Приближенное решение уравнений колебаний

Векторы Zol и Zo2 удовлетворяют всем краевым условиям задачи и могут быть использованы для приближенных решений уравнений колебаний (например, вынужденных, параметрических, случайных) с использованием принципа возможных перемещений. Эти задачи рассмотрены в последующих разделах, посвященных прикладным задачам динамики стержней. Из уравнения (4.118) получаем выражения для производных векторов го1 и /оз [c.106]

Приближенное решение уравнений колебаний пьезоэлектрических пластин [c.64]

Приближенное решение уравнений колебаний ограниченных пьезоэлектрических пластин с использованием разложения в степенной ряд [c.64]

Приближенное решение уравнений колебаний [c.65]

Приведенное выще приближенное решение уравнений колебаний прямоугольных пьезоэлектрических пластин, рассмотренное подробно в работе [38], позволяет с относительно высокой степенью достоверности опреде- [c.78]

Приближенное решение уравнений колебаний ограниченных пьезоэлектрических пластин, основанное на разложении с помощью полиномов Лежандра [c.110]

Мы получили систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Найдем приближенное решение уравнений (1). Для этого в членах, содержащих произведения X OS 2nt и у os 2ni положим х равным Xi и соответственно у равным уг- Тогда каждое из уравнений системы (1) приобретает вид уравнений вынужденных линейных колебаний при отсутствии сил сопротивления [c.434]

Приближенное решение уравнений. Рассмотрим наиболее общее уравнение малых свободных колебаний стержня [c.122]

Рассмотрим случай, когда уравнение вынужденных малых колебаний стержня содержит силы вязкого сопротивления или силы Кориолиса [уравнение (5.50)]. Приближенное решение уравнения (5.50) ищем в виде [c.136]

Приближенное решение уравнений вынужденных установившихся колебаний при действии произвольных периодических сил (или моментов), удовлетворяющих условиям [c.136]

Неустановившиеся вынужденные колебания. Рассмотрим приближенное решение уравнения (5.92), когда его правая часть есть произвольная функция времени. Например, правая часть уравнения (5.92) для случая нагружения стержня, показанного на рис. 5.6, имеет вид (5.84), но функции Я )(х) и Ф6)(х) теперь являются произвольными функциями времени. Решение уравнения (5.92) ищем в виде (5.89) (ограничившись двучленным приближением). [c.138]

Стержень нагружен осевой периодической силой (рис. 7.39). Требуется получить (приближенно) уравнения для границ главной области параметрических колебаний. При решении уравнения колебаний стержня воспользоваться принципом возможных перемещений, ограничившись одночленным приближением. [c.233]

К сосредоточенной массе (рис. 7.40) приложена периодическая сила, направленная под углом а к оси Х2. Требуется определить (приближенно) уравнения границ главной области параметрического резонанса. При решении уравнения колебаний стержня воспользоваться принципом возможных перемещений, ограничившись одночленным приближением. [c.233]

Покажем, что в случае опор, имеющих нелинейные упругие характеристики, отмеченные задачи являются принципиально разными и имеют существенно различные решения. Это объясняется тем, что в данном случае точное дифференциальное уравнение равновесия для вращающегося вала совпадает лишь с приближенным дифференциальным уравнением колебаний балки [см. формулы (I. 1), (1.6)]. [c.116]

Сферический ротор имеет различные полярный и экваториальный моменты инерции. Если такой ротор вывести из положения равновесия, поворачивая его относительно некоторой произвольной горизонтальной оси, то он будет совершать колебательное движен 1е. Приближенное решение уравнений Эйлера показывает, что траектория движения центра масс, записанная в угловых координатах, представляет собой фигуру Лиссажу в виде эллипса, непрерывно изменяющего свою конфигурацию. Пример такой траектории приведен на рис. 3, а. Начальные углы колебаний (углы Эйлера) во и фо равны 10°. Ввиду различия полярного и экваториального моментов инерции колебания в направлениях 0 II ф происходят с разными частотами. При этом видно, что центр масс практически не проходит через положение равновесия — точку 0. Более того, плоскость колебаний пе остается постоянной, а менее чем за три периода разворачивается на 90°, Такое движение ие дает возможности не только определить момент прохождения центра масс близ положения равновесия, но 278 [c.278]

