Схемы четвертого порядка

Схемы Рунге—Кутта (1.47) и (1.48) явные и обладают условной устойчивостью. Например, у схемы четвертого порядка условие устойчивости, проверяемое на модельной задаче (1.38), выполняется только при Ат < 2,8/то. [c.33]

Схемы четвертого порядка точности Робертса — Вейса и Кроули [c.154]

Другая схема четвертого порядка точности с меньшей фазовой ошибкой предложена У. Кроули [1967]. Здесь на первом шаге по схеме Лейта (3.224) с А//2 вычисляются предварительные значения + /2 в точках г, г 1. На втором шаге используется схема чехарда [c.157]

Многие исследователи используют вблизи границ схемы четвертого порядка точности, вводя вне рассчитываемой области фиктивные точки сетки, значения в которых ставятся в соответствие граничным условиям. Даже в этом случае происходит потеря четвертого порядка точности, за исключением случаев, когда граница представляет собой ось (плоскость) симметрии. Известны и нецентральные формулы высокого порядка точности (например, Саусвелл [1946]), но они менее устойчивы и редко используются. [c.209]

Кроули схема четвертого порядка точности 154, 157, 159, 526 Кубатура 276 [c.604]

Другой подход к построению центрированных компактных схем четвертого порядка связан с определением коэффициентов в равенстве (0.20), понимаемом как связь между искомой сеточной функцией Му и аппроксимацией в узлах дифференциального оператора / = Lu)p входящего в формулировку исходной задачи [30, 35, 36]. Достоинство такого метода состоит в том, что для оператора Lu, содержащего первые и вторые производные, решение разностных уравнений осуществляется трехточечной скалярной прогонкой (в других компактных методах четвертого порядка в таких случаях требуется векторная трехточечная прогонка с матрицами размерности 2X2). Вместе с тем он является в значительной мере ориентированным на решение скалярных конвективно-диффузионных уравнений. Обобщение его для систем уравнений оказьшается весьма громоздким, в то время как для компактных методов, использующих раздельную аппроксимацию первых и вторых производных, оно является элементарным. [c.13]

Центрированные компактные схемы четвертого порядка [c.117]

Несмотря на указанные недостатки, компактные схемы четвертого порядка могут оказаться весьма эффективными для определенного класса задач. [c.125]

В данной главе рассматриваются два алгоритма расчета пространственного пограничного слоя схема второго порядка точности с переменным шагом в направлении, перпендикулярном к стенке, и схема четвертого порядка точности. В качестве замыкающих условий используются наиболее простые физические предположения об эффективной вязкости и длине пути перемешивания , проводится сравнение результатов расчета на основе различных моделей эффективной вязкости. [c.314]

Вторая схема четвертого порядка точности Робертса — Вейса строится как комбинация предложенных ими двух схем второго порядка точности явной схемы метода чередующихся направлений с разностями по диагонали (уравнения (3.332) и (3.333) из разд. 3.1.17) и схемы чехарда , записанной на сетке с расположением узлов в шахматном порядке, и имеет следующий вид [c.156]

Вывод дифференциального уравнения для прогибов, обусловленных изгибающими моментами, приведен на схеме 25. В данном случае получается дифференциальное уравнение четвертого порядка, которое можно рассматривать как систему двух дифференциальных уравнений [c.15]

Наиболее часто из линейных /г-шаговых схем используют схемы (1.49), (1.51), называемые схемами Адамса. Можно доказать, что явная схема Адамса имеет порядок аппроксимации равный k, а неявная — k + 1). При использовании метода предиктор—корректор обычно применяют предсказывающую и исправляющую схемы одного порядка точности. В частности, широко применяется метод предиктор—корректор со схемами Адамса четвертого порядка, в котором предсказание делается по формуле (1.52), а уточнение — по (1.53). [c.36]

Вычисление на ЭВМ кривых четвертого порядка можно выполнить приближенно числовым методом [71] или более точно параметрическим методом [53]. С помощью первого метода определяется дискретный ряд точек ломаной, аппроксимирующей линию пересечения. При этом используются схемы приближенных решений систем уравнений или моделируются графические приемы начертательной геометрии. Точность числового метода регламентируется величиной шага изменения переменной л или у. Повышение точности влечет за собой существенное увеличение объема вычислений. [c.95]

Эта схема устойчива при Сл + Су 1. Фромм [1968] построил изолинии модуля 0 и фазовой ошибки в зависимости от параметров Сх, Су и 0. Несмотря на то что схема формально имеет второй порядок точности, ее фазовые свойства существенно лучше соответствующих свойств схем четвертого порядка точности Робертса — Вейса [1966] и Кроули [1967], рассмотренных в предыдущем разделе. Как и для этих схем, затраты машинного времени для схемы Фромма значительно больше затрат для более простых схем. Как и в схеме Лейта и во всех схемах дробных шагов здесь имеется трудность, связанная с постановкой граничных условий на первом полушаге (3.352а). Эти трудности можно преодолеть, выбирая в качестве значений на стенке значения I с первого полушага или получая их итерационным путем (см. разд. 3.1.16). Фромм ) рекомендует вблизи границы переходить к более простым разностным схемам с центральными разностями или с разностями против потока. Разностные схемы типа (3.352) с учетом диффузионных членов пока еще не появлялись в открытой литературе. [c.159]

