Приближенный метод дискретных ординат

Из всего сказанного выше следует, что можно рассматривать различные приближения метода дискретных ординат для решения уравнения переноса. Конечно, лучшими приближениями являются те, которые дают точные результаты и не требуют слишком большого времени для численных расчетов. Описанные в настоящем разделе методы оказались очень полезными при решении практических задач. Кроме того, были предложены различные модификации этих методов [26], некоторые из них оказались весьма удобными. [c.186]

В рамках другого класса многогрупповых методов, известного под названием метода дискретных ординат или 5л/-метода, уравнение переноса решается только для некоторых избранных направлений. Затем интегралы, по углу представляются в виде сумм по дискретным направлениям, а производ-, ные по углам — в виде разностей. Эти методы подробно описаны в гл. 5, где показано, что для плоской геометрии некоторые из 5л -приближений эквивалентны Рл/-методу. Достоинство 5л/-метода — его точность, которую мож но повысить, просто увеличивая число направлений без какого-либо изменения метода решения. Он часто используется там, где Рл/-приближение недостаточно точно. [c.43]

Интересно рассмотреть некоторые другие приближения, которые были развиты для решения зависящего от энергии уравнения переноса, в частности, распространение на этот случай некоторых методов, используемых в односкоростной теории (см. гл. 2). В разд. 2.2 рассмотрен метод разделения переменных для получения точных (или очень близких к ним) решений в простых случаях. Этот метод был распространен на изучение зависящих от энергии задач в плоской геометрии [1], причем энергетическая зависимость учитывалась либо с помощью дискретных энергетических групп, либо разложением по собственным функциям. Такие методы можно было бы использовать для получения точных решений некоторых тестовых задач. Однако, поскольку для проведения таких расчетов обычно требуется электронно-вычислительная машина, то на практике более удобно получать точные решения другими методами, например методом дискретных ординат (гл. 6) или методом Монте-Карло. [c.134]

При решении практических задач методом дискретных ординат вводятся с помощью многогруппового приближения дискретные энергетические переменные, а для описания пространственной зависимости, как и в предыдущей главе, используется дискретная пространственная сетка. Следовательно, все независимые переменные стационарного уравнения переноса, а именно пространственная переменная г, направление Й и энергия Е, рассматриваются как дискретные. По сравнению с методом сферических гармоник отличительным свойством метода дискретных ординат является то, что угловая переменная (или направление) считается дискретной. [c.168]

При развитии этого метода возникают некоторые новые и важные проблемы. К ним относятся 1) выбор конкретных дискретных направлений 2) аппроксимация интегралов по угловой переменной 3) аппроксимация производных от потока нейтронов по компонентам угла Й, появляющихся в уравнении переноса в криволинейных геометриях (см. разд. 5.3.1, 5.3.2). Эти проблемы рассмотрены в настоящей главе, но с самого начала можно констатировать, что не существует их единственных решений. Отсутствие единственности решения, однако, не является неожиданным, В Рд -приближении выбор энергетических групп и пространственной сетки также не однозначен, но должен основываться на физическом понимании задачи и опыте. Те же самые факторы определяют выбор направлений и других параметров в методе дискретных ординат. [c.168]

Из свойств полиномов Лежандра известно, что функции Рл (м-) имеют точно N нулей в интервале—1 1. Это позволяет выполнить сформулированные требования. Для четных N имеется четное число направлений и четное число уравнений (5.5), соответствующих уравнениям метода сферических гармоник нечетного порядка. Таким образом, N = 2 в методе дискретных ординат соответствует Рх-приближению в методе сферических гармоник. [c.172]

В разд. 3.5.1 было показано, что в плоской геометрии обычно существует разрыв в угловом распределении потока нейтронов при ц = О на поверхности (или границе). Было найдено, что при решении уравнения переноса с помощью разложения потока в ряд по полиномам Лежандра полезно исследовать каждую сторону разрыва отдельно. Аналогичное двойное Рд -приближение было использовано в методе дискретных ординат с отдельным разложением потока в интервалах —1 х ОиО х 1 18]. [c.173]

