Спектр компактного оператора

Класс компактных операторов оказывается слишком узким, чтобы описать все физически интересные случаи. Он не описывает унитарные операторы (т. е. операторы, сохраняющие норму все С. з. таких операторов представляются в виде с , <р IR), а также дифференциальные операторы, к-рые, как правило, не ограничены. Обобщением понятия С. з. для таких операторов служит понятие спектра а А) оператора А. Число А. принадлежит спектру. оператора, если резольвента оператора А, Л(Я) = (Я/ — А)- , будет сингулярным оператором. Все С. з. А будут принадлежать о(А) [они будут изолированными (дискретными) точками а(.4)1. Однако помимо этих точек а А) обычно содержит непрерывную часть, состоящую из таких точек Я, для к-рых оператор Д(Я) определён, но не ограничен. В обычном смысле таким Я не соответствует никакая собств. ф-ция, тем не менее аналог разложения по базису собств. ф-ций задаётся спектральным разложением. [c.568]

Основная трудность здесь заключается в том, что оператор + /к- не самосопряженный. Это означает, что общих теорем о полноте собственных функций не существует. Кроме того, непросто провести качественный анализ спектра при помощи теоремы Вейля, когда I = К — V и К— компактный оператор. Действительно, теорема Вейля утверждает, что если оператор А замкнут и самосопряжен, а К вполне непрерывен и самосопряжен, то [c.227]

Дополнительную информацию о спектре оператора 5 можно получить для компактных операторов В. [c.313]

Таким образом, получаем задачу на собственные значения для эллиптического уравнения второго порядка, вырождающегося на границе области. Подходящим образом вводя пространства обобщенных решений для соответствующей вырожденной краевой задачи, сведем задачу (3.6) к задаче на собственные значения для положительного компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве, покажем, что задача (3.6) имеет дискретный спектр, состоящий из собственных значений [c.238]

НОСТИ (например, любая особенность резольвенты, если последняя компактна). В качестве Г возьмем достаточно малый круг с центром в 2 .Тогда проектор Р(Л, Г ), задаваемый формулой (3.2), отличен от нуля (в частности, он переводит собственный вектор, соответствующий в себя). Тогда по теореме 3.1 (для достаточно большого п) Г определяет спектр оператора и Р Л , Г ) стремится к Р(Л, Г) по норме. Поэтому подпространства Р(Л , г)В и Р(Л, Г) В изоморфны для больших п, в частности, подпространство Р(Л , Г) В не нулевое. Более того, это показывает, что Г содержит внутри себя одну (или несколько) особенностей резольвенты Л , причем их общая алгебраическая кратность равна алгебраической кратности собственного значения Если - простое собственное значение Л (т.е, алгебраическая кратность равна единице), то для достаточно большого п контур Г содержит одно и только одно собственное значение оператора Л , которое также простое. Кроме того, [c.280]

В частном случае А г) = гА, О, = С, г — О теорема 2 сводится к теореме Фредгольма о спектре оператора, некоторая степень которого компактна. [c.66]

В приложениях иногда удобно формулировать достаточные условия Я-гладкости в терминах диагонального для Я разложения 7 в прямой интеграл. В связи с этим вводится понятие усиленной Н-гладкости. Предположим, что на компактном интервале Л = [а, 6] спектр оператора Я абсолютно непрерывен и имеет постоянную (возможно, бесконечную) кратность к. Рассмотрим (см. 1.5) унитарное отображение [c.173]

В условиях теоремы б у оператора Я отсутствует и сингулярно непрерывная часть. Тем самым при возмущениях классов 6р, р > 1, может полностью исчезать непрерывная (сумма абсолютно и сингулярно непрерывных частей) компонента. Этот результат естественно сопоставить с теоремой Г.Вейля, утверждающей, что при компактной разности Н — Но существенные спектры операторов Но и Н совпадают. Кажущееся противоречие этих двух результатов снимается тем, что в предположениях теоремы 6 множество собственных значений оператора Я всюду плотно на сг( )(Яо). Мы видим, что непрерывная компонента значительно менее устойчива, чем существенный спектр. [c.242]

