Бесселя волновое

P — удельная плотность жидкости k = ale — волновое число — круговая частота с — скорость звука в жидкости Кт — т-й корень уравнения J g y mi )r=r — функция Бесселя порядка п (н = 0,1) Тт = [c.88]

В этом разделе рассматривается итеративный алгоритм расчета фазовых ДОЭ, которые могут быть названы тловыми спектральными анализаторами, служащими для разложения амплитуды когерентного светового поля по ортогональному базису с угловыми гармониками. Сферическая линза фактически играет роль фурье-анализатора, так как она раскладывает светового поля на плоские волны или пространственные фурье-гармоники. Аналогично, комбинация линза + ДОЭ может быть названа анализатором Бесселя, Гаусса-Лагерра, или Цернике если данный оптический элемент раскладывает лазерный свет по соответствующему базису. Разложение по модам Гаусса-Лагерра используется при селекции поперечных мод на выходе многомодового волокна с параболическим профилем показателя преломления [44 . Базис круговых полиномов Цернике используется при анализе аберраций волновых фронтов [45. [c.622]

В уравнение непосредственно входят волновое число к, а также период структуры О и размер ячейки й. Частота колебаний входит в волновое число и его компоненты к, к , к , и дисперсионное уравнение является неявной функцией частоты. Остальные геометрические размеры (радиус отверстия в диафрагмах а и внутренний радиус волновода Ь) входят сомножителями в аргументы функций Бесселя. Зависимость правой части от размера а непосредственно видна из выражения (3.18). Чтобы определить зависимость левой части уравнения (3.18) от величин а и Ь, вспомним выражения для Во и р1. [c.69]

Волновое поле ультразвукового излучателя можно условно разделить на две зоны (рис. 63) ближнюю зону Френеля и дальнюю зону Фраунгофера. В ближней зоне поле формируется в результате интерференции колебаний, приходящих от различных точек излучателя. В дальней зоне основную роль играют дифракционные эффекты. Поле круглого излучателя в дальней зоне (его диаграмма направленности) хорошо известно и описывается с помощью функции Бесселя первого порядка [c.146]

Jp ktr) — функция Бесселя порядка р А — произвольная постоянная. Связь углового волнового числа р с kfR дается дисперсионным уравнением, получаемым, как обычно, из граничных условий. После ряда преобразований это уравнение приводится к форме [c.253]

Имеются, однако, две причины, по которым приближение (11.40а) приносит значительно меньшую пользу. Во-первых, если становятся заметными волны с высокими угловыми моментами, то энергия должна быть столь высокой, что формула (11.40) перестает служить хорошим приближением для фазы s-волны. Поэтому в первую очередь ее нужно улучшить, но при этом в ней следующие члены будут зависеть уже от формы потенциала. Во-вторых, если ф вводить с помощью определения, аналогичного (11.37), но соответствующего другим значениям угловых моментов, то благодаря наличию центробежного барьера интеграл, аналогичный фигурирующему в (11.39), уже не будет обращаться в нуль вне области взаимодействия. С другой стороны, если принять, что Ф совпадает с волновой функцией, являющейся точным решением во внешней области, т. е. соответствующей комбинацией регулярной и нерегулярной функций Риккати — Бесселя, то при г —> О она будет стремиться к бесконечности [c.289]