Следовательно, теперь имеется 2М направлений и 2 N весовых множителей. Для положительных или отрицательных значений х существует N направлений, соответствующих N корням полинома Рд , определенного в интервале О 1. Такой способ выбора 2Ы направлений можно было бы назвать двойным Рд/ 1-приближением. Таким образом, например, двойное Рх-прибли-жение имеет четыре дискретных направления. Было показано, что двойное Рд приближение оказывается очень полезным при использовании метода дискретных ординат в задачах с плоской геометрией, так как оно дает возможность изучать простым способом процессы на границах раздела. Для криволинейных геометрий, однако, не существует разрывов потока нейтронов на границах и как будет видно ниже, двойной Рд/-метод не имеет в этом случае особых преимуществ. [c.173]

Было проведено также сравнение критических полутолщин пластин, полученных методом дискретных ординат, с результатами расчетов критических размеров точным методом разделения переменных (см. гл. 2) для анизотропного рассеяния [14]. С этой целью угловое распределение рассеянных нейтронов принималось таким же, как и для водорода, и в обоих методах в разложениях по угловой переменной были оставлены два или три члена. Рассматривались различные отношения сечений анизотропного и изотропного рассеяний. При использовании большого числа пространственных точек, а именно 75, и квадратурной схемы двойного Р,-приближения, т. е. = 16, результаты, полученные методом дискретных ординат, обычно согласуются с точными значениями в пределах 0,01%. В большинстве случаев согласие было даже еще лучшим. [c.177]

Критические размеры голых сфер рассчитывались также методом дискретных ординат с направлениями и весовыми множителями, определенными двумя различными квадратурными формулами Гаусса для интервалов —1 < О и О х < 1 [22]. Метод, эквивалентный двойному Рл/-приближению, который дает столь хорошие результаты в плоской геометрии (см. табл. 5.2), обеспечивает небольшое, если вообще какое-нибудь, улучшение результатов, полученных с использованием единственной квадратурной формулы на всем интервале — 1 1. Это происходит, по-видимому, из-з ( того, что в сферической геометрии поток непрерывен при х = О, как отмечалось в разд. 3.5.1. [c.185]

Так же как и в многогрупповом приближении метода сферических гармо-ннк (см. гл. 4), зависяш,ие от энергии многогрупповые уравнения выводятся с помощью интегрирования по некоторому числу энергетических интервалов (или групп). В методах дискретных ординат эти уравнения решаются в определенных дискретных направлениях. Однако, как отмечалось в разд. 1.6.4, такой способ обычно приводит к тому, что групповые сечения оказываются зависящими от направления кроме того,в этом случае появляется неопределенность при оценке сечений перехода нейтронов. [c.187]

Методы решения многогрупповых задач в приближении дискретных ординат, основанные на использовании соответствующей программы для электронно-вычислительной машины, в принципе такие же, как в (и связанных с ним) приближениях. Как отмечалось ранее, четырехточечная квадратурная формула Гаусса или подобная ей оказывается достаточно хорошей для большинства одномерных расчетов критичности. Члены рассеяния в уравнении (5.30) можно аппроксимировать любым желаемым числом членов разложения Ь. Встречалось несколько задач,- для которых приближение L = 3 оказывается недостаточным, а обычное транспортное приближение с L = О или согласованное Рд приближение с L = 1 дают вполне удовлетворительные результаты. [c.191]

Расчеты. Расчеты прохождения нейтронного излучения через макеты радиационной защиты проводили с помощью программы ANISN, реализующей одномерный метод дискретных ординат. Исследуемые композиции допускали одномерную аппроксимацию, поэтому использование этой программы не вносило дополнительных погрещностей, связанных с методической некорректностью. Во всех вариантах расчета решалась задача с фиксированным источником в плоской бесконечной геометрии. Энергетическое распределение нейтронов в источнике брали из данных эксперимента. Шаг пространственной сетки в защите из бетона не превышал 1 см, анизотропию рассеяния и угловой переменной учитывали в ЗвРз-приближении. [c.109]