Многие из приближенных методов (см. гл. X) могут быть распространены на задачи о вынужденных колебаниях. Так, при применении вариационного метода Бубнова—Галеркина приближенное решение уравнения (3) ищется в виде ряда [c.237]

Изложенный путь нахождения точных решений и их дальнейшего анализа (как правило, приближенного) эффективен лишь для некоторых частных законов движения границ, когда задачу удается решить методом разделения переменных. Более общий подход к поиску приближенных решений свободных колебаний мембраны при произвольном, но медленном движении границ основан на использовании инвариантных преобразований волнового уравнения (см. 5.7). [c.218]

Для численного приближенного решения уравнений свободных и вынужденных случайных колебаний стержней необходимо знать собственные векторы, характеризующие малые свободные колебания стержней при конкретных краевых условиях. [c.351]

Решение (9) относительно скоростей 0Di(/) и ( >2 t) получено при отбрасывании в уравнениях (11) и (12) членов, содержащих координаты Z и z. Теперь остается лишь подставить это решение в уравнения (13) и (14) и решить получающиеся в результате уравнения относительно координат гиг. Для облегчения этого пренебрежем малыми величинами р и р тогда уравнения оказываются несвязанными . Одновременно примем для величин D п D эквивалентные выражения силы вязкого трения. Последнее допущение позволяет получить приближенное решение уравнений (13) и (14) без ограничения закона демпфирования каким-либо одним определенным выражением. Все критические свойства нелинейной природы демпфера сохранятся при условии, что эквивалентная приведенная постоянная вязкого трения рассматривается как функция амплитуды колебания. В итоге уравнение (13) принимает простой вид [c.107]

Валы реальных машин не имеют постоянного сечения в средней части их диаметр всегда больше, чем в концевых частях. Решение уравнения колебаний такого вала (1-67) связано со значительными трудностями и производится лишь приближенно. Жесткость подшипников, на которые опирается вал, не бесконечна, в действительности она соизмерима с жесткостью вала на изгиб. Эти факторы оказывают существенное влияние на формы свободных колебаний. На рис. 1-25 приведены первые три формы свободных изгибных колебаний ротора турбогенератора ТВВ-320-2, подсчитанные с учетом податливости опор. От синусоидальных форм колебаний вала постоянного сечения они отличаются следующим образом [c.45]

Вал переменного сечения на податливых опорах. Валы реальных машин не имеют постоянного сечения в средней части их диаметр всегда больше, чем в концевых частях. Решение уравнения колебаний такого вала (1-67) связано со значительными трудностями и производится лишь приближенно. Жесткость подшипников, на которые опирается вал, не бесконечная в действительности она соизмерима с жесткостью вала на изгиб, и факторы оказывают существенное влияние на собственные формы изгиба. [c.43]

Следует отметить, что точное решение уравнений колебаний пластин может быть получено лишь в простейших случаях в большинстве же случаев для расчета используются приближенные методы. [c.466]

Основное количество аналитических исследований нелинейных колебаний сплошных сред посвящено случаю плоских волн. Это связано с тем, что имеется достаточное количество точных и приближенных решений уравнений для плоских волн [42, 97, 148]. Другая ситуация наблюдается в случае сферических или цилиндрических волн. Здесь также имеются примеры аналитических и приближенных решений, однако их значительно меньше и они в основном получены для случая безграничной среды [20, 97, 132, 167, 173, 195, 221, 232]. Если первая теоретическая публикация, посвященная резонансным колебаниям газа в трубах, была опубликована в 1958 г. [211] и после этого указанная проблема изучалась многими авторами, то колебания в резонаторах другой формы не изучались. Это, с одной стороны, объясняется практической важностью случая колебаний в трубах, а с другой — исследование резонансных колебаний сред в сферических и цилиндрических областях связано со значительными трудностями. Автору известно только одно исследование резонансных колебаний сферических волн в идеальном газе [41], опубликованное в 1971 г. Ниже излагаются результаты распространения этого исследования на случай пузырьковой жидкости [50]. [c.150]

