Задача Коши. Задачи с условиями на характеристиках

Задача Коши. Задачи с условиями на характеристиках [c.283]

Следующий крупный шаг был сделан С. Л. Соболевым (см. Франк и Мизес [1], гл. 12), который, пользуясь методом комплексных волн (см. Смирнов, Соболев [11) и развитием метода характеристик, получил в замкнутом виде решение задачи Коши для полупространства, когда на границе заданы условия первой или второй основных задач теории упругости. [c.344]

Условия ф = О на характеристике и г(г ) > О при г > О, обеспечивают отсутствие линий ф = О, проходящих в области определения решения в плоскости годографа из точки О1 (в противном случае могла бы быть сформулирована задача Коши-Гурса с нулевыми данными на характеристике и на этой линии). Таким образом, однозначность решения в физической плоскости зависит только от наличия или отсутствия предельных линий, выходящих из точки 0 . [c.206]

Схема профилирования канала при описанных граничных условиях основана на решении обратной задачи, включающей характерные задачи газовой динамики задачи Коши в областях ABE и BF , задачу Гурса в области BEF и две смешанные краевые задачи в областях FK и K I- Вначале по заданному перепаду 5(г1з) вдоль ударной волны AB рассчитываются данные Коши за ней. При этом параметры в точке В определяются отдельно от остального участка волны по программе расчета конфигурации с взаимодействием ударной волны и веера сжатия. В работе проведено численное параметрическое исследование конфигурации, и в широком диапазоне М° (1,2 М° Ю) выявлены области ее существования с отраженным веером разрежения и ударной волной. Затем классическим методом характеристик решаются задачи Коши, задача Гурса и смешанная задача в области KF. Для рас- [c.182]

Если гиперповерхность (4.10) и заданные на ней функции v ,. .. таковы, что (4.15) обращается в нуль, система (4.14) может допускать лишь неопределённые решения. Чтобы эти решения оставались конечными, необходимо при этом потребовать обращения в нуль всех определителей, составленных путём последовательного введения правых частей (4.14) в столбцы определителя системы. В таком случае многообразие (4.10) называется характеристическим многообразием (характеристической гиперповерхностью) или просто характеристикой. Заметим, что при вычислении старших производных нам придётся иметь дело вновь только с определителем (4.15). Таким образом, если в задаче Коши есть характеристическая поверхность, то, если и существует решение задачи Коши, оно может не быть единственным. Это значит, что могут найтись два различных решения, принимающих на одни и те же значения, у которых, однако, уже первые производные на <3 различны таким образом может оказаться, что с разных сторон от движение представляется разными законами, а на самой гидродинамические элементы обоих движений (но не их производные) совпадают. Но в таком случае мы назвали бы <5 перемещающейся поверхностью слабого разрыва. В самом деле, не представляет никакого труда убедиться, что условие равенства нулю (4.15) будет совпадать с одним из условий (4.9). Для этого стоит лишь ввести скорость распространения б характеристики [c.27]

В соответствии с общей теорией уравнений в частных производных [55 в областях гиперболичности существуют действительные характеристики. Напомним, что характеристики представляют собой многообразия, на которых система дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальному виду, т. е. не может быть разрешена относительно производных, выводящих из такого многообразия. Это препятствует применению теоремы Коши-Ковалевской, следовательно, решения задачи Коши с начальными данными на характеристическом многообразии, вообще говоря, не существует. Для его существования (которое в данном случае уже оказывается не единственным) необходимо и достаточно выполнения условий согласования начальных данных, которые называются условиями совместности. Интересно, что эти условия совместности являются не чем иным как характеристиками системы уравнений газовой динамики, рассматриваемой в переменных годографа, а условиями совместности последней, наоборот, служат уравнения характеристик в физической плоскости. [c.21]