Математические трудности, возникающие при решении ин-тегродифференциальных уравнений, привели к появлению ряда приближенных методов решения уравнения переноса излучения. В приближениях оптически тонкого и оптически толстого слоев (последнее называется также диффузионным приближением, или приближением Росселанда) используются упрощения, вытекающие из предельного значения толщины среды. В приближениях Эддингтона и Шустера — Шварцшильда упрощения связаны с введением допущений об угловом распределении интенсивности излучения. В методе экспоненциальной аппроксимации ядра интегроэкспоненциальные функции в формальном решении заменяются экспонентами. Метод сферических гармоник, метод моментов и метод дискретных ординат — наиболее разработанные методы, позволяющие получить приближения более высоких порядков. [c.340]

Метод моментов, описанный Круком [22], и метод дискретных ординат, рассмотренный Чандрасекаром [2] и Кургановым [3], позволяют получить приближенные решения уравнения переноса излучения более высокого порядка. При этом, как было показано Круком [22], метод моментов, метод дискретных ординат и метод сферических гармоник совершенно эквивалентны. [c.372]

Этот метод, конечно, хорошо известен в задачах переноса нейтронов и переноса излучения [23, 39, 40]. Если в качестве скоростей выбрать нули полиномов Эрмита Я/, ( .) и воспользоваться соответствующей интерполяционной формулой, то метод дискретных ординат будет по существу эквивалентен мо-ментному методу, основанному на разложении (2.2) с фиксированной, а не локальной максвелловской функцией /о- Для переноса нейтронов в случае односкоростного приближения этот результат был детально рассмотрен Гастом [4Г. [c.394]

Те же методы применялись и к задаче теплопереноса между плоскими пластинами в линейном приближении [15, 5, 53, 30, 97—99]. На рис. 44 приводится сравнение теплового потока, соответствующего точному численному решению по БГК-модели [53], с экспериментальными данными Тигена и Спрингера [100]. Численные результаты лежат всюду ниже, чем экспериментальные. То же самое имеет место и для вариационных решений, основанных на различных моделях (твердые сферы, максвелловские молекулы) [99], и это, по-видимому, исключает возможность того, что расхождение обусловлено использованием БГК-модели. Как указал в частном сообщении Спрингер, это расхождение, возможно, объясняется разницей между давлением в камере и давлением между пластинами, в то время как экспериментальные данные получаются в предположении, что эти давления одинаковы. Расхождение такого же типа обнаружено в работе [30], в которой течение Куэтта двухатомного газа исследуется методом дискретных ординат на основе модели Хол-вея [101]. [c.406]

О численных методах решения задач о монохроматическом рассеянии. О некоторых из них мы дали представление, когда говорили о приближенных методах, назвав приближенные методы так же, как называются численные. Так, метод дискретных ординат — продолжение метода Чандрасекара, сферических гармоник — метода Эддингтона, двухпотоковое приближение — метода Шварцшильда—Шустера. [c.99]

Хотя разностные уравнения были выведены здесь для диффузионного приближения, аналогичные уравнения можно легко получить н для Р1-прибли-ження. Когда диффузионное или Р -приближение оказывается недостаточным для представления угловой зависимости потока нейтронов, то можно использовать более общие разложения в методе сферических гармоник. Их применение к плоской и сферической геометриям уже было рассмотрено, а для цилиндрической геометрии описано в разд. 3.6.2. Для более сложных геометрий методы сферических гармоник оказываются настолько сложными, что обычно используются другие, особенно метод дискретных ординат (см. гл. 5) и метод А1онте-Карло. [c.123]

