Изгиб стержня моментом

Перейдем теперь к задаче изгиба стержня и, как ранее, будем рассматривать стержень достаточно большой длины. Пусть ось 2 ориентирована уже не произвольно, а проходит через центр тяжести основания, оси х а у направим пока произвольно. В дальнейшем эти оси выбираем совпадающими с главными осями. Как и в задаче кручения, будем предполагать, что боковая поверхность свободна от нагрузок, т. е. выполняются условия (3.1). Полагаем также, что на основаниях внешние напряжения статически эквивалентны моменту М (ось которого параллельна оси у (рис. 16)). Поставленная таким образом задача называется задачей изгиба стержня моментом в постановке Сен-Венана (здесь по-прежнему речь идет лишь об интегральном удовлетворении краевых условий на основаниях). В данном случае удобно исходить из первоначального представления напряженного состояния, а потом уже определять смещения. [c.270]

Таким образом, при чистом изгибе стержня моментами М , действующими в главной плоскости инерции Оху, нормальные напряжения а в поперечном сечении стержня изменяются по линейному закону. При этом переменная у отсчитывается от главной оси Oz, которая является нулевой линией. [c.133]

Это значение нагрузки называется критическим. Момент инерции /, стоящий в числителе выражения (283), вычисляется относительно оси, вокруг которой происходит поворот сечений при изгибе стержня моментом М — Р е- -у). На рис. 342 изображена [c.356]

ИЗГИБ СТЕРЖНЯ МОМЕНТАМИ [c.87]

Изгиб стержня моментами, приложенными к концам [c.87]

Это же можно сказать и относительно изгиба стержня моментами и Распределение напряжений в стержне с цилиндрической анизотропией будет таким же, как в однородном анизотропном или изотропном стержне только при выполнении условий (17.5) (также независимо от того, где проходит ось анизотропии). [c.95]

Изгиб стержня моментом [c.241]

Заклепочное соединение целесообразно нагружать только на сдвиг, разгружая его от действия изгибающих моментов, вызывающих односторонний изгиб стержней заклепок. Возникающие при изгибе напряжения разрыва, складываясь с растягивающими напряжениями, возникающими при склепывании, перегружают стержень и головку заклепки. [c.199]

Усилие /V вызывает продольную деформацию стержня (растяжение или сжатие) и — сдвиг сторон сечения соответственно в направлении осей у к г — кручение стержня Му и М — изгиб стержня в главных плоскостях гх и ух). Поэтому для усилий и моментов в сечении приняты следующие названия [c.37]

Оба эти момента Му и М у (на чертеже они не показаны) вызывают изгиб стержня первый — в вертикальной плоскости, второй — в горизонтальной. [c.238]

Перейдем теперь к задаче об изгибе стержня концевой силой. Будем предполагать, что система заданных внешних нагрузок на 5i эквивалентна силе Р Р ву, приложенной в точке пересечения оси Охз с 5i. Задачи с другой точкой приложения силы Р сводятся, очевидно, к поставленной задаче и к уже решенной задаче кручения с моментом M3 = Pia, где с —расстояние от точки приложения силы Р до оси Ох . [c.70]

Уже в начале предыдущего параграфа было отмечено, что сильный изгиб стержня произвольного сечения сопровождается, вообще говоря, одновременным его кручением, даже если к стержню не прилагается никаких внешних крутящих моментов. Исключением является изгиб стержня в его главных плоскостях. При таком изгибе кручение не возникает. У стержня кругового сечения никакой изгиб не сопровождается кручением (если, конечно, нет внешних крутящих моментов). В этом можно убедиться следующим образом. Кручение определяется компонентой Qj = (Qt) вектора й. Вычислим его производную по длине стержня. Для этого пишем, замечая, что = М /С [c.105]

При достаточно слабом изгибе стержня закрепление его конца в шарнире и опирание его в точке эквивалентны в отношении граничных условий. Дело в том, что во втором случае продольное смещение стержня в точке опоры является при слабом изгибе величиной второго порядка малости по сравнению с поперечным прогибом и потому должно считаться равным нулю. Граничные условия исчезновения поперечного смещения и момента сил дают в этих случаях [c.112]

Решение. Ввиду большой величины жесткости по сравнению с /f (и с жесткостью на кручение С) 1) неустойчивость по отношению к сильному боковому изгибу возникает в то время, когда изгиб в плоскости х, г остается еще слабым. Для определения момента наступления неустойчивости надо составить уравнения слабого бокового изгиба стержня/ сохраняя в них члены, пропорциональные произведениям действующей в плоскости х, г силы / на малые смещения. Поскольку сосредоточенная сила приложена лишь к свободному концу стержня, то вдоль всей его длины F = f, а на свободном конце (г = I) момент М = 0 по формуле (19,6) находим компоненты момента относительно закрепленной системы координат х, у, г [c.123]