Ввиду теоремы 2.6 с точки зрения абстрактной теории операторов теорема 2.1 в случае одного пространства и теорема 2.3 в случае пары пространств полностью решают вопрос о существовании ВО в терминах классов р. Тем не менее для приложений этих теорем явно недостаточно. В самом деле, оператор умножения на функцию, являющийся типичным возмущением в теории дифференциальных операторов, имеет непрерывный спектр и, следовательно, не может быть даже компактным. Поэтому теоремы 2.1 и 2.3 к таким возмущениям заведомо неприменимы. Недостаток этих теорем состоит в том, что их условия формулируются лишь в терминах самого возмущения V V Е 6i) безотносительно к свойствам операторов Яо и Я. Лля приложений, однако, решающую роль играет переход к различным классам относительно ядерных возмущений. [c.253]

Спектр компактного оператора А описывается классической теоремой Фредгольма, Именно, при А Е воо множество о А) состоит из собственных чисел, накапливающихся разве лишь к точке нуль. Кроме того, ненулевые собственные числа имеют конечные алгебраические кратности.Анг логичный результат справедлив для компактных операторов, действующих в произвольном банаховом пространстве, а также для операторов, лишь некоторая степень которых компактна (подробнее см. 8). Поясним, что в банаховом пространстве оператор называется компактным, если он переводит любое ограниченное множество в компактное. Класс компактных операторов, вообше говоря, шире замыкания конечномерных операторов по норме. Будем считать, что собственные числа А = Ап( ) оператора А Е боо (или такого, что А Е оо при каком-либо натуральном /) пронумерованы с учетом алгебраических кратностей в порядке невозрастания их модулей. [c.59]

Квантовомеханическая теория начинается с детального и наиболее строгого из имеющихся в литературе изложения формальной теории двухчастичного потенциального рассеяния во временной и стационарной трактовках (гл. 6 и 7). Ньютон вводит меллеровские операторы, 8-матрицу, а также Т- и К-матри-цы. Для более отчетливой формулировки возникающих при этом математических проблем автор приводит два специальных математических раздела, посвященных вопросам функционального анализа. Подробно рассмотрены спектр оператора Гамильтона, представления о сильной и слабой сходимости, сходимости по норме, аналитичность резольвенты, определение и свойства вполне непрерывных (компактных) операторов. [c.6]

Действительно, нетрудно построить математический контрпример лемме, если отказаться от предположения, что 81 содержит единицу. Пусть 81 — С -алгебра всех компактных операторов, действующих на (сепарабельном) гильбертовом пространстве Ж. Далее, пусть Н — (ограниченный) самосопряженный оператор, действующий на Ж. Потребуем, чтобы спектр [c.225]

В общем случае спектральное семейство Е ) самосопряженного оператора А постоянно на участках вещественной оси, принадлежащих резольвентному множеству, имеет скачки в точках, являющихся собственными значениями, и непрерывно изменяется во всех остальных точках. Если (Л) постоянна на любом промежутке между двумя разрывами (как в примере с компактным оператором), то говорят, что спектр А дискретный. Если (Л) не имеет точек разрьша, то спектр называется непрерывным. В теории рассеяния мы увидим несколько примеров таких спектров. [c.31]

О Конечнократность собственных значений (в том числе лежащих на непрерывном спектре) оператора Н—прямое следствие леммы 4 и компактности оператора А г). [c.152]

Отметим, что в лемме 8 условие а > 1/2 использовалось лишь при проверке включения М С сг Н) П Л, которое и нужно для доказательства отсутствия сингулярного непрерывного спектра. Обратное включение (т Н) (Л А С N справедливо при любом а > 0. Поэтому из компактности операторов Яо(Л гО) следует, что при любом а > О собственные числа Л Е Л оператора Я конечнократны. [c.190]

Вещественный косоэрмитов оператор y = V — V имеет компактную резольвенту (y-fiJ- ) . Его спектр AdtR совпадает с множеством характеристических показателей уравнения у (<) = 0, т. е, с множеством таких vg , что det (e" —< ) = О, Если vgA, то —V и v-f o принадлежат Л, где (u=2iti/T. [c.162]