Проведенный в предыдущем разделе анализ" был основан на многогрупповом диффузионном приближении. Для большинства других приближений, включая и Рх-приближение, также проведен соответствующий математический анализ. Часто нельзя сделать никаких выводов, поскольку система конечно-разностных уравнений не будет соответствовать положительному оператору [23]. Тем не менее общая стратегия внешних итераций успеишо применялась в большинстве многогрупповых задач, включая, например, основанные на разложении в ряд по сферическим гармоникам или на методе дискретных ординат (см. разд. 5.4.3), в которых метод внешних итераций не имеет прочной математической основы. При таких условиях метод внешних итераций не всегда должен приводить к устойчивому численному решению тем не менее на практике он оказывается очень плодотворным. [c.154]

Эти граничные условия идентичны граничным условиям Марка для метода сферических гармоник (см. разд. 2.5.1). Следовательно видно, что метод дискретных ординат с выбранными таким образом квадратурными формулами эквивалентен методу сферических гapмoJШк с граничными условиями Марка. В частности, приближенные интегралы фп, определяемые уравнением (5.4), удовлетворяют тем же самым уравнениям и граничным условиям, что и в методе сферических гармоник. С помощью обоих методов получаются одинаковые потоки нейтронов и собственные значения. Кроме того, если угловая зависимость потока Ф х, х) для х Ф .1г дается обычным разложением по сферическим гармоникам [c.172]

В этом приближении единственными свободными параметрами являются дискретные значения х, характеризуюш,ие выбранные направления. Впоследствии оказалось, что полученные таким образом уравнення были лишь частным случаем более обш,ей постановки задачи в рамках метода дискретных ординат, которая обсуждается ниже [18]. [c.179]

Миогогрупповые расчеты для получения приведенных в табл. 5.5 значений, а также описанных ниже данных для систем на быстрых нейтронах проводились с помощью программы ВТРIV, которая основана на методе дискретных ординат для решения одномерного уравнения переноса с анизотропным рассеянием [381. Использовалась квадратурная формула 58 приближения с узлами, обеспечивающими равномерное распределение (см. разд. 5.3.5). Пространственное распределение потока нейтронов определялось в 20 счетных точках по радиусу. [c.194]

В разд. 5.4.4 отмечалось, что в дополнение к приведенному там методу оценки пригодности ядерных данных для решения задач теории переноса нейтронов существует и другой метод, основанный на определении эффектов реактивности. Этот приближенный метод включает в себя измерение изменений реактивности, обусловленных введением небольших образцов в различные места критической сборки, и сравнение этих экспериментальных данных с теми изменениями реактивности, которые получаются по теории возмущений и из многогрупповых расчетов методом дискретных ординат. Результаты проведенных измерений реактивности получены в основном на быстрых сборках Годква , Джезебел и Топси и в меньшей степени на голой сфере из металлического урана-233 и на сборке ZPR—III 48 (см. разд. 5.4.4). [c.223]

Для расчетов этих задач широко используют современные программы на основе метода Монте-Карло и дискретных ординат, позволяющие достаточно точно учитывать геометрию задачи, рассчитывать энергетические и дозовые характеристики полей скайшайн. Вместе с тем изучают возможность использования для оценочных расчетов различных приближенных методик и аналитических формул. [c.324]

При решении кинетического уравнения Больцмана конечно-разностными методами важен вопрос будет ли интеграл столкновений после аппроксимации стремиться к интегралу столкновений Больцмана, когда шаг сетки в пространстве скоростей стремится к нулю Основным критерием точности вычислений является вьшолнение законов сохранения. В методе [8] законы сохранения удовлетворяются приближению в пределах ошибки вычисления и используются как мера точности. В методе [11] выполняется закон сохранения массы, в [5] развит метод коррекции промежуточного решения, делающий метод консервативным. В консервативных методах [12-16] используется специальный выбор узлов кубатурной формулы, при котором скорости до и после столкновения принадлежат одной сетке дискретных ординат. Благодаря этому законы сохранения выполняются точно при каждом столкновении. [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...