Приведение к линейной нормальной форме

Приведение к линейной нормальной форме. Из предыдущей теоремы немедленно получается [c.71]

Этот набор — формальная или Орбитальная формальная нормальная форма пара областей с нулем на границе, в каждой из которых росток уже приведен к упомянутой нормальной форме, и, наконец, функция перехода —и образует аналитическую нормальную форму ростка. Зная этот набор, можно многое сказать о свойствах ростка. Именно на этом пути получены теоремы следующего раздела. Аналогичный подход может быть использован в теории, линейных.. систем-.с -иррегулярной особой-точкой 2, глм 7). -. ..................... - -. ............. [c.100]

Нормальные координаты диссипативных систем существуют только при некоторых ограничениях, накладываемых на матрицы А, В и С. Это является отражением алгебраического факта — невозможности одновременного приведения трех произвольных квадратичных форм к сумме квадратов посредством линейного преобразования переменных. [c.93]

Приведение к нормальной форме можно осуществить последовательно, начиная с линейной части. После упрощения линейной части приступают к упрощению членов второго порядка, затем упрощают члены третьего порядка и так далее вплоть до заданного. [c.196]

Практическое применение изложенных в предыдущих главах результатов теории гамильтоновых систем требует эффективных способов получения нормальной формы функции Гамильтона. Линейную нормализацию можно осуществлять при помощи алгоритма, изложенного во второй главе. Задача нелинейной нормализации более сложна и весьма громоздка. Для автономных систем она сводится к проведению некоторых алгебраических операций над алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Если в изучаемой задаче требуется получить нормальную форму гамильтониана с точностью до членов не выше четвертого поряд ка, то можно воспользоваться расчетными формулами, приведенными в предыдущих главах. Трудности нормализации неизмеримо возрастают при увеличении числа степеней свободы изучаемой динамической системы, а также когда функция Гамильтона явно содержит время. В последнем случае без расчетов на ЭВМ уже нельзя обойтись, так как при нахождении производящей функции нормализующего преобразования неизбежно приходится решать задачу нахождения периодического решения некоторой системы дифференциальных уравнений. [c.106]

Во всяком случае, знание базисных полей чрезвычайно полезно для приведения к нормальным формам различных геометрических объектов с помощью сохраняющих дискриминант диффеоморфизмов, поскольку любая функциональная линейная комбинация базисных полей касается дискриминанта. [c.84]

Во всех приведенных выше случаях, для любого заданного нормального колебания, т оказывалось обрат-но пропорциональным I. Следовательно, согласно (2) 46 период 2л/ для стержней из одного и того же материала пропорционален Р/к. Отсюда следует, что для геометрически подобных стержней период пропорционален линейным размерам стержня. Для стержней одинакового сечения период пропорционален квадрату длины. Что касается формы и размеров поперечного сечения, то здесь все зависит от радиуса инерции х. Так, для стержней с прямоугольным сечением частота пропорциональна толщине стержня в плоскости колебаний и не зависит от ширины сечения. Это последнее утверждение требует, однако, некоторых оговорок. Подразумевается, что ширина стержня мала по сравнению с его длиной, или (более точно) по сравнению с расстоянием между смежными узлами. Если это условие нарушено, то вся проблема приводит к более сложной теории пластинок ( 55). [c.170]

Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при кратных показателях с нулевыми действительными частями. Техника установления структуры элементарных делителей связана с приведением матриц к нормальной форме Ж ордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограничимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях iiwyj. с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1) частных решений вида Р (I) sin o/,/, Q(t) osoii,t, где P(t) и Q t) — полиномы, степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если матрицы А, В и С симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические показатели имеют простые элементарные делители. [c.95]

При исследовании топологически сложных случаев, когда линейная часть уравнения в особой точке имеет собственные значения на миимой оси, очень полезен метод Пуанкаре. Он применяется для приведения к нормальной форме конечной струи, то есть конечного числа членов ряда Тейлора векторного поля в особой точке. После этого старшие члены отбрасываются, исследуется укороченное уравнение, а затем доказывается, что старшие члены не меняют качественной картины. С помощью этого метода не только доказываются, но и формулируются результаты 5. Особенно полезен этот метод в теории бифуркаций (см. [8]). [c.60]

Преобразование монодромии полученного автономного уравие ния, соответствующее замкнутой фазовой кривой х=0, называется преобразованием монодромии исходного периодического уравнения. Это построение вместе с теоремой о реализации из 1 сводит теорию периодических уравнений к локальной теории диффеоморфизмов все эффекты, наблюдаемые в одной теории, наблюдаются и в другой. Однако вычисление асимптотики преобразования монодромии, как правило, невозможно без приведения периодического дифференциального уравнения к нормальной форме. Начнем с изучения линейного случая. [c.108]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

Эти результаты могут быть интерпретированы как приведение к нормальной форме, при помощи симплектоморфизмов, произведений полукубической параболы или ласточкина хвоста на линейное прост-ралство. [c.204]

Характеристика шииы представляет зависимость нормальной составляющей реакции опорной поверхности от деформации шины при изменении действующей на нее нагрузки и определяется на специальных установках. Она может быть найдена одновременно с приведенной характеристикой подвески путем измерения расстояния / (см. рис. 2.62). При этом следует иметь в виду, что нормальная реакция, действующая на шину, равна показанию ладометра, а на подвеску -показанию ладометра за вычетом веса моста, приходящегося на рассматриваемое колесо. Характеристики шин близки к линейным, поэтому основным их параметром является жесткость, определяемая в зоне статической нагрузки. Жесткость шины (радиальная) зависит от ее конструкции, размеров, давления воздуха в ней, а также от формы неровностей опорной поверхности. На выпуклых поверхностях жесткость уменьшается, а на вогнутых - возрастает. При расчетах [c.211]

Подход А. А. Никольского послужил основой для рассмотрения ряда экстремальных задач в рамках линейной теории двумерных и пространственных течений. М. Н. Коган (1957) применил этот подход к решению задачи о крыле конечного размаха заданной формы в плане, имеющем максимальное аэродинамическое качество при заданной подъемной силе. Для крыла с прямой задней кромкой, нормальной набегающему потоку, М. Н. Коган привел вариационную задачу к краевой задаче для уравнения Лапласа. Такое приведение для произвольной задней кромки было сделано Ю. Л. Жилиным (1957). В. Н. Жигулев и Ю. Л. Жилин (1959) дали решение задачи о теле вращения с протоком, имеющем минимальное сопротивление при заданных объеаге и радиусах входного и выходного сечений. [c.179]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...