Косинусы осей - Значения

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Заметим, что задание модуля а и двух косинусов, например а и р, не определяет вектора однозначно из выше приведённого соотношения найдём для третьего косинуса у два значения, отличающиеся друг от друга знаками, и, следовательно, одним и тем же значениям а, и а соответствуют два вектора, симметрично наклонённые к плоскости О ху. Величин л, определяющие вектор, носят название координат вектора. Всего удобнее принять за координаты вектора его проекции на оси координат. Познакомимся вообще с понятием о проекции вектора на ось. Осью назы- вается прямая, на которой определено направление. Проекцией вектора а на некоторую ось Фиг. 2. [c.3]

Если откладывать по оси абсцисс углы, а по оси ординат — значения тригонометрической функции, отвечающей этим углам, то получится графическое изображение этой тригонометрической функции. На фиг. 4 изображены построенные таким образом синусоида (графически выраженный закон изменения величины синуса) и косинусоида (то же для косинуса). [c.73]

При помощи таблицы косинусов находим следующие значения моментов относительно осей х, у, z [c.294]

В данном случае взят только ряд косинусов с четными значениями к, потому что только он удовлетворяет условию симметрии нагрузки относительно вертикальной и горизонтальной осей. [c.19]

Если откладывать по оси абсцисс углы, а по оси ординат — значения тригонометрической функции, отвечающей этим углам, то получится графическое изображение этой тригонометрической функции. На фпг. 4 изображены построенные таким образом синусоида (графически выраженный закон изменения величины синуса) и косинусоида (то же для косинуса). Ниже, в табл. XI, приведены значения тригонометрических функций для дополнительных углов. [c.84]

Переход от местной географической системы координат к связанной или скоростной, а также обратный переход можно осуществить, зная косинусы углов между соответствующими осями. Их значения можно определить из рис. 1,2.2, яа котором показано взаимное расположение осей этих систем координат. [c.32]

Если параметры I, т, п пропорциональны направляющим косинусам оси, соответствующей одному из найденных значений I, то величины I, т, п могут быть найдены из уравнений [c.31]

Зависимость момента инерции от направления оси. Переходим к изучению зависимости момента инерции тела относительно оси, проходящей через заданную точку тела, от направления оси. Помещаем в данной точке начало координат прямоугольной декартовой системы. Тогда положение оси определяется значениями ее трех направляющих косинусов, которые обозначим соответственно [c.148]

В БИС начальная выставка заключается в определении начального значения матрицы направляющих косинусов осей системы координат, связанной с объектом, относительно ИСК, т. е. в задании начальных условий для нахождения решения уравнений БИС. Матрица определяется по показаниям чувствительных элементов с помощью вычислительного устройства. Сначала определяется ориентация осей системы относительно ортогонального трехгранника, связанного с местной вертикалью, начало отсчета которого лежит иа поверхности Земли. При этом показания прибора используются для определения направления местной вертикали и вектора вращения Земли. [c.248]

При решении задач рекомендуется вычислять абсолютное значение проекции силы как произведение модуля силы нл косинус острого угла между линией действия силы и осью, определяя знак проекции непосредственно по чертежу. [c.25]

Направляющие косинусы скорости. Равенство (64) позволяет определить модуль скорости точки, движение которой задано уравнениями (И). Направление скорости определяется по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с направлением скорости. Значения этих косинусов, называемых направляющими косинусами скорости, мы получим из уравнений (63) [c.137]

Формула (221) имеет очень большое значение в динамике. При выводе этой формулы мы считали X, V и Z направленными положительно по. осям координат. Если какие-либо из составляющих силы направлены в противоположные стороны, то иным станет знак соответствующего косинуса. Поэтому в (221) X, V и Z являются не модулями составляющих, а проекциями силы на оси координат, т.е. определяются не только величиной, но и знаком. Кроме того, в отличие от (219), где всегда ds>0, в (221) величины dx, dy и dz являются дифференциалами координат точки приложения силы и могут быть как положительными, так и отрицательными. [c.369]

