Уравнения канонические эллипса

Укажем способ построения эллипса по точкам, исходя из его определения и канонического уравнения. [c.146]

Эллипс —. множество точек плоскости, сумма расстояний (радиусов-векторов) каждой из которых до двух данных точек той же плоскости (фокусов) есть величина постоянная (равная 2а — большой оси эллипса). На это.м свойстве, называемом фокальным, основано построение эллипса, когда заданы большая ось и фокусы (рис. 3.34). Намечают несколько точек /, 2. 3,... между центром О эллипса и одним из фокусов, из Р проводят дугу радиуса А1, а из — дугу радиуса 1В. В пересечении получают две точки эллипса М и М . Затем проводят из Р дугу радиуса А2 и засекают ее из Р-2 дугой радиуса 25, получают точки и и т. д. Точки N к N строят как точки, симметричные и Мг относительно осей эллипса. Проводя из фокусов дуги радиуса а, получают в их пересечении вершины С и О малой оси эллипса. Если даны оси эллипса, то фокусы находят как точки пересечения с большой осью дуги R = a, проведенной из С или О. Каноническое уравнение эллипса, отнесенное к его осям, имеет вид [c.64]

Решение. Уравнение эллипса задано в каноническом виде. Следовательно, оси координат служат осями симметрии эллипса. Центр масс С совпадает с началом координат. Поэтому оси координат будут главными центральными осями инерции. Третья главная центральная ось перпендикулярна плоскости эллипса. Сделаем замену переменных [c.69]

Это каноническое уравнение эллипса, полуоси которого равны амплитудам слагаемых колебаний (рис. 144). При ссг— 1= +п/2 результирующее движение точки происходит по этому эллипсу в направлении движения часовой стрелки. Чтобы убедиться в этом, запишем уравнения складываемых колебаний в виде [c.180]

Уравнение (VI.31) представляет собой каноническое уравнение эллипса, вытянутого вдоль оси когда координаты а и Р1 представляют собой декартовы координаты [c.132]

Напишите канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Дайте определение этих кривых как геометрических мест точек. [c.188]

При расположении осей Ох и Оу на фиг. 14 каноническое уравнение эллипса имеет вид [c.243]

Например, если контур детали должен быть обработан по эллипсу, заданному в виде канонического уравнения [c.341]

Заменяя в каноническом уравнении эллипса +- г = 1 прямоугольные координаты X VI у полярными координатами г и ф с помощью соотношений [c.44]

Записав уравнение эллипса поляризации в системе координат х у, повернутой на 45° и совпадающей с главными направлениями образца, можно убедиться в том, что в новой системе координат уравнение эллипса приобретает каноническую форму [c.296]

Если теперь повернуть оси координат на угол фо, то после преобразований уравнение эллипса примет каноническую форму [c.209]

Очевидно, эллиптически поляризованный свет, образованный в результате сложения двух ортогонально поляризованных лучей с произвольными амплитудами и разностями фаз, всегда может быть представлен в виде канонического уравнения с соответствующими значениями полуосей эллипса. [c.210]

Выражения (27.12) позволяют написать уравнение эллипса в каноническом виде при условии, что б = я/2. В самом деле, возведем каждую формулу (27.12) в квадрат и сложим [c.210]

Для определения полуосей эллипса найдем его каноническое уравнение. С этой целью составим по уравнению (5.30) матрицу [c.176]

Тогда каноническое уравнение эллипса будет иметь вид [c.176]

Уравнение в канонической форме (оси эллипса совпадают с осями координат) [c.79]

Вершина параболы, заданной уравнением в канонической форме, совпадает с началом координат. Эксцентриситет параболы равен единице. В отличие от эллипса и гиперболы парабола не имеет центра. [c.186]

Отметим также, что эллипс, определяемый уравнением (1.2.62), можно канонически преобразовать в круг, изменяя масштаб р = = л/Яр ] д = дЧл/Н. Отсюда, ясно, что в переменных действие — угол (У, 0) движение представляет собой вращение некоторого вектора постоянной длины J. Это немедленно приводит к уравнениям преобразования (1.2.68), из которых видно также, что величина Я равна отношению полуосей исходного эллипса. [c.37]

Действительно, исключая (f, мы получим обычное каноническое уравнение эллипса [c.29]

В декартовых координатах Сх и Су, введенных так, как показано на рис. 4.3, каноническое уравнение эллипса имеет вид [c.93]

В разд. 6.9 было рассмотрено применение теории Гамильтона— Якоби к задаче многих тел. Было показано, что в первом приближении функция Гамильтона Нд берется с потенциалом ji/r, так что невозмущенное решение, получаемое из известного решения S уравнения Гамильтона—Якоби, приводит к обыкновенному кеплеровскому эллипсу. Возмущенный гамильтониан Hi дает новые канонические уравнения, определяющие изменения со временем прежних канонических постоянных, полученных в первом приближении. [c.327]

