Решение уравнений метода дискретных ординат

В случае линеаризованного уравнения Больцмана для переходного режима можно развить последовательные, точные и сравнительно простые методы решения. Они основаны на вариационных методах (разд. 3) и методе дискретных ординат (разд. 2). Обычно результаты, полученные такими методами, хорошо согласуются с экспериментом и вносят ясность в основные построения теории переходного режима в тех случаях, когда нелинейными эффектами (в частности, ударными волнами) можно пренебречь. [c.390]

Для нелинейных задач можно воспользоваться моментными методами (разд. 2), которые сводятся к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Вообще говоря, решение этой системы вызывает большие трудности, чем решение уравнений Навье — Стокса, поэтому для решения таких систем приходится прибегать к численным методам. Но тогда может оказаться более удобным применять численный метод, основанный на методе дискретных ординат, непосредственно к самому уравнению Больцмана (разд. 2). Наконец, много исследований посвящено методу статистического моделирования Монте-Карло (разд. 4). [c.390]

На основе интегрального уравнения точно решена также задача о течении Пуазейля в кольцевой трубе [50]. Моментные методы [ПО] и метод дискретных ординат [35] не дают удовлетворительных результатов для задач такого рода. Из других задач цилиндрической геометрии, решенных с использованием БГК-модели, можно назвать цилиндрическое течение Куэтта и теплоперенос между коаксиальными цилиндрами [111, 45]. [c.411]

В рамках другого класса многогрупповых методов, известного под названием метода дискретных ординат или 5л/-метода, уравнение переноса решается только для некоторых избранных направлений. Затем интегралы, по углу представляются в виде сумм по дискретным направлениям, а производ-, ные по углам — в виде разностей. Эти методы подробно описаны в гл. 5, где показано, что для плоской геометрии некоторые из 5л -приближений эквивалентны Рл/-методу. Достоинство 5л/-метода — его точность, которую мож но повысить, просто увеличивая число направлений без какого-либо изменения метода решения. Он часто используется там, где Рл/-приближение недостаточно точно. [c.43]

Интересно рассмотреть некоторые другие приближения, которые были развиты для решения зависящего от энергии уравнения переноса, в частности, распространение на этот случай некоторых методов, используемых в односкоростной теории (см. гл. 2). В разд. 2.2 рассмотрен метод разделения переменных для получения точных (или очень близких к ним) решений в простых случаях. Этот метод был распространен на изучение зависящих от энергии задач в плоской геометрии [1], причем энергетическая зависимость учитывалась либо с помощью дискретных энергетических групп, либо разложением по собственным функциям. Такие методы можно было бы использовать для получения точных решений некоторых тестовых задач. Однако, поскольку для проведения таких расчетов обычно требуется электронно-вычислительная машина, то на практике более удобно получать точные решения другими методами, например методом дискретных ординат (гл. 6) или методом Монте-Карло. [c.134]

Методы дискретных ординат и связанные с ними методы получения численных решений зависяш,его от энергии уравнения переноса широко используются в реакторных расчетах. В основе этих методов лежит то, что в отличие от разложения по сферическим гармоникам (см. гл. 3 и 4) угловое распределение потока нейтронов оценивается в различных дискретных направлениях. Рассматривая достаточное количество направлений, можно, в принципе, получить решение уравнения переноса с любой желаемой степенью точности. Единственным ограничением здесь могут быть лишь возможности электронно-вычислительных машин. Ниже показано, что некоторые разновидности этих дискретных методов связаны с методом сферических гармоник. [c.168]

При решении практических задач методом дискретных ординат вводятся с помощью многогруппового приближения дискретные энергетические переменные, а для описания пространственной зависимости, как и в предыдущей главе, используется дискретная пространственная сетка. Следовательно, все независимые переменные стационарного уравнения переноса, а именно пространственная переменная г, направление Й и энергия Е, рассматриваются как дискретные. По сравнению с методом сферических гармоник отличительным свойством метода дискретных ординат является то, что угловая переменная (или направление) считается дискретной. [c.168]

При развитии этого метода возникают некоторые новые и важные проблемы. К ним относятся 1) выбор конкретных дискретных направлений 2) аппроксимация интегралов по угловой переменной 3) аппроксимация производных от потока нейтронов по компонентам угла Й, появляющихся в уравнении переноса в криволинейных геометриях (см. разд. 5.3.1, 5.3.2). Эти проблемы рассмотрены в настоящей главе, но с самого начала можно констатировать, что не существует их единственных решений. Отсутствие единственности решения, однако, не является неожиданным, В Рд -приближении выбор энергетических групп и пространственной сетки также не однозначен, но должен основываться на физическом понимании задачи и опыте. Те же самые факторы определяют выбор направлений и других параметров в методе дискретных ординат. [c.168]

Изучение метода дискретных ординат для решения односкоростного уравнения переноса начнем с рассмотрения плоской геометрии. Это связано не только с тем, что такой случай является наиболее простым и представляет большой практический интерес, но также и с тем, что такое рас- [c.168]

В разд. 3.5.1 было показано, что в плоской геометрии обычно существует разрыв в угловом распределении потока нейтронов при ц = О на поверхности (или границе). Было найдено, что при решении уравнения переноса с помощью разложения потока в ряд по полиномам Лежандра полезно исследовать каждую сторону разрыва отдельно. Аналогичное двойное Рд -приближение было использовано в методе дискретных ординат с отдельным разложением потока в интервалах —1 х ОиО х 1 18]. [c.173]

