ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Классы компактных операторов из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Мы приведем здесь необходимые для дальнейшего сведения об s-числах (сингулярных числах) компактных операторов. Последовательные изложения соответствующей теории можно найти в монографиях [7, 36] или в учебнике [4] (подробнее см. [31]). [c.51] Следующее утверждение называется неравенством Хайнца. Оно устанавливается для пары самосопряженных операторов А, В, действующих в гильбертовом пространстве Ц. [c.52] Лемма 1. Пусть А О, В О, V A) С Т В) и Вх Ах для X G Т А). Тогда при любом в (0,1) будет Т А ) С V(B ) и В х Л а для X G V(A ). [c.52] Через = Ъ Ио,И) и оо — 6оо( 0, ) обозначаются классы ограниченных и компактных операторов, действующих из Но в И. При Tio — Ti пишется лишь один аргумент , например (7i) = (7i,7i). Обозначение зависимости от пространств, как правило, х)пу кается. В этом параграфе допускается, что пространства Но и Ti разные. Это, однако, каждый раз не оговаривается. Если Л G и dimii(A) сю, то такой оператор А называется конечномерным. Класс конечномерных операторов обозначается через i. Напомним, что в гильбертовом пространстве любой компактный оператор может быть получен как предел по норме последовательности конечномерных операторов. При А G боо (Л G I) и сопряженный оператор А компактен (конечномерен). При произвольном В Ъ оба произведения АВ и В А компактны (конечномерны), если оо(Л G I). Таким образом, боо и ( —двусторонние идеалы алгебры 03. [c.52] Для произвольного компактного оператора Л числа (Л) = А ( Л ) называются его 8-числами или сингулярными числами. [c.52] Определение (4) позволяет приписать s-числа ограниченным операторам, не являющимся компактными. Отметим, что минимум в (4) достигается для произвольных Л Е 03. [c.53] Двусторонний идеал 6 называется симметрично-нормирован-ным, если он является полным (банаховым) пространством относительно симметричной нормы Ц . [c.54] Важный пример квазинормированных классов—идеалы р для р Е (0,1), когда функционал р становится квазинормой, причем С = 2 / . Отметим, что предложение 3 сохраняется для всех р 0. [c.55] Пусть теперь Но и Н реализованы, как Ь2 Мо ,(1то) и Ь2 М]с1т), где Мо,М—абстрактные пространства с мерами с/шо, (1т. Тогда любой оператор А 2 действует как интегральный, т.е. [c.56] При условии (18) ряд в правой части абсолютно сходится, так что проведенная перестановка суммирования и интегрирований по и I/ законна на основании теоремы Фубини. Правая часть (19) очевидно равна форме (А/,д) оператора (13). Тем самым функция (17) является ядрохМ оператора А в смысле определения 5.2. В частности, при п.в. ц,и) из а х а эта функция не зависит от выбора разложения (13). [c.57] В теореме 4 допускается, что одно из чисел р = оо. Более того, в этом случае включения А Е боо не требуется нужна лишь равномерная оценка обычной нормы. [c.57] Оператор Ф (Фурье) унитарно отображает 2(М ) на L2(2 ). Подробности по этому поводу см., например, в [4. [c.58] Лемма 5. Пус ль функции bj ограничены и стремятся к нулю на бесконечности. Тогда оператор (21) компактен. [c.58] Более содержательны признаки ядерности. Доказательство следующего утверждения можно найти в курсе [18, т. 3] или в обзорной статье [47. [c.58] Вернуться к основной статье