Полученный результат (< 2=0) объясняется тем, что в этом частном случае имеет место чистый изгиб сосредоточенными моментами, возникающими в сечениях Л и Б. В этом случае кривизна осевой линии стержня хзо равна кривизне осевой линии канала 2зо. поэтому контактное давление меледу поверхностью канала и стержнем отсутствует. [c.226]

Таким образом, при решении задач кручения и изгиба стержней требуется знание лишь глобальных характеристик краевых условий на торцах (главный вектор усилий и главный вектор-момент). [c.258]

Существуют, однако, особые случаи, в которых малыми деформациями нельзя пренебрегать и следует их учитывать. В качестве примера такого рода можно назвать случай одновременного действия осевой и поперечной нагрузки на тонкий стержень. Сами по себе осевые силы вызывают простое растяжение или сжатие, однако если они действуют одновременно с поперечной нагрузкой, то оказывают существенное влияние на изгиб стержня. При определении деформаций стержня в таких условиях, несмотря на малость прогибов, нужно учитывать их влияние на момент от внешних сил ). Теперь уже полные прогибы не являются линейными функциями усилий и не могут быть получены с помощью простого наложения. [c.28]

Формулы (144) используются в теории пластинок, когда изгибающие моменты распределены неравномерно и сопровождаются присутствием поперечных сил и поверхностного давления. При этих условиях формулы (144) можно получить из общих уравнений главы 8 в качестве аппроксимации, справедливой лишь для тонких пластинок. Подобным же образом можно связать с общими уравнениями и элементарную теорию изгиба стержней ). [c.298]

Изгиб стержня при потери устойчивости происходит в плоскости минимальной жесткости, и поэтому под J здесь следует понимать минимальный момент инерции сечения. [c.513]

Если плоскость действия момента М при изгибе стержня поворачивается вместе с торцовым сечением, то, очевидно, при X = I Му = УИ ., = О и тогда имеем еще два условия [c.320]

Если плоскость действия момента М при изгибе стержня не поворачивается, то при х = I имеем Му = Мдг/дх и = —М ду дх и тогда [c.320]

Условие равновесия для моментов приводит к соотношению, которое встречается при изгибе стержней [c.535]

Плоский поперечный изгиб. Пусть поперечное сечение прямого стержня имеет две оси симметрии х, у. Пусть, далее, на этот стержень в одной из плоскостей, содержащих ось стержня г и одну из осей симметрии, х или у, его поперечного сечения, действуют сосредоточенные силы и распределенная нагрузка. В этих условиях изгиб стержня происходит в плоскости действия нагрузки и его упругая линия будет плоской кривой. Такой изгиб называют плоским. Чистый изгиб, рассмотренный в предыдущем параграфе, является частным случаем плоского поперечного изгиба, при котором нагрузка состоит только из двух изгибающих пар. При поперечном изгибе в произвольном поперечном сечении стержня кроме изгибающего момента действуют поперечная сила Q, а иногда еще и продольная сила N. При отсутствии продольной силы связь между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью поперечной нагрузки д определяется формулами (5.3) и (5.4), справедливыми всюду, кроме самих точек приложения сосредоточенных поперечных сил. [c.127]

Косой изгиб, в общем случае внешние силы и моменты, нагружающие стержень, действуют в различных плоскостях. После перенесения их в центры тяжести соответствующих поперечных сечений стержня получающиеся при этом векторы внутренних силовых факторов Q и М можно разложить каждый на два компонента, соответствующих двум продольным плоскостям симметрии стержня (каждая такая плоскость хг и уг содержит ось стержня и одну из главных осей его поперечного сечения). После этого на основании принципа независимости действия сил изгиб стержня в каждой из этих двух плоскостей можно рассматривать независимо и результирующее напряженное состояние можно найти путем суммирования напряжений, соответствующих изгибам, происходящим в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. [c.134]

Покажем, как найти результирующее напряжение при косом изгибе стержня с круговым сечением. Сначала следует просуммировать векторы изгибающих моментов и Му и найти полный изгибающий момент в данном сечении [c.135]