Обычные схемы четвертого порядка точности имеют вид явных разностных формул, построенных на пятиточечном шаблоне (точка i и соседние точки г 1, г 2). В компактной схеме берутся только три точки (i и i 1), но разностная формула получается неявной, т. е. пе локальной. Значения находятся из уравнения (3.3616) при помощи метода прогонки (см. приложение А), так что эти значения во всех точках i зависят от значений в других точках и, следовательно, зависят от fi и глобально, а не локально. (Из-за такой глобальной зависимости компактная схема подобна спектральным и исевдосиектраль-ным схемам см. Орсаг и Израэли [1974].) Компактная схема обладает также меньшим коэффициентом при ошибке аппроксимации порядка 0(А ), чем обычная схема четвертого порядка точности. Аналогично, сначала по явной схеме второго порядка точности вычисляется вторая производная, которая обозначается через Si и хранится в соответствующем массиве. Таким образом, [c.173]

Используя компактную схему в неявном методе чередующихся направлений (см. разд. 3.1.16), Хёрщ [1975] рассчитал двумерные стационарные течения вязкой жидкости при малом числе Рейнольдса. При помощи компактной схемы четвертого порядка удалось достигнуть экономии мащинпого времени в 20 раз и объема машинной памяти в 3 раза по сравнению со схемой второго порядка (примерно прп той же точности). Граничные условия для вихря брались с предыдущего слоя по времени (как это обычно делается в том случае, когда интерес представляет только стационарное решение), что приводило к потере точности по времени. Трехточечные компактные разности можно также применять для построения схем шестого и более высокого порядка точности (Хёрш, личное сообщение). В схеме Рубина —Хосла [1975], основанной на аппроксимации сплайнами, вводится переменный шаг по пространственной сетке, и в этом случае порядок ошибки для F остается О (А ), но порядок ошибки для S уменьшается до О (А ). [c.174]

Развитие методов, основанных на компактных аппроксимациях, фактически происходило в двух направле1шях — конструирование нецентрированных схем третьего порядка и центрированных схем четвертого порядка. Под нецентрированными (или несимметричными) схемами здесь условно понимаются схемы, содержащие операторы, меняющие свою самосопряженную или кососимметричную часть в зависимости от знаков коэффициентов уравнений или от знаков собственных значений матриц в случае систем уравнений. Наоборот, компактные схемы, разностные операторы в которых не переключаются при изменении этих знаков, в дальнейшем будем называть центрированными (или симметричными), имея в виду, что соотношения типа (0.17) для первых и вторых производных в этом случае будут иметь равные по модулю коэффициенты a j и a ,a также j3 , и jSi. Не-центрированные схемы треть. го порядка были впервые предложены, исследованы и применены автором этой книги [4, 5, 27 -29]. Первая из этих публикаций относится к 1972 г. Позднее появились центрированные схемы четвертого порядка [30-36], предложенные почти одновременно несколькими авторами (первое упоминание о таких аппроксимациях в [37], см. также [1]). Если последние применялись главным образом при аппроксимации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости, то схемы третьего порядка прошли всестороннюю апробацию для различного класса задач - в случае уравнений Эйлера и Навье-Стокса сжимаемого газа (задачи о внутренних и внешних течениях в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса), в случае уравнений гидродинамики, записанных в различных формах, в случае уравнений Рейнольдса осредненных турбулентных течений и т.д. Данная книга посвящена именно этому классу компактных схем. Компактные аппроксимации рассматриваются в ней прежде всего как эффективный способ дискретизации конвективных членов, содержащих несамосопряженные операторы наоборот, дискретизация членов с вязкостью вследствие самосопряжениости соответствующих операторов интерпретируется как второстепенная часть алгоритма, реализуемая различными способами. Таким образом, область целесообразного применения описываемых здесь методов — задачи с преобладающей ролью конвекции или чисто конвективные задачи. Именно таковыми в большинстве практически важных случаев являются задаад аэрогидродинамики. Благоприятные качества схем третьего порядка обусловлены в случае уравнений гидро-12 [c.12]

Интересно сравнить кривые с (а) для схем третьего порядка и их симметричного аналога при s=0 А о До (кривая 2), имеющего четвертый порядок аппроксимации (рис. 1.1). Согласно рис. 1.1, фазовые ошибки в случае схем четвертого порядка также малы в широком диапазоне kh, однако такие схемы не содержат диссипативного мехашзма, который смог бы подавить ошибочные коротковолновые компоненты, разрешаемые сеткой. В этом состоит главный недостаток аппроксимаций вида А о Aq (как и всех бездиссипативных аппроксимаций), часто приводящий к невозможности их применения без искусственного введения специального диссипативного механизма. Вид и параметры этого механизма не всегда бывают, очевидны и универсальны и иногда могут составить предмет отдельного исследования. [c.23]

