Уравнение Хилла движения Луны

В своей теории движения Луны Хилл исходил из уравне ний движения плоской ограниченной круговой задачи трех тел, для которой, считая расстояние между двумя конечными массами весьма большим, знаменитый астроном вывел удобные приближенные уравнения, частное периодическое решение которых затем и разыскивал. [c.272]

Уравнения (6.22) определяют некоторое промежуточное движение точки AI2 и кладутся Хиллом в основу построенной им теории движения Луны. [c.279]

Это замечательный результат, касающийся характера движения по орбитам определенных типов в ограниченной задаче. Он впервые был получен Хиллом и применен специально к движению Луды. Если, пренебрегая эксцентриситетом орбиты Земли, считать, что движение Луны удовлетворяет уравнениям ограниченной задачи, то ему соответствует значение интеграла Якоби, принадлежащее замкнутой кривой с максимальным расстоянием от центра Земли, равным 109,695 экваториального радиуса. Хилл сделал следующий вывод Таким образом, если пренебречь эксцентриситетом земной орбиты, мы имеем строгое доказательство существования верхнего предела радиуса-вектора Луны . [c.228]

В большинстве теорий Луны, созданных со времен Ньютона, в основном использовались уравнения движения в полярных координатах — сферических или цилиндрических — или уравнения в элементах орбиты, зависящих от этих координат. Важным исключением является теория Эйлера (1772 г.). в основу которой положено использование прямоугольной системы координат, оси д и у которой вращаются в плоскости эклиптики со средней угловой скоростью Луны. Теория Эйлера не привлекала большого внимания до тех пор, пока (столетием позже) Хилл не продемонстрировал могущество своего метода, основанного на использовании прямоугольных координат, однако с тем отличием от Эйлера, что его оси вращаются со средней угловой скоростью и. Солнца, а ось х проходит через среднее положение Солнца. Хилл выполнил три классических исследования ), составивших затем основу для исчерпывающих исследований Брауна ), который закончил построение теории Луны н составил соответствующие таблицы З). используемые с 1923 г. в ежегодниках. [c.378]

Уравнение, записанное в такой форме, впервые рассматривалось Г. В. Хиллом (G. W. Hill) при исследовании движения Луны. [c.240]

Наиболее важным приложением является случай, когда в точке А находится Солнце, в точке В — Земля, а планетоидом является Луна. При этом можно считать, что орбита Земли при ее движении вокруг Солнца достаточно близка к круговой и что масса Луны пренебрежимо мала. Уравнения (28.8.8) являются уравнениями Хилла они чрезвычайно ван пы для исследования движения Луны. Ввиду недостатка места мы не можем дать здесь подробного изложения основных результатов. Отметим толь ко, что основная цель астронома заключается в отыскании периодических двин ений. Периодическое движение с периодом а можно представить в форме рядов [c.572]

Идеи Эйлера по теории движения Луны положены Хиллом [4] в основу его работ по фундаментальной теории движения Луны. Хилл, как и Эйлер, пользуется прямоугольной геоцентрической эклиптической системой координат, равномерно врагцаюгцейся с угловой скоростью, равной среднему движению Солнца п. Ось абсцисс направлена по прямой, соединяюгцей Землю и Солнце. В этих координатах дифференциальные уравнения задачи Хилла имеют вид [c.132]

Лишь через 106 лгет после йздания книги Эйлера, Хилль, выполнив свое мастерское преобразование уравнений движения Луны, составил свое знаменитое уравнение, равносильное тому уравнению, составлять которое Эйлер не отваживался. [c.194]

Уравнения Хилла служат основой для теории движения Луны [c.552]

Другими частными решениями задачи трех тел, существование которых доказано строго, являются периодические орбиты. Работа Пуанкаре ) представляет обширную теорию этого класса орбит. В гл. XII настоящей книги пример такого рода периодических орбит приводится при рассмотрении теории Хилла —Брауна движения Луны. Метод, примененный для изучения орбит в окрестности периодической орбиты, выбранной в качестве первого приближения в теории Луны, применим в большинстве случаев и к периодическим орбитам в ограниченной задаче. Однако в этом случае уравнения в вариациях больше не являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, как это было для частных решений Лагранжа. Коэффициенты этих линейных уравнений представляют собой периодические функции времени. [c.234]