Для вычисления проекций силы Р на подвижные оси координат следует воспользоваться значениями косинусов (табл. 3), встречавшихся при выводе кинематических уравнений Эйлера. Тогда для подвижных осей Охуг [c.454]

Выражение (18.1) показывает, что работа является скалярной величиной и может иметь положительное или отрицательное значение в зависимости от знака косинуса угла ос. [c.43]

Проекции сил N на ось Ох и Т на ось Оу в уравнения не вошли, так как эти силы перпендикулярны к осям, и их проекции равны нулю. Подставив 0=50 н и значения косинусов и решив уравнения, получим [c.31]

Если течение жидкости происходит в поле тяжести, то к правой части уравнения (5,1) надо прибавить еще ускорение силы тяжести g. Выберем направление силы тяжести в качестве направления оси 2, причем положительные значения г отсчитываются вверх. Тогда косинус угла между направлениями g и 1 равен производной —dz/dl, так что проекция g на 1 есть [c.25]

Решение. Для определения равнодействующей целесо образно составить табл. 4. Сначала впишем значения модулей сил и углов, составляемых с координатными осями (первая и вторая графы). Затем определяем косинусы этих углов (третья графа). Перемножая модули сил и косинусы соответствующих углов, получаем проекции всех сил на координатные оси (четвертая графа). Произведя алгебраическое суммирование соответствующих проекций по столбцам, находим проекции равнодействующей [c.91]

Выберем на оси Z произвольную точку О (рис. 53) и определим момент силы F относительно этой точки. По (19.1) момент силы относительно точки О равен Mq = [RFJ. Его числовое значение равно удвоенной площади треугольника ОАВ. Спроецируем треугольник ОАВ на плоскость, проходящую через точку О м перпендикулярную оси OZ. Его проекцией на эту плоскость будет треугольник ОА В. Известно, что площадь проекции равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью этой фигуры и плоскостью проекции, т. е. [c.72]

Подставив в уравнения (1.62) вместо в главное значение тензора (ег ), например е , и решив их совместно с (1.63), найдем направляющие косинусы Uij для первой главной оси. Аналогично определяются направляющие косинусы второй и третьей главных осей тензора (ej ). [c.18]

Определим моменты Л/g, Mg, Л/р развиваемые разгрузочными двигателями. Как было показано прежде, сигналы, снимаемые с датчиков углов гироскопов 6 ж 9, поступают на синусно-косинусный координатный преобразователь 10 (см. рис. XX.1), установленный на оси платформы. Сигналы, поступающие на координатный преобразователь, умножаются на значения, пропорциональные синусу и косинусу угла е, усиливаются и распределяются на двигатели разгрузки в соответствии с формулами [c.493]

В силу симметрии элементов определителя (6.32) относительно его главной диагонали решение уравнения (6.33) дает три действительных корня, представляющих собой три главных напряжения, действующих на трех главных площадках. Как указывалось ( 40), они обозначаются через oi, 02 и оз, причем алгебраически Oi>a2> >аз. Для определения направления какой-либо главной оси, например первой, в уравнения (6.30) подставляют значение соответствующего главного напряжения, т. е. oi, и из любых двух уравнений находят соотношения между косинусами углов [c.189]

Действительно, если нормаль v совпадает с одной из главных осей, то один из направляющих косинусов принимает значение, равное единице, а два других равны нулю, и тогда = 0. [c.314]

Определить значения полного, нормального и касательного напряжений на площадке с внешней нормалью к, направляющие косинусы которой относительно координатных осей равны между собой. [c.25]

Как видим, — величина существенно положительная и на главных площадках, как и положено, обращается в нуль. Действительно, если нормаль v совпадает с одной из главных осей, то один из направляющих косинусов принимает значение, равное единице, а два других равны нулю, и тогда т =0. [c.264]