Используя описанную выше процедуру, можно решить-односкоростное уравнение переноса методом дискретных ординат. Такая односкоростная задача обычно возникает при изучении группы нейтронов в многогрупповом расчете (см. разд. 4.3.2) и рассмотрена в разд. 5.3.5. Метод дискретных ординат можно также использовать для решения простых односкоростных тестовых задач. Таким образом, можно оценить точность метода для различ- [c.176]

Из всего сказанного выше следует, что можно рассматривать различные приближения метода дискретных ординат для решения уравнения переноса. Конечно, лучшими приближениями являются те, которые дают точные результаты и не требуют слишком большого времени для численных расчетов. Описанные в настоящем разделе методы оказались очень полезными при решении практических задач. Кроме того, были предложены различные модификации этих методов [26], некоторые из них оказались весьма удобными. [c.186]

Хорошее согласие между расчетными и измеренными данными зависит не только от точности используемых методов решения уравнения переноса, но также и от наличия достоверных нейтронных сечений. Поэтому будут рассмотрены некоторые проблемы, касающиеся оценки применимости тех или иных ядерных данных для реакторных расчетов. Имеется несколько библиотек сечений в виде, пригодном для использования в машинных расчетах [30]. Одна из них, обеспечивающая необходимые входные данные для многогруппового расчета методом дискретных ординат, и используется в данном исследовании. [c.191]

Методы решения многогрупповых задач в приближении дискретных ординат, основанные на использовании соответствующей программы для электронно-вычислительной машины, в принципе такие же, как в (и связанных с ним) приближениях. Как отмечалось ранее, четырехточечная квадратурная формула Гаусса или подобная ей оказывается достаточно хорошей для большинства одномерных расчетов критичности. Члены рассеяния в уравнении (5.30) можно аппроксимировать любым желаемым числом членов разложения Ь. Встречалось несколько задач,- для которых приближение L = 3 оказывается недостаточным, а обычное транспортное приближение с L = О или согласованное Рд приближение с L = 1 дают вполне удовлетворительные результаты. [c.191]

Было показано (см. разд. 3.4.4), что в итерационном методе Либмана предпочтительно использовать последние из полученных значений потока нейтронов. Предложить способ, с помощью которого этот метод можно применить к решению уравнения дискретных ординат (5.3). Отметить достоинства и недостатки этого метода по сравнению с тем, который описан в разд. 5.2.6 [46]. [c.196]

Математические трудности, возникающие при решении ин-тегродифференциальных уравнений, привели к появлению ряда приближенных методов решения уравнения переноса излучения. В приближениях оптически тонкого и оптически толстого слоев (последнее называется также диффузионным приближением, или приближением Росселанда) используются упрощения, вытекающие из предельного значения толщины среды. В приближениях Эддингтона и Шустера — Шварцшильда упрощения связаны с введением допущений об угловом распределении интенсивности излучения. В методе экспоненциальной аппроксимации ядра интегроэкспоненциальные функции в формальном решении заменяются экспонентами. Метод сферических гармоник, метод моментов и метод дискретных ординат — наиболее разработанные методы, позволяющие получить приближения более высоких порядков. [c.340]

Метод моментов, описанный Круком [22], и метод дискретных ординат, рассмотренный Чандрасекаром [2] и Кургановым [3], позволяют получить приближенные решения уравнения переноса излучения более высокого порядка. При этом, как было показано Круком [22], метод моментов, метод дискретных ординат и метод сферических гармоник совершенно эквивалентны. [c.372]

Проведенный в предыдущем разделе анализ" был основан на многогрупповом диффузионном приближении. Для большинства других приближений, включая и Рх-приближение, также проведен соответствующий математический анализ. Часто нельзя сделать никаких выводов, поскольку система конечно-разностных уравнений не будет соответствовать положительному оператору [23]. Тем не менее общая стратегия внешних итераций успеишо применялась в большинстве многогрупповых задач, включая, например, основанные на разложении в ряд по сферическим гармоникам или на методе дискретных ординат (см. разд. 5.4.3), в которых метод внешних итераций не имеет прочной математической основы. При таких условиях метод внешних итераций не всегда должен приводить к устойчивому численному решению тем не менее на практике он оказывается очень плодотворным. [c.154]

Миогогрупповые расчеты для получения приведенных в табл. 5.5 значений, а также описанных ниже данных для систем на быстрых нейтронах проводились с помощью программы ВТРIV, которая основана на методе дискретных ординат для решения одномерного уравнения переноса с анизотропным рассеянием [381. Использовалась квадратурная формула 58 приближения с узлами, обеспечивающими равномерное распределение (см. разд. 5.3.5). Пространственное распределение потока нейтронов определялось в 20 счетных точках по радиусу. [c.194]

При решении кинетического уравнения Больцмана конечно-разностными методами важен вопрос будет ли интеграл столкновений после аппроксимации стремиться к интегралу столкновений Больцмана, когда шаг сетки в пространстве скоростей стремится к нулю Основным критерием точности вычислений является вьшолнение законов сохранения. В методе [8] законы сохранения удовлетворяются приближению в пределах ошибки вычисления и используются как мера точности. В методе [11] выполняется закон сохранения массы, в [5] развит метод коррекции промежуточного решения, делающий метод консервативным. В консервативных методах [12-16] используется специальный выбор узлов кубатурной формулы, при котором скорости до и после столкновения принадлежат одной сетке дискретных ординат. Благодаря этому законы сохранения выполняются точно при каждом столкновении. [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...