Устойчивость равновесия в потенциальном поле

Рассмотрим теперь вопрос о потенциальных ямах и потенциальных барьерах , которые могут иметь место при движении системы в потенциальном поле. Эти понятия тесно связаны с тем фактом, что положения равновесия таких систем могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Связь эту удобно продемонстрировать на простейшем примере, представленном на рис. VI. 1. [c.228]

Устойчивость равновесия точки в потенциальном силовом поле. Теорема об изменении кинетической энергии дает возможность определить достаточное условие устойчивости равновесия материальной точки в потенциальном поле сил. [c.348]

В потенциальном поле и занимает положение, при котором потенциальная энергия П минимальна (а следовательно, силовая функция IJ максимальна), то система находится в устойчивом равновесии, т. е., будучи незначительно выведена из этого положения, она стремится вернуться к нему, совершая около него малые колебания [c.243]

Начнем с рассмотрения системы, имеющей конечное число степеней свободы, могущей совершать малые колебания около положения устойчивого равновесия в поле потенциальных сил. В этом случае кинетическая и потенциальная энергии представляют квадратичные формы обобщенных скоростей и соответственно обобщенных координат с постоянными коэффициентами [c.689]

Устойчивость равновесия точки в потенциальном силовом поле 348 [c.467]

Останови.мся на вопросе об устойчивости равновесия материальной точки в потенциальном силовом поле. [c.382]

Из приведенных рассуждений вытекает, что условие минимума потенциальной энергии является достаточным условием устойчивого равновесия материальной точки в потенциальном силовом поле. Вопрос о необходимых условиях устойчивости равновесия не разъяснен еще в общем виде. Мы возвратимся к этим вопросам далее — в динамике системы. [c.383]

Следовательно, движение материальной системы в консервативном силовом поле в малой окрестности положения устойчивого равновесия определяется свойствами двух положительно определенных квадратичных форм кинетической и потенциальной энергий. [c.230]

Возвратимся к теории малых колебаний системы около положения ее устойчивого равновесия. Сначала рассмотрим свободные колебания системы в консервативном силовом поле. В этом случае движение системы полностью определяется выражениями ее кинетической и потенциальной энергий. Как было показано в 88, кинетическая и потенциальная энергии представляются в виде положительно определенных квадратичных форм [c.231]

Повторяя приведенные в 29 рассуждения о работе сил вблизи состояний устойчивого и неустойчивого равновесия, нетрудно убедиться, что для твердого тела существует такая же связь между характером состояния равновесия тела и значением его потенциальной энергии, как и для материальной точки. При этом для твердого тела величина потенциальной энергии в однородном поле тяготения определяется только положением центра тяжести тела. Потенциальная энергия твердого тела массы т в ноле тяготения, которое вблизи поверхности Земли можно считать однородным, определяется выражением [c.415]

Если т = 2, то критический случай соответствует особой точке типа центра мы видели в 19.4, что хотя линейное приближение Fq дает устойчивость, точное поле F может дать как устойчивость, так и неустойчивость. Случай >> 2 отличается от случая т = 2 тем, что при наличии кратных чисто мнимых корней неустойчивость можно получить уже в линейном приближении ( 21.11). Даже в том случае, когда линейное приблин ение дает устойчивость, точное поле мон<ет дать как устойчивость, так и неустойчивость. Мы приведем пример каждой из этой возможностей в случае = 4. В первом из этих примеров рассматриваются малые колебания около положения, где потенциальная энергия V имеет минимум. Равновесие в этом случае, как известно, устойчиво (гл. IX). [c.428]

Если известен закон, по которому изменяется потенциальная энергия тела U = U (х) в постоянном поле консервативных сил, то по виду графика этой функции можно установить те места (координаты х), в которых тело будет в устойчивом или неустойчивом равновесии. Для потенциальной кривой, изображенной на рисунке 6.21, положения с координатами Х и Хз отвечают неустойчивому равновесию, а положение Х2 — устойчивому. Это можно проверить. [c.159]

Например, при отклонении шарика А (рис. 1.4.12) из положения устойчивого равновесия возрастает его потенциальная энергия в поле тяготения Земли. Положению устойчивого равновесия бруска В (рис. 1.4.13) соответствует минимальное значение потенциальной энергии упругих взаимодействий в данной системе. При повороте шара D (рис. 1.4.14, в) возрастает его потенциальная энергия в поле тяготения Земли, а при погружении этого шара на большую глубину (рис. 1.4.14,6) несколько уменьшается его потенциальная энергия в поле тяготения Земли, но возрастает потенциальная энергия упругого взаимодействия с жидкостью. [c.79]

Покажем, что если потенциальная энергия в данной точке А поля имеет минимум, т. е. — то равновесие частицы, находящейся в этой точке, будет устойчивым. Так как силовая функция U определяется с точностью до постоянной, то мы всегда можем принять, [c.348]

Сделаем по поводу полученных результатов два замечания. Во-первых, устойчивость по первому приближению еще не означает устойчивости при рассмотрении точных уравнений (гл. XIX). Кроме того, в этом случае мы лишены возможности вывести суждение об устойчивости из интеграла энергии, как это мы делали в теории малых колебаний (гл. IX). Во-вторых, если система устойчива при рассмотрении точных уравнений, а также в первом приближении, то это связано с влиянием линейных членов Ti в выражении для L. Благодаря им в уравнениях движения появляются гироскопические члены. При отсутствии слагаемых мы имели бы задачу о движении в поле консервативных сил, а для такого поля потенциальная функция в точках Ni и имеет максимум, и эти точки являются положениями неустойчивого равновесия. [c.570]