Численный метод расчета градиентных оптических волноводов, пригодный для использования в области больших V, заключается в том, что внутри неоднородной сердцевины выделяется область с постоянной диэлектрической проницаемостью [21]. Волновое уравнение (1.2) в этой области и в оболочке имеет вид уравнения Бесселя. Решения его можно представить в явном виде с точностью до постоянных. Значения полей на границах неоднородной области с соседними однородными связаны с помощью матрицы передачи размерностью 4X4. Элементы матрицы определяются в результате численного решения системы уравнений Максвелла методом прогноза и коррекции в неоднородной области сердцевины. Полученная линейная однородная система уравнений относительно постоянных в разложении поля имеет нетривиальное решение лишь тогда, когда ее определитель равен нулю. Равенство нулю определителя дает дисперсионное уравнение, из которого численно определяются постоянные распространения мод. По сравнению с одношаговыми методами удается снизить время счета и повысить точность вычислений. Кроме того, можно рассчитывать ДХ мод в области больших частот, где другие методы дают большую погрешность из-за накопления ошибок в процессе вычислений. Рассмотренный численный метод расчета выгодно отличается от метода, предложенного в работе [52], тем, что нет необходимости предварительно определять точки поворота, разделяющие области колебательного и экспоненциального характера решения. [c.27]

Важно, что произвольные постоянные, содержащиеся в выражениях для Oi и Фц, определяются по граничным )/словиям независимо. При этом использование ортогональности соответствующих функций сводит этот процесс к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений. Ортогональность системы функций Q, (а,г) на интервале г г , может быть показана непосредственно с использованием уравнения для функций Бесселя и соответствующих граничных условий. Это обстоятельство интересно также с физической точки зрения. Сама возможность такого раздельного определения произвола указывает на то, что собственные формы колебаний в выделенном объеме формируются без взаимодействия радиальных и окружных волновых движений. [c.18]

Здесь X = / есть не что иное, как волновое число расходящейся волны (в свободном пространстве), описываемой сферической функцией Бесселя. Однако для отыскания (г, г ) нет надобности явно обращать соотношение (10.73). С помощью соотношений [c.489]

Отражения от стенок и верхнего уровня жидкости могут быть приближенно учтены путем решения волнового уравнения в цилиндрических координатах с граничным условием равенства нулю нормальных скоростей на боковой стенке ванны. Решение состоит из суммы функций Бесселя, корни которых определяются из граничных условий на боковой стенке. [c.230]

Присутствие функции Бесселя /з з [.. . 1 в этой формуле сообщает волнистый характер кривой зависимости волнового сопротивления от скорости движения. Вид этой кривой мало изменяется с изменением полуоси с, если отношение длины большой оси 2а к осадке 2 превосходит 10, т. е. на волновое сопротивление оказывает малое влияние в данном случае изменение в поперечном сечении тела. [c.480]

Это уравнение введением новой переменной кг приводится к уравнению Бесселя нулевого порядка для цилиндрической волны получается решение, выражаемое не в тригонометрических, а в бесселевых функциях аргумента кг. Это означает, что волновое движение при синусоидальной зависимости от времени выражается несинусоидальной зависимостью от координаты, в отличие от плоской волны, которая выражается синусоидальными зависимостями как от времени, так и от координаты. Лишь на больших расстояниях от оси цилиндрическая волна приближается к синусоидальной, как это следует из асимптотических выражений для бесселевых функций. Решение уравнения (2. 10) здесь не приводится, так как выбор частных интегралов зависит от условий задачи. [c.263]

Здесь Jm — функция Бесселя первого рода порядка т, где m2 — константа разделения по переменной 0, qmn — волновое число, равное kmn + iomn для моды тп. Постоянные Атп и Втп определяют амплитуду фт , которая задана распределением смещения г, 0) поверхности излучателя. Хтп является еще одной действительной постоянной, характеризующей моду тп и получающейся из граничного условия, по которому нормальная к поверхности компонента скорости равна нулю на стенках канала [c.108]

Волновые уравнения (9.13), (9.14) приводят к общим уравнени-ЯМ Бесселя. В нашем рассмотрении считается, что тороидальный ядерный генератор — это замкнутый круговой соленоид с цилиндрической проводяш ей поверхностью, по которой течет, по суш е-ству, поверхностный ток проводимости. Лля такого полого проводника решения уравнений (9.13), (9.14) дают хорошо известный поверхностный скип-эффект [193, 247] на функциях Бесселя для соот-ветствуюш их уравнений. [c.273]