Как известно, уравнение эллипса можно записать либо в каноническом виде [c.145]

Такое простейшее уравнение эллипса называют каноническим. Оси координат являются осями симметрии эллипса. Точку пересечения осей симметрии на )ывают центром эллипса точки пересечения эллипса осями симметрии — вершинами эллипса. Отрезки, соединяющие противоположные вершины эллипса, равные 2а и 2Ь, называют соответственно большой и малой осями эллипса. [c.145]

Случай кратных корней уравнения частот при исследовании движения системы с двумя степеЕшми свободы отличается тем, что при приведении выражения кинетической энергии к каноническому виду (е) оказывается, что и выражение потенциальной энергии П приобретает каноническую форму и переход от системы координат Xi к 0,- становится лишним. При этом существует бесконечное множество систем нормальных координат. Геометрически это можно объяснить так если Jn Ф Х2, то, приравнивая П константе, мы получим в плоскости Ох[Х2 эллипс (рис. 35). Его оси симметрии будут совпадать к осями системы координат 00102- Если A,i = Х2, эллипс превращается в окружность. Тогда осями 0i и 02 могут быть два произвольных взаимно перпендикулярных диаметра этой окружности. [c.247]

Каноническое уравнение эллипса, за ось Ох прямоугольной системы координат принять (фиг. 106j прямую, содержащую за начало системы координат О — [c.199]

Канонический анализ уравнения (103) позволил установить, что поверхность отклика представляет собой эллиптический параболоид, а линий равной степени превращения кобальта - эллипсы (рис. 29). В связи с тем что эффект взаимодействия pH и Г не равен нулю (0,0052872), главные оси изолиний повернуты по отношению к осям координат на некоторый угол i . Глобальному максиму степени превращения кобальта (с учетом ограничений, приведенных выше соответствуют следующие параметры процесса pH = 3,92 и = 73,3 С. Изменение начальной концентращш кобальта в растворе несколько смещает оптимальные параметры pH и Г [c.64]

Рассмотрим, как особенности строения древесины, приводящие к выходу части волокон на пласт, сказываются на процессах ослабления проникающего гамма — изл5Л1ения. Такие особенности появляются в результате наличия в древесине пороков — сучков, наклонов волокон. Пусть некоторая группа волокон составляет угол и с положительным направлением оси х. При пересечении в таких волокнах фибрилл целлюлозы плоскостью, параллельной 2оу, в сечении получится эллипс, каноническое уравнение которого будет иметь вид [c.186]

Обратимся к ограниченной задаче трех тел, рассмотренной в 5 гл. I. Предположим сначала, что масса Юпитера л равна нулю. Тогда в неподвижном пространстве астероид вращается вокруг Солнца единичной массы по кеплеровским-орбитам пусть орбиты — эллипсы. Удобно перейти от прямоугольных координат к каноническим элементам Делоне Ь,С,1,д если а и е—большая полуось и эксцентриситет орбиты, то Ь = у/а, С = - 0(1 — е ), д — долгота перигелия, I — угол, определяющий положение астероида на орбите, — эксцентрическая аномалия [173]. Оказывается, в новых координатах уравнения движения астероида будут каноническими с гамильтонианом Го = —1/ 2Ь ). При ф О полный гамильтониан Г разлагается в ряд по возрастающим степеням /х F = Fo -Ь fJ.Fi -Ь. .. В подвижной системе координат, связанной с Солнцем и Юпитером, кеплеровские орбиты вращаются с единичной угловой скоростью, поэтому Г згшисит от Ь,С,1 и д — 1. Положим Ух = Ь, у2 = С, Хх = I, Х2 = д — I и Н = Г — С. Функция Н теперь зависит лишь от х, у, причем относительно угловых переменных, Т1, Х2 она 2тг-периодична. В итоге уравнения движения астероида представлены в виде гамильтоновой системы [c.186]

Приложения метода Пуанкаре, а) Обратимся к ограниченной задаче трех тел, рассмотренной нами в 5 гл. 2. Предположим сначала, что масса Юпитера ц равна нулю. Тогда в неподвижном пространстве астероид будет вращаться вокруг Солнца единичной массы по кеплеровским орбитам. Пусть орбиты — эллипсы. Тогда удобно перейти от прямоугольных координат к каноническим элементам Делоне 1, О, I, д (см. пример 4, п. 2.1, гл. 4). В новых координатах уравнения движения астероида будут каноническими с функцией Гамильтона Ро= = ЧгЬ . Если цфО, т6 полный гамильтониан Р можно разложить в ряд по возрастающим степеням ц = о+ц/ 1+ Поскольку в подвижной системе координат, связанной с Солнцем и Юпитером, кеплеровские орбиты вращаются с единичной угловой скоростью, то функция Гамильтона Р зависит от , О, I и —1. Положим J l = , Х2 = 0, У1 = 1, У2=е—1 и Н=Р—0, [c.232]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...