Поскольку определение поля есть непрерывная задача, сформулированная в виде уравнения в частных производных, первое, что мы должны сделать, — это найти вариационный принцип, приводящий к построению нужного функционала. Нам уже известны некоторые вариационные принципы (принцип Гамильтона и принцип Мопертюи были введены в разд. 1.3). Мы знаем также, что в состоянии устойчивого механического равновесия должна быть минимальна потенциальная энергия, в термодинамической системе при постоянных объеме и температуре минимальна свободная энергия и т. д. Поэтому естественно выбрать в качестве функционала, используемого при расчетах полей, интеграл от величины, имеющей размерность энергии. [c.155]

Центральная задача теории малых колебаний —исследование устойчивости рассматриваемого положения равновесия или периодического движения. Теорин устойчивости посвящена большая литература (см. обзор [11] и В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, Обыкновенные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техн. ВИНИТИ, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1984, 1). Ниже кратко рассмотрены только некоторые результаты этой теории, позволяющие судить об устойчивости на основании изучения нормальных форм. Описаны также результаты, связанные с проблемой обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия в потенциальном поле. [c.267]

Ограничимся изучением устойчивости равновесия системы, подчиненной голономным, стационарным и идеальным связям. Если такая система находится в консервативном силовом поле, то устойчивость равновесия системы определяется согласно теореме Лагранжа — Дирихле или теоремам Ляпунова. Теорема Лагранжа—-Дирихле гласит если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то положение равновесия устойчиво. [c.580]

Допустим, что в некоторой точке поля О потенциальная энергия П имеет минимум. Выберем в точке О начало коо)1динат и положим Пд= 0. Покажем, что при наличии минимума потенциальной энергии можно найти определенное множество начальных условий, при которых координаты и скорость точки во время ее движения остаются ограниченными по абсолютной величине. Этим будет доказано, что точка поля, в которой потенциальная энергия имеет мини.мум, и есть положение устойчивого равновесия материальной точки. [c.382]

Квадратичная форма (2.12) так же, как и кинетическая энергия, является знакопостоянной положительной. Последнее вытекает из условия устойчивости положения равновесия, сформулированного в теореме Лагранжа—Дирихле если для материальной системы, находящейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным и стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым. Поскольку значение потенциальной энергии в положении равновесия принято равным нулю и одновременно отвечает минимуму, при любом отклонении системы от устойчивого положения равновесия имеем F >0. [c.60]

Таким образом, в потенциальном силовом поле система материальных точек будет находиться в равновесии только тогда, когда силовая функция И имеет стационарное значение. Условия равновесия в этом случае будут совпадать с математическими условиями определения максимума или минимума функции и. Условие 6 /=0 представляет собой необходимое и достаточное условие равновесия системы в поле сил, имеющих потенциал, и только необходимое условие максимума или минимума силовой функции. Можно показать, что если для некоторой системы значений координат д, <72, силовая функция имеет максимум, то соответствующее положение равновесия будет устойчиво (теорема Лежен — Дирихле) [c.338]

В общей форме механизм увода в подобных системах был рассмотрен в 4.3. В гл. 18 он обсуждается с иных позиций - а связи с поведением материальной частицы в быстро осциллирующая стационарном поле. Как будет показанЬ, частица притягивается к точкам минимума амплитуды стоячей волны (дс) (рис. 18.1). В результате если при отсутствии осцилляции поля частица имела некоторые положения устойчивого равновесия, то прн его наличии эти положения определенным образом сместят СЯ по нахфввлению к указанным точкам минимума функции Ч (х) . Маятник с прямолинейно вибрирующей осью подвеса можно рассматривать как частный случай такой системы. В 43 данная ситуация была обсуждена также с позиций концепции потенциальных в среднем динамических систем - как следствие возможности появления в таких системах под дей- [c.271]

Мы знаем, что если тело находится в равновесии, то выражение, стояш ее в скобках в соотношении (15.31), равно нулю. Таким образом, приходим к известному принципу стационарности потенциальной энергии из всех допустимых полей перемещений упругого тела поля, отвечающие состояниям статического равновесия, выделяются тем, что им соответствуют стационарные значения полной потенциальной энергии (бП = 0). Волее того, можно пока зать, что если мы имеем состояние устойчивого равновесия, то Ц при этом принимает минимальное значение. [c.243]

В теореме Лагранжа — Дирихле дается строгое дока-аательетво того, что для любой материальной системы (в консервативном силавом поле) минимум потенциальной энергии является признаком устойчивого состояния равновесия. Приведем формулировку теоремы Лагранжа Дирихле если для материальной системы, находя- щейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия системы имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво ). [c.42]

Малые колебания системы могут длительно совершаться только в окрестности устойчивого положения равновесия системы. Поэтому важное значение имеет теорема Лагранжа—Дирихле, устанавливающая достаточные условия устойчивости положения равновесия системы. Теорема утверждает, для устойчивости положения равновесия системы, подчиненной голономным, идеальным, стационарным и неосвобождающим связям и находящейся в стационарном потенциальном силовом поле, достаточно, чтобы потенциальная энергия в положении равновесия имела изолированный относительный минимум. [c.409]

Рассмотрим один простой пример в цилиндрическом желобе (рис. 189), образующие которого горизонтальны и параллельны оси Ох, находится в наинизшем положении в равновесии весомый шарик потенциальная энергия поля тяжести в этом положении шарика минимальна — однако, если сообщить шарику весьма малую начальную скорость г о, направленную вдоль наинизшей образующей, то он будет двигаться по закону X = Vot и, как бы мала ни была начальная скорость Vo, он через достаточно большой промежуток времени сколь угодно далеко уйдет от своего начального равновесного положения. Как это совместить с тем, что по теореме Лагранжа — Дирихле равновесие как будто должно быть устойчивым [c.434]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...