Каноническая и большая каноническая суммы

Целесообразно поэтому рассмотреть некоторые модели, которые допускают точные решения, т. е. такие, для которых статистические суммы канонического или большого канонического распределения Гиббса могут быть найдены без всяких приближений. Первой мы рассмотрим одномерную магнитную модель Изинга, т. е. одномерный кристалл , на котором расположены на равных расстояниях узлы (общее число узлов /V 1). В узлах решетки находятся магнитные диполи с магнитным моментом рв- Проекция магнитного момента на направление внешнего магнитного поля Н, которое мы будем считать постоянным и однородным, может принимать два значения рв Мы будем считать, что взаимодействуют друг с другом только соседние диполи, и обозначим через е и е энергии взаимодействия двух диполей с параллельными и антипараллельными магнитными моментами соответственно. При // = 0, в случае, когда е < е, параллельная ориен- [c.434]

Чтобы избежать обременительного граничного условия (90), которому должна подчиняться процедура суммирования в (115), Курт [196] предположил, что реальный газ, занимающий объем V, находится в тепловом и материальном контакте с очень большой системой, действующей не только как термостат, но и как резервуар молекул и кластеров разного размера. Между большой и малой системами происходит обоюдный обмен анергией и частицами. Однако благодаря своим огромным размерам большая система навязывает малой свои значения температуры и химических потенциалов, которые следует считать заданными. В этом случае действует статистическая сумма для большого канонического ансамбля [c.57]

Здесь 3 называется большой канонической статистической суммой (ее можно назвать также статистической суммой Т — х-рас-пределения) и определяется в классическом случае формулой [c.37]

Рассмотрим большой канонический ансамбль с известным химическим потенциалом л [абсолютная активность Л = ехр(ц/ Г)] и вычислим статистическую сумму [c.213]

Эллипс —. множество точек плоскости, сумма расстояний (радиусов-векторов) каждой из которых до двух данных точек той же плоскости (фокусов) есть величина постоянная (равная 2а — большой оси эллипса). На это.м свойстве, называемом фокальным, основано построение эллипса, когда заданы большая ось и фокусы (рис. 3.34). Намечают несколько точек /, 2. 3,... между центром О эллипса и одним из фокусов, из Р проводят дугу радиуса А1, а из — дугу радиуса 1В. В пересечении получают две точки эллипса М и М . Затем проводят из Р дугу радиуса А2 и засекают ее из Р-2 дугой радиуса 25, получают точки и и т. д. Точки N к N строят как точки, симметричные и Мг относительно осей эллипса. Проводя из фокусов дуги радиуса а, получают в их пересечении вершины С и О малой оси эллипса. Если даны оси эллипса, то фокусы находят как точки пересечения с большой осью дуги R = a, проведенной из С или О. Каноническое уравнение эллипса, отнесенное к его осям, имеет вид [c.64]

Такой ансамбль представляет собой совокупность бесконечно большого количества систем, имеющих последовательно возрастающее до бесконечности число молекул N, причем каждая система описывается канонической статистической суммой (110). Подставляя (115) в (116), делая перестановку операций суммирования и умножения и учитывая формулу разложения в ряд экспоненты, Курт получил [c.57]

Термодинамические соотношения для большого квантового канонического ансамбля можно вывести из равенства (1.3.68). Дифференцируя его по Т, /х и используя явное выражение (1.3.71) для квантовой статистической суммы, получим [c.63]

Большое значение в понимании рассмотренных выше, а также описываемых в дальнейшем преобразований пучка имеет теорема Лиувилля. Эта теорема утверждает, что при движении системы, характеризуемой канонически сопряженными величинами (обобщенными координатами и импульсами), объем данного участка фазового пространства, а также сумма частных фазовых объемов остаются неизменными. Применительно к ускорителю, в котором р, получаем [c.177]

Рассмотрим газ, состоящий из N небольших твердых сфер, взаимодействующих посредством парных сил, имеющих большой радиус действия и плавно меняющихся. Кроме того, будем считать потенциал взаимодействия ф везде отрицательным или равным нулю. Рассмотрим каноническую статистическую сумму для такого газа. Если мы хотим вывести из нее уравнение состояния, нам следует найти ее зависимость от объема. На многих примерах мы видели, что интегрирование по импульсам приводит только к умножению на (ср. задачи 3.5 и 11.9) этот множитель может быть опущен, так как он не играет роли в рассматриваемом случае. Для оценки конфигурационной статистической суммы разделим объем V на ячейки объемом Д, достаточно малые для того, чтобы можно было считать потенциал ф внутри А практически постоянным, но вместе с тем достаточно большие, чтобы каждая ячейка содержала большое число частиц. Пусть Г — радиус-вектор г-й ячейки и — число частиц в этой ячейке. Если величина б представляет собой объем твердой сферы и если со (N1) — объем фазового пространства для N1 таких сфер в объеме А, то в одномерном случае имеем для со (N1) (см. задачу 9.3) [c.335]