Di), где /,, /г — компоненты смещения твердой фазы по радиусу по оси л цилиндра. Функции / , 1% выражаются через функции Бесселя /о (/г,г), i = 1,2, JI (h r), где vi hg — константы, определяемые волновым числом и скоростями распространения соответственно продольных волн I и II рода и поперечных волн. При этом условия обращения в нуль нормальной и касательной нагрузок, а также порового давления, приложенных к боковой поверхности цилиндра, определяют дисперсионное уравнение, которое при незначительном влиянии жидкости в поровом пространстве сводится к известному частотному уравнению Похгаммера [101]. Полное дисперсионное уравнение весьма сложно, в связи с чем подробно исследуются частные случаи низкочастотные и высокочастотные волны в тонких стержнях. [c.142]

Гуляева—Блюстейна. Используя для функций Бесселя, входящих в дисперсионное уравнение (3.135), асимптотическое представление через полусходящиеся ряды Дебая, можно показать, что при р (2,5/6) волновое число имеет вид [c.255]

Здесь форма колебаний, представленных экспонентой, показывает радиальное направление гребней волн. Наличие функции Бесселя отражает тот факт, что волны с большими волновыми числал1и, сравнительно поздно приходящие в удаленную точку, генерируются с переменной фазой из-за начального разрыва плотности при г = а. [c.523]

МЫ сформулируем граничные условия по сфере и рассмотрим единственное значение проекции момента количества движения, так что в сумму по будет включено только одно -состояние. Рассмотрим теперь волновую функцию, когда Ек проходит через резонанс. В нулевом порядке псевдоволновая функция (которая совпадает с истинной волновой функцией на больших расстояниях) дается сферической функцией Бесселя /г (кг). Как показывают второй и третий члены в (2.84), эта псевдоволновая функция должна быть ортогональна функциям сердцевины и -состояниям. Кроме [c.236]

Бесселя, звуковое поле исследовано в работе [273]. В слоистых средах с медленными течениями (3.183) и (3.184) решения волнового уравнения в известных специальных функциях можно получить [94] для ряда других стратификаций скорости звука и шготности среды, кроме случая (z) = onst и p(z) = onst. Мы на этом останавливаться не будем. [c.88]

Из исследований волновых полей в окрестности структурно-неустойчивых особенностей необходимо отметить равномерные асимитотические разложения при наличии фокуса [1.39] и каустики с произвольным, но неизменным порядком касания с лучами [207]. Геометрически такая каустика представляет собой гладкую поверхность. Она возникает, в частности, при падении плоской волны на слоистое полупространство, если в окрестности точки поворота 2, скорость звука удовлетворяет соотношению (z) (Zr) = О ((z 2г)°). Эталонными в зтой задаче являются функции Бесселя порядка (2 + а) (см, формулы (3.36) - (3.38)). Качественно поведение звукового поля в окрестности такой каустики подобно случаю простой каустики (он получается при а = 1), рассмотрен- [c.385]

До сих пор мы имели дело с решениями волнового уравненпя, которые были повсюду конечны. Когда мы имеем дело с круговыми волнами, вызванными гармонической вынуждающей силой, приложенной к точке, мы должны ожидать, что полученные решения дадут бесконечные значения в точке ириложе-ния силы (которзчо мы прилагаем в точке г = 0). Эти решения являются вторыми решениями уравнения Бесселя (19.3), так как ото дифференциальное уравнение второго порядка и должно иметь два различных решения. [c.220]

Более полное и вместе с тем простое описание формул волновой поверхности можно получить с помохцью асимптотических формул для функций Бесселя. Эти формулы дают возможность исследовать возвышение поверхности жидкости при больших значениях велххчины т. [c.554]

Здесь q, /г, /, /i, i — малые амплитуды, волновое число и комплексная частота возмущении соотвстствешю, а Л — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...