Как мы говорили в первой части книги, дельта-коррелированных процессов в природе не бывает, и аппроксимация флуктуирующих параметров дельта-коррелированными процессами может быть обоснована для задачи Коши. Если же имеется краевая задача, то флуктуирующие параметры могут обладать, помимо динамического радиуса корреляции, также характеристиками, связанными с размером системы (например, волна, падающая на зеркало, после отражения проходит через те же неоднородности). В этом случае условие дельта-коррелированности параметров надо понимать как условие для задачи Коши теории инвариантного погружения. [c.172]

На рис. 4 42, б приведены результаты профилирования сопел с заданным контактным разрывом на Гг для двухслойного осесимметричного течения и заданным условием 0 = 0° на Q. Начальное распределение чисел М вдоль оси симметрии получено классическим методом характеристик для сопла с радиусом R2 =4 при показателе адиабаты =1,3. Это распределение использовалось далее для определения Гг с помощью решения задачи Коши с данными на оси симметрии. В рассчитанном варианте принималось, что в ядре потока Yi=1,3, а в периферийной части его Y2=1,4- При этом расходы газа в этих слоях выбирались равными 22 и 78%. Полные давление и температура в обоих слоях принимались одинаковыми. [c.180]

Таким образом, условие Д= 0 является необходимым и достаточным для решения задачи Коши. Эта задача в математической теории дифференциальных уравнений в частных производных имеет основное значение, и формула (5.2.2), вообше говоря, может быть использована для расчета движения газа. Однако с точки зрения физических приложений, в частности расчета сверхзвуковых газовых течений, больший интерес представляет задача определения решения по данным на характеристиках, т. е. мегод характеристик. Этот метод может быть получен из анализа задачи Коши и заключается в следующем. Предположим, что начальная кривая АВ совпадает с одной из характеристик и ваоль нее равен нулю не только главный определитель системы (5.2.3), но ч частные определители Да = Д = Д/ = 0. Прн этом если, например, определители Д и Ai равны нулю, то равенство нулю остальных определителей удовлетворяется автоматически. Чтобы доказать это, вычислим частные определители [c.201]

Если решать численно задачу Коши и в качестве начального условия взять распределение параметров в стационарной волне, а в качестве условия на бесконечности за волной — условие отсутствия отражения возмущений, идущих туда вдоль характеристик, то для случаев, когда согласно линейной теории стационарная волна устойчива, волна продолжает распространяться в стационарном режиме. Малые отклонения от принятых начальных данных быстро затухают. Если же проводить расчет для линейно-неустойчивой волны, то вычислительные ошибки используемых конечно-разностных методов служат источником малых возмущений и очень быстро приводят к колебательному режиму распространения волны детонации. На рис. 20 приведен пример такого расчета для модели с одной реакцией первого порядка аррениусовского типа. В этом примере согласно линейной теории имеется лишь одна неустойчивая частота. Численный расчет [c.136]

Отсюда вытекает, что Д, = 0, l =j=Q, а следовательно, граничные значения функций фд и Ха можно во всех точках контура Pi = р, выразить через заданную функцию g Вместе с тем, из результатов П.5, П.7 вытекает, что каждая из функций интенсивности фо и х в первом приближении удовлетворяет некоторому линейному уравнению первого порядка и что характеристики этого уравнения нигде не касаются контура Pj = Рщ. Требуемое утверждение можно считать доказанным. Указан метод, при помощи которого в первом приближении можно выполнить (единственным образом) граничные условия (П. 12.3) за счет произволов, содержащихся в решении вида (П. 13.1), (П. 13.2). Построение первого приближения сводится к решению некоторого числа задач Коши для линейных уравнений первого порядка, поэтому изложенный метод можно использовать и как эффективный прием полученяя приближенного решения [101—J04]. Его можно уточнить при помощи итерационного процесса, на подробностях которого мы не будем останавливаться. [c.495]