Решение уравнений колебаний пьезоэлектрических пластин, основанное на разложении механических и электрических величин в степенной ряд, является не единственным приближенным решением. Появились и некоторые другие решения, в которых используется разложение соответствующих величин в ряд. Из них здесь кратко будут описаны два. [c.110]

Использование этого способа решения уравнений колебания пьезоэлектрических пластин по толщине было довольно подробно описано в монографии [35], а в связи с использованием продольных колебаний по толщине в монолитных фильтрах также и в работе [56]. В работе [55] приведено дальнейшее упрощение данного приближения, сводящее проблему до одномерного решения путем введения средних значений смещений в направлении ширины пластины, подобно тому как описано в разд. 3.2. [c.111]

Двумерное приближенное решенне уравнения колебаний по толщине пьезоэлектрических пластин было затем использовано и для определения частотных спектров пластин специальной формы. Так, например, в работе I [29] приведены результаты анализа колебаний частично металлизированных пластин, толщина которых является линейной функцией координаты.. Колебания этих пластин специальной формы здесь не рассматриваются. Однако коснемся определения условий, при которых не будут возбуждаться ангармонические колебания сдвига по толщине высших порядков в интервале частот между предельными значениями для металлизированной и неметаллизированной частей пластины. [c.91]

Большие колебания статически нагруженных роторов трудно описать с достаточной точностью. Из физических особенностей опор скольжения и приближенного решения уравнений для весьма малого статического эксцентрицитета следует, что достаточно большие воз-буждаюш,ие импульсы нарушают устойчивость роторов с жесткими опорами и приводят к установлению автоколебаний. Примерно такие же результаты получаются для слабо овальных подшипников скольжения. [c.123]

С. Большие деформации пластинок и оболочек. Теория тонких пластинок и оболочек была развита по преимуществу для целей изучения колебаний этих тел и затем уж применялась к вопросам статическим. Соответствующие смещения при колебаниях всюду крайне незначительны. Обычная приближенная теория изгиба пластинок под действием давления основывается на распространении на более общие случаи результатов некоторых точных нли приближенных решений уравнений равновесия упругого тела ). В этих решениях предполагается, что смещение, если не считать того, которое соответствует движениям тела как абсолютно твердого, всюду весьма мало по сравнению с линейными его размерами. Таким образом теория будет применима до тех пор, пока прогиб будет составлять весьма малую долю от толщины пластинки. Теории Кирхгофа и Клебша и теория гл. XXIV имели своей целью указать пределы возможных смещений средней поверхности, при которых оболочка не будет еще перенапряжена. Условие этого заключается в том, что при больших деформациях оболочки средняя поверхность должна либо точно налагаться на недоформированную среднюю поверхность оболочки, либо должна быть близка к поверхности, налагающейся на нее. [c.580]

Для определения параметров колебаний ограниченных пьезоэлектрических пластин разработано несколько теорий, дающих, однако, точные результаты лишь для пластин довольно простого вида. В настоящее время большинство решений основано на аппроксимации двумерных уравнений, полученных путем разложения выбранных величин в ряд. В теории пьезоэлектрических резонаторов используются главным образом два типа разложения. Первый предполагает разложение величин в степенной ряд. Для чисто упругого случая этот метод применил Миндлин [32], а с учетом пьезоэлектрических свойств его дополнили Тирстен и Миндлии [33]. Второй тип разложения основан на использовании полиномов Лежандра и был применен для решения уравнений колебаний чисто упругих пластин [34] и пьезоэлектрических пластин [35]. Оба указанных способа приближенного решения будут рассмотрены в данной главе. [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...