Изменение момента инерции относительно осей, проходящих через одну и ту же точку. Эллипсоид инерции (Пуансо). Исследуем теперь изменение моментов инерции относительно различных осей, выходящих из точки О (рис. 181). Примем эту точку за начало координат и пусть а, р, — направляющие косинусы некоторой прямой 03. Квадрат расстояния тр от точки с координатами х, у, г до этой прямой имеет значение От — Ор , т. е. [c.20]

Уравнения движения тяжелого тела на совершенно гладкой горизонтальной плоскости. Предполагается, что тело ограничено произвольной выпуклой поверхностью 5, определяемой следующим образом. Пусть Оху г — главные оси инерции для центра тяжести тела. Проведем касательную плоскость Я к поверхности 5 и обозначим через 7, 7, 7" косинусы углов, которые образует нормаль Ог к плоскости Я с осями Охуг. Расстояние С от точки О до касательной плоскости Я, а также координаты х, у, г точки касания суть известные функции косинусов 7, 7, 7". Например, если 5 есть эллипсоид с осями а, Ь, с, направленными по Охуг, то для С получается значение [c.227]

Зададим три взаимно перпендикулярные оси Охуг, и пусть а, р, -у — направляющие косинусы одного из векторов системы, взятого произвольно. Обозначим через Р,, Р. ,. . P,j алгебраические значения векторов системы, считая их положительными при ориентации в сторону а,р,Y и отрицательными в противном случае. Каков бы ни был знак Р ., проекции Л у,, Yj-, соответствующего вектора на оси будут [c.33]

Здесь ср — значение скаляра <р в повой системе координат. В фор-М улу (а) не входят направляющие косинусы осей повой системы координат. Однако можно по.дожить, то правая часть этой формулы содержит их в нулевой степени. Векто[) аналитически определяется системой трех чисел — проекцнн вектора на оси координат, или компонент вектора. Компоненты векто1)а. зависят от выбора системы координат и преобразуются при изменении системы координат но формулам (1.35) и (1.36). Эти формулы линейны и однородны относительно направляющих косинусов осей новой системы координат. Возникает вопрос о существовании физических пли геометрических объектов, аналитически определяемых более сложными системами чисел, чем векторы, но имеющих аналитические свойства, родственные свойствам скаляров и векторов. Такие объекты существуют. Они называются тензорами. Мы рассмотрим здесь аналитическое определение тензоров и убедимся, чго абсолютные скаляры и векторы являются лишь их частными случаями. [c.43]

Здесь lai (x) и /p/(z/) — направляющие косинусы осей локальной системы коорд-инат в точках х я у соответственно, а — Пусть на поверхности имеется элементов и различных узловых точек (которым соответствуют неизвестные значения). Присвоим каждому узлу на свой (глобальный) номер == (6, с) (6е 1, 2,. .., се 1, 2, п), [c.115]

Нутация земной оси в случае нулевого среднего наклоиеиия. Если мио-венное значение наклонения мало, то даже очень медленное изменение положения экватора может значительно изменить положение его линии пересечения с эклиптикой. Поэтому оказывается неудобным измерять введенные углы от точки весеннего равноденствия. Если через GZ обозначить нормаль к эклиптике, а через G — ось фигуры Земли, то наша задача будет состоять в определении малых колебаний оси G около нормали GZ. Пусть GX, GY — оси, неподвижные относительно эклиптики, и пусть долгота Солнца измеряется от осн GX. Пусть Р, Q, I — направляющие косинусы оси G относительно осей X, Y, Z. Нет необходимости повторять все этапы исследования, достаточно заметить, что уравнеиня движения для определения Р и Q принимают форму, приведенную в п. 15. Всноминая, что момент возмущающей пары снл, обусловленной солнечным тяготе1шем, равен —3/г (С — А) sin S os S и что его направление составляет с осью GX угол / + л/2, получим уравнения [c.413]

При вычислении проекции данной сил1 1 па ось необходимо иметь в виду, что абсолютное значение aioii проекции равно произведению модуля силы па косинус острого угла между силой и осью проекций. При этом, если направление этой проекции совпадает с положительным направлением оси, то проекция положительна в противном случае проекция отрицательна (рис, 7). [c.9]