Рассмотренный подход к задаче о примыкании установившего ся течения в канале к не стационарному течению в канале с подвижными стенками, разумеется, не будет единственным. В данном подходе имеются следующие возможности можно произвольно задавать форму линий АС и BD в физической плоскости и в плоскости годографа и комбинацию функций в, 6i и 02 вдоль нее, а также распределение скоростей вдоль подвижных стенок канала. Этот произвол позволяет, в частности, рассмотреть вопрос о получении неустановившего ся течения с заданными свойствами (например, можно максимально ускорить стационарный вначале поток в областях АСR, BRD и затем определить соответствующий закон движения подвижных стенок канала). В принципе можно было бы задавать какие-либо дополнительные условия на линиях подвижных стенок канала АР и BQ, решать задачу Коши в областях АРЕ и BFQ и, найдя характеристики АЕ и BF, решать задачу с начальными данными на двух характеристиках в областях AE R и BRDF. [c.68]

Для решения методом характеристик задачи Коши с начальными данными на звуковой (критической) линии требуется по результатам расчета обтекания исходного профиля или мотогондолы композитным газом построить эту линию и найти параметры звукового потока совершенного газа на ней. Это, в свою очередь, предполагало ряд пересчетов, причем в качестве основных (непересчитываемых) брались большие давление и угол наклона скорости, найденные установлением в средних точках граней ячеек. Затем из условия изэнтропичнос-ти в совершенном и в фиктивном газах в тех же точках по давлению определялись уточненные значения и и прочих термодинамических параметров, а из условия изоэнергетичности - V. [c.258]

Если расстояние L, проходимое лучом, достаточно мало, то можно решать систему уравнений (1.3) с условиями (1.18) методом последовательных приближений. В первом приближении в формуле (1.19) можпо заменить величину (z) в правой части на ее среднее значение рц. В этом приближении, в силу случайной природы функции 1 (го, z), сама точка -Rj (0) является случайной точкой, плотность вероятностей для которой будет гауссовской. Если же теория возмущений не работает, то надо воспользоваться теорией инвариантного погружения, сводящей краевую задачу (1.18) к задаче Коши для некоторой вспомогательной функции (см. гл. 5). При этом, как показано в 3 гл. 5, одноточечные характеристики луча совпадают с В1>1числе1тыми но первому приближению. [c.315]

Пусть теперь вир заданы на дуге АВ некоторой кривой, которая ни в одной точке не имеет характеристического направления, и нужно определить решение в окрестности АВ (задача Коши). Выберем на АВ ряд точек Л, а, Ь,...,с, СВ (рис. 1.2, а) и проведем через каждую из них характеристики обоих семейств. В точках их пересечения й, е,каким-либо численным методом (см. 3.4) можно вычислить искомые функции. Зная решение в этих точках, можно продвинуться еще на один слой и т. д., пока пе вычислим решение в точке С. Таким образом находится решение, одновременно строится характеристическая сетка. Аналогично определяется решение и в характеристическом треугольнике АВО. Такая процедура возможна лишь при условии существования в области АСВО непрерывного решения. Известно, что существование непрерывного решения квазилинейной системы можно гарантировать лишь в малой окрестности линии начальных данных. Даже при сколь угодно гладких начальных данных в области влияния дуги АВ (область АСВО) могут возникать разрывы. Расчет методом характеристик в этом случае существенно усложняется (см. разд. 3.4). [c.36]

Рассмотрим схему решения сформулированной задачи классическим методом характеристик. Расчет осуществляется с помощью последовательного решения задачи Коши, Гурса и отмеченных новых двухграничных смешанных краевых задач профилирования. Численное профилирование начинается с решения задачи Коши с начальными данными на L, в процессе которого определяются область влияния I (см. рис. 1.3), а также характеристики 1 и Г. Затем последовательно решаются смешанная краевая задача с граничными условиями на части ВК характеристики 7° и Гг в области II и задача Гурса в областях III и IV. При задании в качестве границы Гг характеристики ВЫ вместо смешанной задачи в области [c.38]

Вследствие гиперболичности уравнений поле напряжений и скоростей определяется последовательностью краевых задач, сопрягаемых по обгцим границам, по которым данные, полученные в одной области, передаются как граничные условия для другой области. Поэтому поле характеристик с большим числом узловых точек может быть построено по ограниченному числу исходных данных на одном контуре Коши или на одной характеристике. [c.247]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...