Конкретизируя понятие о статистических ансамблях, В. Гиббс ввел понятие о микроскопическом, каноническом и большом каноническом ансамблях для равновесных систем [5]. Впервые ква-зиклассический предел для статистической суммы получен Кирквудом [18]. [c.212]

В гл. 4—6 мы изложили основной метод равновесноЁ статистической механики. Коротко идею этого метода можно сформулировать следующим образом. Исходя из принципа равных априорных вероятностей, можно сконструировать определенное число равновесных ансамблей. Из них наиболее важны канонический и большой канонический ансамбли в термодинамическом пределе они становятся эквивалентными. Затем демонстрируется, что нормировочные множители — статисттеские суммы, соответствующие этим ансамблям,— содержат всю информацию, необходимую для вычисления термодинамических величин. Следовательно, проблема равновесной термодинамики сводится к вычислению статистической суммы. [c.254]

Автор называет функциями состояний (partition fun tion) величины Q, Q, 3, т. е. статистический вес для микроканонического ансамбля и статистические суммы для канонического и большого канонического ансамблей Гнббса. В русской литературе обычно избегают употребления термина функции состояний в этом смысле, но мы оставили его в переводе, так как не существует эквивалентного русского термина, объедн-няющего величины 2, Q н S. — Прим. ред. [c.37]

Ур-ние (9) составляет термодинамич. основу для вычисления натяжения мембраны у, а также др. поверхностных избытков путём дифференцирования статистических сумм малого канонического (при постоянных Т и iV,) и большого канонического (при постоянных Г и цО ансамблей (см. Гиббса распределения), выражаемых через потенциалы межмолекулярного взаимодействия и молекулярные ф-ции распределения. При этом учитываются энергия теплового движения атомов, молекул и ионов, энергия ван-дер-ваальсовых сил и сил эл.-статич. взаимодействия ионов и ионогенных групп в молекулах, а также сил бор-новского отталкивания и водородных связей. [c.129]

Ф.— Д. с. для системы взаимодействующих частиц основана на методе Гиббса для квантовых систем. Она может быть реализована, если известны квантовые уровни S, системы и удаётся вычислить статистическую сумму Z, напр, для большого канонического распределения [йббса [c.284]

После Курта большой канонический ансамбль использовал Стил-линджер [197], который вывел без приближений формальные соотношения для давления и среднего числа частиц в открытой системе-неидеального газа в рамках равновесной теории физических кластеров Френкеля—Банда. Хилл [198] предложил рецепт вычисления большой статистической суммы для неидеального газа, разбивая ее на частные кластерные статистические суммы совместшше [c.58]

Ввести функцию распределения флуктуаций энергии и числа частиц w E N) в большом каноническом ансамбле. Найти эту функцию в гауссовом приближении и с ее помощью вычислить средние значения ((А ) ), ((АД/ ) ), AEAN). Сравнить результаты вычисления с теми, которые получаются дифференцированием логарифма статистической суммы для большого канонического распределения по Т и /х. [c.78]

Такое отличие от единицы фактора 2з является несуш,ественным. Райс и Катц считают, что ноступатель-но-враш ательный парадокс 22 10 связан с ошибочным предположением, будто свободная энергия капли в классической теории зародышеобразования соответствует покоящемуся центру масс капли. Они сначала находят частичную функцию для такой застывшей капли, затем учитывают внутреннее движение центра масс. Доступный этому движению объем полагается равным объему самой капли. В выводе используется выражение для свободной энергии капли через химический потенциал и поверхностное натяжение, а также связь свободной энергии с интегралом состояний. Дискуссия не закончена. Абрахам и Паунд [60] не согласны с анализом [58]. Они тоже применили метод большого канонического ансамбля Гиббса и нашли, что вклад вращательной статистической суммы существенно зависит от модели, которой описывается капля. Соответствующий множитель в нормировке может меняться от [c.61]

СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА — нормирующий множитель, входящий и выражение для статистич. м ,т-рицы каноиич. распределения в квантовом случге. Выражения для С. с. различны для системы с заданным числом частиц (см. Гиббса распределение каноническое) и для системы с иеремеииым числом частиц (см, Гиббса >асп >еделение большое каноническое). В 1-м случае С. с. [c.72]

На этом основании можно дать следующие определения. Мы скажем, что алгебра фон Неймана относится к runt/ II, если она полуконечна и непрерывна, и к типу III, если она чисто бесконечна (и, следовательно, непрерывна). Из приведенной выше структуры видно, что алгебра фон Неймана может принадлежать самое большее одному из трех типов (I, II и III) и что произвольную алгебру фон Неймана можно каноническим образом разложить в сумму трех алгебр фон Неймана [c.170]