Угол поворота оси стержня. При чистом изгибе относительный угол поворота концевых сечений стержня определялся формулой (5.15). Такой же угол образуют касательные к оси изогнутого стержня, проведенные на его концах (поскольку концевые сечения остаются перпендикулярными оси стержня и после его изгиба). При поперечном изгибе деформация стержня обусловлена совокупным действием изгиба и сдвига, однако влияние сдвига для длинных стержней незначительно и обычно не учитывается. Так как при поперечном изгибе изгибающий момент не постоянен, а зависит от продольной координаты г, равенство (5.15) справедливо только для элементарного отрезка оси стержня длиной с1г. Для этого отрезка [c.138]

Пусть некоторое сечение, положение которого определяется продольной координатой г = 2 , при изгибе стержня перемещается поступательно, т. е. не поворачивается. Тогда формула (5.25) укажет величину угла, на который повернется при изгибе стержня сечение, определяемое текущей координатой г. Например, если стержень длиной I заделан одним концом и нагружен поперечной силой Р на свободном конце (рис. 5.19, а), то, отсчитывая координату г от заделанного конца, получим выражение для изгибающего момента в виде Л1 — I — г) Р. Эпюра, соответствующая этому выражению, приведена на рис. 5.19,6. [c.139]

Наконец, при чистом изгибе стержня постоянного сечения длиной I при постоянном изгибающем моменте имеем [c.182]

Рассмотрим гибкий стержень, подверженный одновременному действию двух нагрузок поперечной и значительной по величине продольной (рис. 1.55). При действии на такой стержень лишь силы Р г он испытывает только растяжение. Если же на стержень действует одна лишь сила Pj , то стержень изгибается, имея прогиб на конце консоли v (/). При одновременном действии сил Ру и Piy изгиб стержня происходит с меньшими прогибами на конце стержня вместо V (I) будет и (/) у (/) < v (/), так как сила Pi. создает изгибающий момент, равный Р , Iv (/) — о (г)], имеющий знак, противоположный знаку изгибающего момента, создаваемого силой Ply- Ргу I - Z), [c.89]

В случае иной формы поперечного сечения призматического бруса картина деформации в целом остается аналогичной описанной выще, а именно замкнутые поперечные линии, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации, и плоскости их поворачиваются друг относительно друга. Продольные линии искривляются и при этом две из них, лежащие в некоторой плоскости (нейтральная плоскость), перпендикулярной плоскости действия приложенных к торцам моментов, длины своей не изменяют. Все другие продольные линии, искривляясь в процессе деформации, изменяют свою длину и тем в большей мере, чем дальше эта линия расположена от нейтрального слоя. Торцы при чистом изгибе и в стержнях непрямоугольного профиля остаются плоскими. Как и в описанном выше случае, строго такая картина наблюдается всюду лишь при линейном распределении на торцах нормальных поверхностных сил, создающих внешние моменты, под действием которых происходит изгиб стержня. При другом законе распределения на торцах поверхностных нормальных сил описанная картина деформации нарушается, при этом вблизи торцов в большей мере, чем в остальной области, где это нарушение практически очень невелико. [c.102]

При рассмотрении изгиба стержня с прямолинейной осью была использована зависимость между изгибающим моментом и изменением кривизны оси у. — 1р = М1 Е1). Поскольку первоначально ось стержня прямолинейна, изменение кривизны оси (и) совпадает с самой кривизной изогнутой оси. В случае же, если ось стержня еще до деформации криволинейна, то изменение кривизны представляет собой разность кривизн оси после и до деформации, и зависимость между изгибающим моментом в поперечном сечении стержня и изменением кривизны оси стержня приобретает вид 1 1 Л/ [c.255]

В главе XII, посвященной изгибу, будут более точно указаны условия его возникиовеиия. Приведенные здесь условия возникновения изгиба без одновременного кручения справедливы для балки, поперечное сечение которой имеет две оси симметрии. Изгиб обычно сопровождается и сдвигом, различным у разных элементов балки. Исключение составляет изгиб стержня моментами, приложенными к его концам. В этом случае сдвига нет, а изгиб называется чистым (рис. 1.8,з). Чистым сдвигом называется деформация, которую испытывает прямоугольный параллелепипед, по четырем граням которого, перпендикулярным одной и той же плоскости, действуют касательные силы, равномерно распределенные по граням, имеющие одинаковую интенсивность и направленные так, как это показано на рис. 1.8, U. [c.36]

Рассмотрим вопрос подробнее. Обращаем внимание на то, что на рис. 12.1 моменты Му и Mz положительны. Возьмем в произвольном сечении точку в первой четверти (при у > Q к г > О). При изгибе стержня моментом Му получаем в этой точке растягивающие нормальные напряжения, при изгибе моментом Мг — сжимающие. Последнее обстоятельство по с>тдеству уже нашло свое отражение в формуле (8.15) [c.210]