Важная особенность метода Хилла состоит в том, что его применение начинается с получения тех возмущений в движении Луны, которые зависят только от отношения п /п. Чтобы получить дифференциальные уравнения, которые определяют эти возмущения, вводятся следующие упрощения первоначальных уравнений [c.291]

Уравнения, которые получаются после таких упрощений, должны дать возможность определить все члены в движении Луны, зависящие от обоих параметров т = п /п и е. Исключение членов, зависящих от е, может быть осуществлено лишь разысканием некоторого частного решения этпх дифференциальных уравнений. Это частное решение является периодическим решением оно представляет собой основу метода Хилла. [c.292]

Уравнения Хилла для движения Луны. Если введены упрощения, перечисленные в пунктах (а), (б) и (в), то из уравнений (1) и (8) в прямоугольной системе координат с началом в центре Земли и неподвижными осями вытекают следующие уравнения [c.292]

Свои уравнения Хилл получил без учета эксцентриситета и параллакса для Солнца, а также широты и эксцентриситета для Луны. Решение, использованное Хиллом в качестве промежуточной орбиты, выражается рядом Фурье по ( — t. Оно представляет собой овал, симметричный относительно осей при этом большая ось овала перпендикулярма направлению на Солнце. Эту фигуру называют вариационной кривой Хилла. Хилл и Браун аналитически исследовали отклонения истинной орбиты Луны от указанной промежуточной орбиты. Позднее Браун составил таблицы для теории движения Луны Хилла—Брауна, по которым можно вычислять эфемериду Луны. Однако в последнее время с развитием электронно-вычислительной техники для определения положений Луны стали использоваться более точные теории, в которые и сейчас продолжают вводиться дальнейшие усовершенствования. [c.298]

Такая постановка ограниченной задачи трех тел становится основной сначала в теории движения Луны, разработанной Делоне, а затем под ее очевидным влиянием в работах последней четверти 19 века. С одной стороны, Хилл развил к этому времени свою теорию движения Луны, опирающуюся на уравнения (З4). Разработанная детально Брауном, эта теория является в настоящее время наиболее точной, рассматривавшейся когда-либо в небесной механике (как в теоретическом смысле, так и с точки зрения численных расчетов). С другой стороны, оказалось, что схема ограниченной задачи трех тел также дает приемлемое приближение во многих случаях движения малых планет. [c.427]

Это уравнение изучалось довольно интенсивно. Оно является частным случаем уравнения Хилла, которое в свою очередь является линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Аналогичные уравнения появляются во многих задачах прикладной математики, в частности в задачах об устойчивости поперечной колонны, подверженной периодической продольной нагрузке об устойчивости периодических решений нелинейных консервативных систем о распространении электромагнитных волн в среде с периодической структурой о движении Луны, а также в задачах о возбуждении некоторых электрических систем. [c.71]

Известно, что Фобос (как и второй спутник Марса — Деймос) постоянно ориентирован на Марс, подобно тому, как Луна постоянно ориентирована на Землю. Иначе говоря, поверхность Фобоса неподвижна в орбитальной системе координат О 77, где О — центр масс Фобоса, движущийся по круговой орбите радиуса г вокруг Марса. Ситуацию на рис. 13 можно привести к рассматриваемой, если считать, что связывающая нить отсутствует, масса т пренебрежимо мала по сравнению с массой шо Фобоса (ш << шо) и потому точка шо и совпадает с началом О системы координат О г]. Поверхность Фобоса упрощенно примем сферической (в рассматриваемой здесь плоской задаче эта поверхность — окружность). Рассматривая движение точки вблизи этой поверхности, естественно предположить, что ее расстояние р от центра масс Фобоса существенно меньше радиуса г орбиты Фобоса (р << г) и тогда уравнения движения точки т описываются классическими уравнениями задачи Хилла, которые приведем здесь в безразмерной форме [c.227]

Линейное уравнение вида (1.8) с периодическим коэффициентом p(t) общего вида впервые получено американским астрономом Дж. Хиллом в связи с задачей о движении перигея Луны и теперь носит его имя [55]. Дж. Хилл предложил метод решения этого уравнения с использованием определителей бесконечного порядка. Метод Хилла обсуждается в 4. Обобщение теории Хилла на случай системы уравнений дано Д. В. Трещевым и С. В. Болотиным оно изложено в добавлении 2. [c.86]

