ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Фазовый портрет колебательной системы из "Колебания и волны Лекции " Фазовый портрет колебательной системы. В любой колебательной системе с одной степенью свободы смещение s(t) и скорость v(t) = di/d/ меняются со временем. Состояние системы в каждый момент времени можно характеризовать двумя значениями 5 и v, и на плоскости этих переменных это состояние однозначно определяется положением изображающей точки Р с координатами 5 и V. с течением времени изображающая точка Р будет перемещаться по кривой, которую называют фазовой траекторией движения (рис. 1.10). [c.14] Плоскость переменных s и называется фазовой плоскостью. Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет колебательной системы. Анализ фазового портрета дает хотя и не полную, но обширную информацию о колебательной системе. К построению такого портрета прибегают тогда, когда не удается решить аналитически уравнение, описывающее сложные колебания. В первую очередь это относится к нелинейным колебаниям, анализ которых затруднен из-за отсутствия точных решений нелинейных уравнений. [c.15] Фазовый портрет гармонического осциллятора представляет собой семейство эллипсов, каждому из которых соответствует энергия Е , запасенная осциллятором. Положение равновесия в точке О на фазовой плоскости является особой точкой и называется особой точкой типа центр . [c.15] С увеличением энергии и возрастают амплитуды колебаний смещения 5 и скорости Колебания, как правило, перестают быть гармоническими, а фазовые траектории — эллипсами. [c.15] Используя (1.33), построим фазовый портрет системы (рис. 1.13). [c.17] Отчетливо видны два типа фазовых траекторий, соответствующие двум типам движения. Замкнутые траектории, окружающие особые точки типа центр с координатами ОС = О, а = 2%п (п — целое число), соответствуют колебаниям маятника относительно устойчивого нижнего положения равновесия. Такие колебания имеют место, если энергия системы т (Од = 2mg (см. рис. 1.13). При этом, если Е 2mg , то колебания будут гармоническими, а фазовые траектории - эллипсами. Если Е 2mg , то колебания будут негармоническими. При увеличении энергии, а, значит, и амплитуды колебаний осциллятора, их период будет возрастать, поскольку возвращающая сила в уравнении (1.28) меньше, чем в случае гармонического осциллятора. [c.17] Верхнему положению равновесия с координатами ОС = О, а = (2п соответствуют особые точки типа седло . Фазовые кривые, проходящие через седла , соответствуют энергии Е = 2mg и называются сепаратрисами. [c.17] наконец, Е 2mg , то получаются незамкнутые (убегающие) траектории, соответствующие вращательному движению маятника. [c.17] Таким образом, сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на две области область замкнутых траекторий и область траекторий, приходящих из бесконечности и уходящих в бесконечность. [c.17] Вернуться к основной статье