В силу линейности исследуемых систем уравнений можно разыскивать решение, соответствующее системе вне1лних нагрузок, эквивалентных Р и М в виде суммы частных решений, соответствующих отдельным компонентам векторов Р н М. Решение, соответствующее компоненту Рз, — известное решение элементарной задачи о растяжении стержня продольной силой. Задача, соответствующая компоненту М , называется задачей кручения, две различные задачи, одна из которых соответствует компоненту Р или Ра. а вторая —Ajj или М , называют задачами об изгибе стержней концевой силой и моментом. [c.64]

Если же отсутствуют также и сосредоточенные силы, а изгиб стержня происходит под действием приложенных к нему сосредоточенных моментов (т. е. сосредоточенных пар сил), то F = onst вдоль всей длины стержня, а М испытывает в точках приложения сосредоточенных пар скачки, равные их моментам. [c.104]

Возвращаясь к примеру остроугольного клипа, обратимся к 3.6, где было дано элементарное рассмотрение задачи об изгибе стержня из упруго-идеально-пластического материала. На рис. 3.5.1 представлены эпюры напряжений в сеченпи. По мере роста изгибающего момента пластические зоны охватывают все большую часть сечения, упругая область суживается, и в пределе, когда М М , упругая область обращается в плоскость (на чертеже в линию), отделяющую растянутую область от сжатой. Таким образом, линия разрыва напряжений может рассматриваться как предельная конфигурация упругой области, если рассматривать полностью пластическое состояние тела как предельное состояние для тела упругопластического. Но в приведенном выше изложении теории предельного равновесия подобного рода соображения могут иметь лишь наводящий характер. [c.515]

Внешние силы приводятся к парам, действующим к плоскости, совпадающей с осью стержня (рис. 1.9). В сечении возникает только иагибающ Ш момент Му или Мг. В этом случае имеет место чистый изгиб стержня. [c.17]

Итак, при сколь угодно малом, отличном от нуля, значении М и сколь угодно большой силе Р стержень не имеет форм равновесия, отличных от прямолинейной. Точно такой же результат получается и в случае, если плоскость момента М при изгибе стержня поворачивается вместе с торцовым сечением. В случае полуследящего момента, создаваемого двумя грузами, система, как мы уже видели на примере решения задачи 133, имеет формы равновесия, отличные от исходной. Таким образом, обнаруживается аналогия с поведением системы, рассмотренной в предыдущей задаче. Там, однако, мы имели один внешний силовой фактор момент М. В предложенной же задаче у нас два силовых фактора сила Р и момент М. Если приложена только сила Р, то при ее возрастании происходит переход к новой форме равновесия. Для момента же (за исключением полуследящего ) характерен переход к новым формам движения. Поэтому интересно проследить за поведением системы в области совместного действия двух факторов и определить, где раньще возникает форма движения, а где — форма равновесия. [c.318]

Под чистым изгибом понимают изгиб стержня двумя парами сил, приложенными к его концам и уравновешивающими друг друга. При этом предполагается, что стержень имеет продольную плоскость сим.метрии и изгибающие пары действуют именно в этой плоскости. При чистом изгибе все внутренние силовые факторы, кроме изгибающего момента = onst, отсутствуют. Если сечение стержня не меняется вдоль всей его длины, то вследствие постоянства Мд. напряженное состояние по всей длине стержня будет одним и тем же. По этой причине каждый элемент осевой линии получит одно и то же искривление и, следовательно, осевая линия изогнется по дуге окружности (рис. 5.9). В результате такого изгиба плоские сечения, проведенные перпендикулярно прямолиней- [c.125]

Постановка задачи. Рассматривается прямолинейный стержень постоянного поперечного сечения длиной I, изготовленный из неоднородно-стареющего вязкоупругого материала. Поперечное сечение стержня имеет одну ось симметрии, а его момент инерции относительно нейтральной оси, перпендикулярной оси симметрии, равен /. Изгиб стержня происходит в плоскости, проходящей через указанную ось симметрии и ось Ох, совпадающую с продольной осью стержня. В момент времени i = 0 к стержню приложена внепшяя продольная, и распределенная поперечная нагрузка интенсивностью q (х). Возраст элемента материала стержня в момент времени < = 0 обозначим через р (х). Функция р (х) кусочнонепрерывная и ограничена. При одноосном напряженном состоянии деформация е х) и напряжение а (i, х) в момент времени t о ь точке X связаны соотношениями [c.272]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...