Легко вывести уравнения движения элементарными преобразованиями, но предпочтительнее получить преобразование уравнений из результатов главы I. Для этого возьмем уравнения (11) 318 с другой стороны, чтобы прийти к обозначениям Хилла и Брауна, мы обозначим через х, у, z координаты Луны относительно вращающихся осей, так что будем иметь [c.470]

Подставляя эти ряды в уравнения движения (20), мы получим бесконечную нелинейную систему алгебраических уравнений относительно бесконечного числа неизвестных коэффициентов. Хилл (1878 г.) показал, что эта система имеет единственное решение по крайней мере при малых значениях т (см. [37], [42]). Значение то = 0,08084... для реальной Луны попадает в этот допустимый интервал. Сходимость рядов Хилла доказана А. М. Ляпуновым в 1895 году. [c.88]

Лунная теория Брауна. Важная характерная особенность метода Хилла, предопределяющая возможность дальнейшего совершенствования и уточнения решеппя основной задачи, заключается в том, что, как только получены главные части движения перигея и узла, можно определить из системы линейных уравнений коэффициенты членов любого порядка относительно е, е, у и а/а в любой комбинации, если найдены члены более низкого порядка. На каждом этапе все степени параметра m включаются в численные значения этих коэффициентов, тогда как е, е, y /et остаются в алгебраическом виде. Для этой цели можно использовать уравненпя (49) или эквивалентные им уравнения (48). Для получения членов более нпзких порядков выгодны уравнения (50). Это требует разложения хм/г и xs/r по степеням Su и fis, если и = Uq + ou, s = So + fis- [c.322]

В теории движения планет в качестве первого приближения, когда отбрасываются возмущающие силы, принимается эллиптическая орбита. В теории Луны Понтекулана первым приближением является модифицированная эллиптическая орбита , посредством которой учитывается равномерное движение узла и перигея. Основным приближением в теории Хилла является частное решение уравнений движения, получаемое в предположении, что эксцентриситетом Солнца, его параллаксом и координатой г можно пренебречь, т. е. что 2 = = г = 0. Кривая линия, соответствующая этому частному решению, называется промежуточной орбитой. Как мы увидим дальше, это частное решение содержит только две произвольные постоянные. Промежуточная орбита является, конечно, только приближением к орбите Луны. Важное преимущество этой орбиты вытекает из следующих двух положений 1) она с самого начала учитывает основную часть солнечных возмущений и 2) координаты Луны в промежуточном движении могут быть легко выражены сходящимися периодическими рядами, коэффициенты которых связаны сравнительно простыми рекуррентными соотношениями. Эти коэффициенты являются функциями т. численное значение которого известно с очень высокой степенью точности, и поэтому их можно вычислить со всей необходимой точностью. [c.384]

Исходной точкой современной теории Луны является некоторое решение х = х 1), у = у 1) уравнений (50 493. Это решение, найденное Хиллом, представляет движение, симметричное по отношению к обеим координатным осям а = О, у = О и 1 ериодическое относительно I с периодом т, который является постоянной интегрирования уравнений (50 493. Если выбрать начало отсчета I так, что Луна расположена при 4 = О на оси х иправо от начала координат и, следовательно, а (0) > О, у(0)=0, хо требуемые условия симметрии представятся четырьмя равенствами [c.472]

Хилл определял целые числа /, I, полагая m О, что позволило свести определение главного члена [х в среднем движении перигея Луны к нахождению характеристического показателя Я. Вместе с тем сравнение 530 и 235—237а показывает, что Я можно определить с помощью уравнения для изоэнергетического нормального смещения, т. е. уравнения вида [c.493]

Вариадионная кривая. В первом приближении орбита Луны определяется обычно как эллипс — неподвижный или с вращающейся линией апсид. Вращающийся эллипс имеет то преимущество перед неподвижным, что отклонения реального движения от вращающегося эллипса носят почти периодический характер. Вместо того чтобы относить реальную орбиту к эллипсу, Хилл вводит в первом приближении промежуточную орбиту, которая носит название вариационной кривой . Посмотрим, как эта орбита получается из дифференциальных уравнений движения. [c.219]

Через Tj и мы обозначили расстояние Луны от Солнца и от Земли. Уравнения (V. 174) имеют интеграл, который был впервые получен Якоби (1804—1851) и затем применен Хиллом в первом из его знаменитых мемуаров по теории Луны (Resear hes in the Lunar Theory, 1878) для рассмотрения вопроса об устойчивости ее движения. Положим [c.260]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...