Для крайних значений функции ф на поверхности а введем обозначения ф< > и кроме того, обозначим через Дц1 >, малые площадки, образующиеся в пересечении поверхности цилиндрической трубки с поверхностью а, а через 14 и 1 > — орты внешних нормалей к этим площадкам. Легко видеть, что сечения Да являются проекциями площадки Да14 или До1 на плоскости, перпендикулярные к оси хь так что, принимая во внимание отрицательный знак косинуса тупого угла между п<4 и осью Х[, получим [c.134]

Решение этого уравнения дает три вещественных корня оц Ог, Оз (при этом 01>а2>(Тз)- Эти три напряжения называются главными. Внося последовательно эти корни в уравнения (1.4) и присоединив к ним уравнение (1.5), находят величины направляющих косинусов для каждого главного напряжения. Определив напрявляющие косинусы, можно заключить, что главные площадки, соответствующие значениям главных напряжений о, 02, Оз, являются взаимно перпендикулярными. Значения главных напряжений не могут зависеть от направления осей координат, поэтому коэффициенты уравнения (1.4) Яь аг, аз должны сохранить свои величины при любом выборе осей координат. Многочлены, образующие эти коэффициенты, называют инвариантами преобразования координат. [c.10]

Полученные три выражения следует рассматривать как систему уравнений относительно трех направляющих косинусов, определяющих положение главной площадки относительно исходной системы осей х, у, г. Остается, казалось бы, решить эту систему и определить положение главных площадок. Однако нетрудно заметить, что полученная система уравнений однородная и дает для Пх, Пу и нулевые значения, что противоречит известному нам соот-ношеншо [c.24]

Подставив в (2.36) вместо а поочередно главные значения Oi, О2, О3 тензора ((т ) и решив каждую из трех полученных групп уравнений совместно G равенством (2.37), найдем три группы направляющих косинусов tiij, n j, n j, определяющих направления трех главных осей тензора напряжений. [c.39]

Упражнения к теореме Миндинга. 1°. Взята произвольная прямая Д, опирающаяся на два фокальных конических сечения, найденных в упражнении 10. Показать, что существует положение тела (т. е. система значений девяти направляющих косинусов), при котором силы приводятся к одной равнодействующей, направленной по Д. (Нужно заметить, что так как подвижные оси могут совпадать с неподвижными, то определитель девяти косинусов равен + 1 целесообразно выразить косинусы через углы Эйлера.) [c.148]

Обозначим, как и раньше, через у, у, у" косинусы углов, которые образуют связанные с телом оси Oxyz с направленной вертикально вверх неподвижной осью 0 1, а через S, т , С — постоянные значения координат центра тяжести G относительно этих осей. Проекции веса Р на подвижные оси Охуг равны [c.186]

Допустим теперь, что тело положено на неподвижную горизонтальную плоскость П, и возьмем те же неподвижные оси GStj что и в случае, когда S является поверхностью вращения (п. 407). Обозначим через 0, <р, углы Эйлера между триэдром Gx yz и триэдром Gx y z , параллельным Неподвижным осям. Так как тело касается горизонтальной плоскости, то вертикаль Gzi перпендикулярна к касательной плоскости и координата С центра тяжести является известной функцией косинусов y, y, имеющих значения sin 6 sin , os 0. Следовательно, имеем [c.228]

Выберем за начало прямоугольных осей центр О сферы и проведем ось Ог вертикально в сторону действия силы тяжести. Пусть I — радиус сферы и mN — нормальная реакция сферической поверхности, так что N есть реакция, отнесенная к единице массы. Если предположить, что движущаяся точка М связана с точкой О нитью, то mN есть реакция нити. Обозначим через N алгебраическое значение реакции N, считая его положительным, если реакция направлена к центру (натяжение), и отрицательным в обратном случае. Направляющие косинусы 7Vтогда будут [c.196]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...