Факторизуемость выражений (4.11) и (4.12), сводящихся к произведению соответствующих операторов для групп ранга 1, является конкретной реализацией предложения Шиффмана о возможности сведения задачи рассмотрения сплетающих операторов группы произвольного ранга к группам вещественного ранга 1. Однако в отличие от абстрактной формы записи сплетающихся операторов в виде свертки (в общем случае — многократной) соответствующих операторов для простых отражений, здесь приведено явное выражение для произвольного преобразования вейлевской группы. При этом операторы (4.4) представимы в виде произведения известных функций типа (4.9) от генераторов компактных подгрупп, имеющих известный (целочисленный) спектр собственных значений. [c.101]

Тогда существует инволютивный антиунитарный оператор С, действующий на и такой, что Си ( ) С = и ) для всех причем дискретный спектр представления и (0) симметричен. Если, кроме того, операторы (С) образуют абелеву локально компактную п-параметрическую группу, то весь спектр представления и 0) симметричен. [c.269]

В конечномерном случае А есть матрица, а ст(Л) - множество таких точек, что матрица А - zl необратима эти точки суть корни полинома, и поэтому ст - конечное множество. В банаховом пространстве имеются операторы (например, операторы с компактной резольвентой), спектр которых представляет собой счетное множество точек (дискретный спектр) многие свойства таких операторов аналогичны свойствакт матриц. Эта глава главным образом имеет дело с зависимостью дискретного спектра от параметра. [c.272]

Предпожение 1.4. Мы уже говорили, что если резольвента Я г) компактна в точке то она компактна для любого гер(Л). Далее, если оператор А обладает компактной резольвентой, то по предложению 1.3 его спектр всецело состоит из собственных зна-чений (с конечными кротостями), причем точкой накопления может быть только бесконечность. В частности, для уравнения (Л - г/ )(р = из единственности следует существование альтернатива Фредгольма). [c.275]

В приложениях гладкость по отношению к невозмущенному оператору Яо обычно удается проверить прямыми выкладками. Напротив, изучение гладкости относительно полного гамиль-. тониана Я представляет собой содержательную задачу. В б излагается методика, позволяющая для относительно компактных возмущений сводить вопрос об Я-гладкости С к исследованию Яо-гладкости операторов Со и С. Правда, Яо-гладкость приходится при этом понимать в некотором усиленном смысле. В 7 методика б используется для изучения сингулярного спектра оператора Я. В значительной мере б,7 основаны на соображениях, развитых в связи с.моделью Фридрихса— Фаддеева. Однако в отличие от 1, 2 предположения делаются не о самом возмущении У, а о сомножителях Со и С из соотношения V = С "Со. Благодаря этому удается избежать введения вспомогательного банахова пространства. [c.146]

При компактности ядра v X,fi) в i) и его равномерной ограниченности по A,/i Е (т оператор V компактен в "Я. Поэтому на основании теоремы Г. Вейля существенный спектр оператора Н = Hq V совпадает со спектром собственными значениями, накапливающимися разве лишь к концам а и Ь. Теория рассеяния позволяет изучить структуру спектра оператора Н значительно детальнее. [c.147]

Теорема 4. Предположим, что оператор Но имеет на интервале Л лишь абсолютно непрерывный спектр постоянной кратности. Пусть операторы Со и С—усиленно Но гладкие (с какими-либо показателями ао > О и а > 0) на любом компактном подынтервале А, а оператор СоНо )С У компактен при 1тг ф О и каком-либо натуральном I. Тогда ВО 1У (Я, Яо Л) существуют и полны. [c.185]

Операторы (2) ограничены, но не компактны. Более того, эти операторы не являются компактными даже относительно Яо, т.е. V Ro z) боо Действительно, в силу (1) и (6) из компактности V Rq следовало бы, что RoqP G 6оо>. Последнее включение противоречит тому, что оператор Яоо имеет непрерывный спектр на каждом из подпространств Н , [c.268]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...