Тогда суммирование по наборам чисел заполнения будет производиться без всяких офаничений, но зато выражение под знаком суммы уже само не распадается на произведение сомножителей, зависящих только от одного из iVp. Можно, конечно, использовать какое-либо представление для функции Д и рассчитать 2 с помрщью, например, метода перевала в пределе больших ЛГ, как это сделано в задаче 1. Однако эта процедура все же слишком громоздка. Основной момент в возникновении этой трудности — точная фиксация числа частиц N, от которой можно отказаться. Для этого надо лишь воспользоваться большим каноническим формализмом Гиббса. [c.141]

Тогда среднее по большому каноническому распределению для соответствующего идеального газа от произведения, содержащего к операторов рождения и столько же операторов уничтожения (в иных случаях это среднее обрашается в нуль), равно сумме всех возможных полных систем спариваний (каждая полная система спариваний состоит из произведения к [c.54]

Э., как и термодинамическая, обладает св-вом аддитивности (Э. неск. сообщений равна сумме Э. отд. сообщений). Из вероятностной трактовки информац. Э. могут быть выведены осн. распределения статистич. физики каноническое Гиббса распределение, к-рое соответствует макс. значению информац. Э. при заданной ср. энергии, и большое канонич. распределение Гиббса — при заданных ср. энергии и числе ч-ц в системе. [c.905]

Близкий к методу Четаева возможный способ построения функций Ляпунова для линейных уравнений с переменными коэффициентами предложил Я. Н. Ройтенберг (1958). Этот способ состоит в выделении из коэффициентов уравнений части, не зависящей от времени. Система преобразуется так, чтобы выделенная постоянная часть имела канонический вид, корни характеристического уравнения которой были бы простыми. Функция Ляпунова V строится далее в виде суммы квадратов новых переменных со знаком минус. Условия устойчивости доставляются условиями определенной положительности У, накладывающими на переменные части коэффициентов некоторые ограничения. Успешность решения задачи зависит от удачного разделения уравнений на постоянную и переменную части. Для большей гибкости процедуры предлагается варьировать функцию Ляпунова введением коэффициентов перед квадратами переменных. Этот способ Я. Н. Ройтенберг (1965) распространил в дальнейшем на линейные уравнения в конечных разностях. Роль производной функции Ляпунова здесь уже играет в силу системы первая разность функции Ляпунова (см. Ю. И. Неймарк, 1958). [c.43]

Итак, вычисление методом Монте-Карло радиальной функции распределения системы, подчиняющейся каноническому распределению Гиббса (iVFr-ансамбль), производится путем расчета функции G (R) по выражению (39) для различных значений R, после чего G (R) численно дифференцируется, что, согласно определению (40), дает функцию g, которая совпадает с усредненной по направлениям парной корреляционной функцией g (г). У макроскопических жидких (газообразных) систем парная корреляционная функция не зависит от направления. Естественно предположить, что анизотропия, обусловленная несферической симметрией нашей конечной периодической системы, будет исчезать, если при любом фиксированном значении R увеличивать размер системы (Л -> оо, F оо при N/V = onst), при этом усредненная по направлениям функция g (R) будет стремиться к искомой изотропной функции g (/ ) макроскопического объема жидкости или к усредненной по направле-ниям радиальной функции распределения g (г) кристаллической фазы. Обычно расчеты функции G (R) методом Монте-Карло ограничиваются расстояниями В < L/2, поэтому в определении (39) самое большее один член суммы по v отличен от нуля для любой пары (г, /) [см. (22) и (23)]. [c.291]

Желание многих астрономов построить теории движения небесных тел в тригонометрической форме , подразумевая под этим представление позиционных переменных (большие полуоси, эксцентриситеты, наклоны и их аналоги) в виде сумм периодических функций времени, а угловых переменных (долготы, аномалии и их аналоги) —в виде сумм линейных функций времени и сумм периодических функций, привело к разработке общего метода построения решений канонических систем с периодическим по угловым переменным и аналитическим по ц гамильтонианом, названного Пуанкаре методом Линдщтедта [2]. Начало этого направления было положено Лапласом, а завер-щенное развитие его мы получили благодаря Пуанкаре. [c.824]

Соотношения, полученные для функций Z и О, а также Н и 2, можно обобш ить на статистические суммы других более обш их канонических распределений. Каноническому распределению с заданным параметром х соответствует каноническое распределение, которое определяется сопряженной силой X вместо х. Статистическая сумма является образом Лапласа (или производя-ш ей функцией) для статистической суммы 2 . Функции и Хх могут быть связаны друг с другом с помощью математических преобразований. Если эти преобразования провести асимптотически для больших (макроскопических) систем, то они совпадут с термодинамическими преобразованиями (преобразованиями Лежандра) для термодинамических функций. [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...