае очень дальнодей-ствующего потенциала, соответствующего плазме (см. также [10]). Гораздо чаще для упрощения расчетов парный потенциал и (г) заменяется обрезанным потенциалом, обращающимся в нуль при г>Гс [c.285]

В случае степенных потенциалов с бесконечным интервалом взаимодействия (см. конец 7 гл. 1) разбиение (2.12) уже невозможно, ибо интегралы порознь не сходятся. Но поскольку, с одной стороны, эти потенциалы являются простейшими с вычислительной точки зрения, а с другой — разбиение (2.12) упрощает математическое описание оператора Ь, Грэд развил теорию, основанную на введении обрезания, исключающего столкновения под малыми углами. Его определение обрезанного степенного потенциала исходит из требования равенства нулю функции В (0, V) при 0, превосходящем некоторое 0о < я/2. Для потенциалов, обратно пропорциональных некоторой степени расстояния (см. (7.32) гл. 1), [c.86]

Это выражение имеет смысл даже при 0о я/2, т. е. обрезание можно убрать. Легко видеть, что для потенциалов с бесконечным радиусом взаимодействия можно записать Ь в виде интеграла по параметру 0 от разности интегрального оператора KQ ж оператора умножения V0 (оба оператора ж VQ зависят от 0) но так как зависимость от 0 каждого из операторов неинтегрируема вблизи 0 = я/2, то их нельзя интегрировать порознь и, следовательно, нельзя привести Ьк к виду (2.12). [c.90]

БГК-модель сохраняет большинство основных свойств интеграла столкновений Больцмана, однако она обладает определенными недостатками. От некоторых из них можно избавиться путем соответствующих видоизменений за счет, правда, простоты модели. Первое видоизменение можно ввести так, чтобы частота столкновений оказалась зависящей от скорости молекулы, а не была просто локально постоянной. Это видоизменение связано с тем, что для упругих сферических молекул, всех потенциалов с конечным радиусом действия и степенных потенциалов с угловым обрезанием (за исключением максвелловских молекул) частота столкновений зависит от скорости молекул. Можно ожидать, что это изменение при больших Скоростях молекул будет существенным. С формальной точки зрения видоизменение очень просто достаточно предположить, что в формуле (1.2) V зависит от I (точнее, от с), но условия (1.1) должны по-преячнему выполняться. Все основные формальные свойства (в том числе и Н-тео-рема) сохраняются, но плотность, скорость и температура, входящие в максвелловскую функцию Ф, теперь уже не локальные плотность, скорость и температура, а некоторые фиктивные локальные параметры, связанньге с пятью моментами функции / с весом V (с). Это следует из того, что в этом случае условия (1.1) дают [c.103]

Вспомним теперь, что операторы столкновений для упругих сферических молекул или для жестких потенциалов с угловым обрезанием неограничены и имеют непрерывный спектр (то же, вероятно, верно и для потенциалов с радиальным обрезанием, но это строго не доказано). Эти свойства оператора могут оказывать влияние на решение частных проблем, но когда мы применяем любую из моделей, предложенных в 2, такого влияния нет. [c.107]

В частности, первые пять собствейных функций, соответствую- щих Xi =0 (О < г < 4),— это инварианты столкновений. Из выражения (7.10) видно, что К ( , ) релаксирует к линейной комбинации пяти инвариантов столкновений (т. е. к линеаррхзо-ванной форме максвелловского распределения). Однако только для жестких потенциалов ([ц > 0) все решения уменьпхаются быстрее некоторой экспоненты с показателем, не зависящим от начальных данных. Если бы непрерывный спектр содержал нуль (как в случае мягких потенциалов с угловым обрезанием, для нейтральных газов эти потенциалы нереальны), то физически отсюда следовало бы, что стремление к равновесию может быть не экспоненциальным и может зависеть от степени гладкости начальных данных. [c.166]

Для упругих сферических молекул можно также показать, что начало координат /с = О является изолированной точкой спектра этот результат кажется разумным и для потенциалов со строго конечным радиусом взаимодействия. Но для степенных потенциалов с угловым обрезанием и для кинетических моделей с постоянной частотой столкновений точка к О уже не изолирована (можно показать, что непрерывный спектр состоит по крайней мере из значений —v (1)/( -е)). Спектр допустимых значений был подробно исследован для модельных уравнений, а в некоторых случаях были решены упомянутые выше задачи 1 и 2 (Черчиньяни [7, 10—12]) соответствуюш ая теория будет изложена в следую-пцей главе. [c.167]

Обнхим свойством частоты столкновений для твердых сфер, потенциалов конечного радиуса и потенциалов с обрезанием по углу является монотонная зависимость v(g) от Действительно, из (5.4) и (II. 5.21) находим [c.204]

Рассмотрим теперь обилий случай молекул с центральным законом взаимодействия. Как мы видели выше, для степенны к законов обрезание по углу рассеяния приводит к результатам, аналогичным тем, которые имеют место для твердых сфер. Результат Кундера и Уильямса не обобндался на этот случай, однако кажется правдоподобным, что он может быть обобщен таким образом. Если же не вводить обрезание по углу, то для безграничных потенциалов положение существенно усложняется единственным случаем, который анализируется просто, оказывается рассмотренный выше случай максвелловских молекул. Интересно, что спектр при этом получается точно таким, как можно ожидать при непосредственном предельном переходе в результате с обрезанием по углу действительно, при удалении — о в —оо из рис. 19 получается рис. 18. Заманчиво предположить, что аналогичное положение имеет место для степенных законов с /г 5 это приведет к чисто дискретному спектру. Недавно Пао [53] дал строгое доказательство справедливости этого предположения. [c.211]

С обндей точки зрения простейшая схема основывается на обстоятельстве, которое известно (для твердых сфер и обрезания по углу) или предполагается (для потенциалов конечного радиуса) и состоит в том, что L = K — vl и К = — [c.235]

Позднее Грэду [9, 10] удалось построить довольно общую теорию линеаризованного уравнения для случая твердых сфер и потенциалов с обрезанием по углу. Он доказал [9] ограниченность [c.437]

Константы Л, или, что то же самое, подбираются так, чтобы уравнение Шрёдингера с обрезанным кулоновским потенциалом давало правильные уровни энергии изолированного атома, т. е. системы электрон—ион. Так получаются значения Л для определенных энергий, после чего функция Л, (е) находится при помощи экстраполяции между этими значениями. [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...