Кроме схем третьего порядка, при проведении методических расчетов применялись также схемы четвертого порядка с оператором Л о = 0,5 (Л + + А + ), а также обычные центрально-разностные схемы. В окрестности поверхности сеточные функции, полученные при помощи симметричных схем, даже при малых к обнаружили тенденцию к 0сщ1лляциям. На рис. 1.5 [c.67]

Примером схемы для системы уравнений (4.8), записанной в недивергентном виде, является схема четвертого порядка [c.118]

Применение центрированных компактных схем. Основной областью применения компактных схем четвертого порядка, не учитывающих направления распространения возмущений, оказались задачи о течении несжимаемой жидкости. При этом в большинстве случаев использовались уравнения Навье—Стокса в переменных вихрь -функция тока (31, 34] (см. также [1]). Основным лимитирующим фактором для этих схем являются малость сеточзюго числа Рейнольдса Яе = где и, и А — локальные значения скорости и шага сетки. Если это число не превосходит нескольких еди1шц, то самосопряженная часть разностного оператора компенсирует отрицательное воздействие его кососимметричиой части и сеточные решения не искажаются (или не сильно искажаются) схемной немонотонностью. Если оно мало или равно бесконечности (г =0),то применение центрированных алгоритмов, как будет показано ниже, может привести к неудаче. [c.192]

При выполнении ограничения на Яе , алгоритмы четвертого порядка являются высокоточными и эффективными. В качестве иллюстрации можно привести результаты, заимствованные из [34] и относящиеся к течению вязкой жидкости в прямоугольной каверне с движущейся верхней крышкой. В табл. 7 представлены значения вихря в середине этой крышки, полученные в результате установления при помощи обычных схем второго порядка и компактных схем четвертого порядка, построенных на основе кубических сплайнов (все схемы являются дивергентными) [34]. Из таблицы следует, что компактные схемы немного превосходят по точности схемы второго порядка и могут обеспечить значительную экономию уз.юв сетки, полностью оправдьшающую их применение. [c.192]

Для сопоставления на рис. 3.2 представлены эти же изолинии, полученные при помощи центрированной схемы четвертого порядка (5х = = 0). Хотя эта схема является, как и (1.5), абсолютно устойчивой, тем не менее она оказалась неспособной огшсать решения с большими градиентами на рис. 3.2 видно, что вихри с течением времени оказались окруженными нереалистическими мелкомасштабными вихревыми структурами, полностью исказившими картину течения. При больших временах наступил полный развал решения. [c.195]

Методика расчетов. Решение задачи осуществляется с помощью неявного нефакторизованного метода [8], использующего для аппроксимации пространственных производных разностные схемы четвертого порядка [9]. При этом производится переход к обобщенной криволинейной системе координат с сохранением дивергентной формы исходных уравнений. Это позволяет описывать течение минимально необходимым количеством узлов сетки за счет их сгущения в направлении твердой поверхности, а сами границы обтекаемого тела задавать с помощью координатных линий. [c.82]

В настояш ее время широкое распространение получили четырехэтапные схемы Рунге—Кутта, имеющие четвертый порядок аппроксимации и называемые в связи с этим схемами Рунге—Кутта четвертого порядка. Наиболее употребительная из них имеет вид [c.33]

Программное обеспечение решения систем уравнений. Для численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений имеется достаточно большое число стандартных подпрограмм, реализующих различные одношаговые и многошаговые методы [15]. При применении этих подпрограмм гюльзователь должен составить подпрограмму, в которой производится вычисление правых частей конкретной системы уравнений, а также организовать вывод результатов — значений искомых функций u i при интересующих значениях аргумента Xj. Особенности использования стандартных подпрограмм разберем на примере подпрограммы R KGS из математического обеспечения ЕС ЭВМ, которая реализует схему Рунге—Кутта четвертого порядка для системы N обыкновенных дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования. Пример применения этой подпрограммы приведен в следующем параграфе для решения задачи расчета нестационарного теплового режима системы тел. [c.41]

Решение по схеме Рунге—Кутта. Перейдем к программе решения задачи (1.63), (1.64) по схеме Рунге—Кутта четвертого порядка. Она строится на основе описанной в 1.5 стандартной подпрограммы R KGS, в которую уже заложен цикл по времени. Поэтому в головной программе (рис. 1.9) реализуется лишь задание размерности массивов, ввод исходных данных и обращение к R KGS. Форма представления исходных данных совпадает с использованной в предыдущей программе для схемы Эйлера, а для ввода применяется та же подпрограмма VVOD. Входными данными для подпрограммы RKGS являются начальные значения температур (массив Т), весовые коэффициенты фг, полагаемые равными для всех неизвестных (массив DER Y), число неизвестных (N1), а также массив PRMT, содержащий четыре значения начальное и конечное значения времени (О и ТМАХ), начальный шаг (TAU), допустимую локальную погрешность (0,01). [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...