Приложение. О принципе максимума

Несложная программа термодинамического расчета химического равновесия приведена в Приложении 1. Она позволяет определять состав и параметры систем газообразных веществ при заданных значениях температуры и давления. В основу программы положены выведенные в главе расчетные выражения, следующие из принципа максимума энтропии. [c.167]

Применение аппарата математического программирования при решении задач предельного равновесия и приспособляемости сплошных тел вынуждает заменять строгие формулировки этих задач приближенными, использующими дискретные модели. Большие размеры получаемых при этом матриц ограничивают область приложения. В то же время имеются математические методы, позволяющие решать задачи предельного анализа непосредственно для сплошной среды—это методы математической теории оптимальных процессов, в частности принцип максимума Л. С. Понтрягина [13, 15, 121]. В задачах механики деформируемых тел этот принцип, по-видимому, впервые был применен А. И. Лурье [94]. [c.70]

Введение обобщенных усилий целесообразно при определении условий прогрессирующего разрушения с помощью методов, опирающихся на статическую теорему, как точных (линейное программирование, принцип максимума), так и приближенных (см. гл. II). Использование обобщенных переменных делает практически возможным приложение методов линейного программирования к задачам предельного равновесия и приспособляемости в кинематической формулировке (см. 22). С другой стороны, если механизм разрушения не отыскивается, [c.122]

ПРИЛОЖЕНИЕ О принципе максимума [c.213]

Обратим внимание также на работы, где содержатся обобщения принципа максимума Хопфа на случай нелинейных эллиптических уравнений второго порядка и даны его приложения к построению оценок в нелинейных задачах механики сплошной среды. Обзор работ указанного направления приведен в [201]. [c.214]

Удобная для приложений компактная формулировка принципа максимума вызвала к нему большой интерес. В частности, возник вопрос о том, как соотношения, характеризующие этот принцип, трактуются в привычных для механиков понятиях вариационного исчисления. Кроме того, вообще ощущалась потребность подвести теоретический итог результатам приложения классических методов вариационного исчисления к задачам об управлении и изложить эти методы в форме рабочих критериев, приспособленных для этих задач. Такая работа была выполнена, результатом чего явилась серия публикаций, относящаяся главным образом к началу шестидесятых годов. При этом задачи об оптимальном управлении трактовались как вариационные задачи на условный экстремум, причем уравнения движения рассматривались как дифференциальные связи, наложенные на координаты системы. Было выяснено, как классические подходы позволяют [c.189]

Если речь идет о линейных системах (16.1) и область U и функция Ф в (16.2) обладают подходящими свойствами выпуклости (или вогнутости), то многие такие задачи о минимаксе укладываются в схемы, обсужденные в 10 (см. стр. 193—197). В нелинейных случаях, а также в некоторых линейных нерегулярных случаях приложение описанных выше способов исследования (в частности, принципа максимума или классических критериев вариационного исчисления) потребовало их усовершенствования. Весьма общий подход к выводу необходимых условий экстремума для проблем вариационного исчисления, охватывающий, в частности, широкий круг задач об оптимальном управлении, описан в работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина (1963—1965). В этих работах были выведены необходимые условия минимума F (w ) для функционала F (w), заданного на элементах w из некоторого нормированного пространства ly . Допустимые значения предполагаются стесненными условием типа равенств или неравенств. При широких предположениях о геометрических свойствах этих ограничений, которые вместе с условием экстремума порождают в пространстве гг некоторые выпуклые конусы и линейные подпространства вариаций, выводятся искомые необходимые условия минимума. Эти условия сводятся к отсутствию общих точек у открытых частей упомянутых конусов и подпространств. Формулировка этого геометрического факта в терминах линейных функционалов и составляет содержание [c.213]

В обсуждаемых исследованиях А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина проблема минимума Р (ш) была исследована как на уровне первых, так и на уровне вторых вариаций. В результате были даны формулировки критериев минимума в форме, удобной для приложения к задачам об оптимальном управлении. В частности, был сформулирован принцип максимума для задачи (16.1)—(16.2). Этот принцип максимума в известной мере аналогичен тому принципу максимума, который работает в случае минимума величин I вида интегралов (8.2), но естественно, что в случае величины (16.2) он имеет менее регулярный характер и, по-видимому, эффективное использование его более затруднительно. В частности, здесь в аналоге уравнения (6.2) появляются слагаемые неоднородности. Во всяком случае, пока в опубликованной литературе содержится мало примеров эффективного использования принципа максимума для задач вида (16.1) — [c.214]

В достаточно регулярных случаях условия (18.7)—(18.8) смыкаются с известными соотношениями принципа максимума и методов динамического программирования. В самом деле, сравнивая, например, соотношения (13.7) и (18.5), замечаем, что в регулярных случаях роль функции ф может играть потенциал V, фигурирующий в уравнении Беллмана. Однако и в этих случаях функция ф, удовлетворяющая нужным условиям, подчас может быть найдена проще, причем здесь не оговариваются жесткие априорные ограничения класса. С другой стороны, описываемый здесь подход нашел эффективные приложения и в нерегулярных случаях, в частности, при построении оптимальных скользящих режимов. Таким путем для этих случаев были разработаны методы, позволившие разрешать нелинейные вариационные задачи об управлении в ситуациях, характерных для приложений, и, в частности, были опубликованы методы решения таких задач, которые возникают при исследовании проблем оптимального снижения и торможения летательных аппаратов. Заметим, что решение ряда сложных задач (в частности, для нелинейных систем третьего порядка) было найдено описанными методами в замкнутой форме. Так же были исследованы нерегулярные обстоятельства, характерные для задач об управлении движением точки переменной массы в центральном поле, причем были выяснены дискуссионные вопросы, связанные с этой задачей. Далее, была исследована задача о реактивной стабилизации твердого тела с неподвижной точкой при условии минимума расхода топлива, причем снова были обнаружены и изучены экзотические оптимальные движения. [c.219]

Описание принципа максимума и метода динамического программирования С точки зрения приложений в механике космического полета можно найти в сборнике [12]. [c.696]

Здесь можно также привести подробности открытия, о котором я раньше известил Академию полное интегрирование дифференциальных уравнений, составленных Лежандром, от которых зависит существование максимума или минимума в изопериметрической задаче. Метод, которым я пользуюсь, есть новое и замечательное приложение известного метода вариации произвольных постоянных он основывается в принципе на важных свойствах [c.289]

Теорию колебаний стержня можно использовать для иллюстрации того общего принципа, что собственные периоды колебаний системы удовлетворяют условию максимума-минимума и что наибольший из собственных периодов превосходит любой период, который может быть получен изменением типа колебаний. Предположим, что кривая колебаний стержня, закрепленного на одном конце и свободного на другом, есть та кривая, по которой расположится стержень, отклоненный силой, приложенной к его свободному концу. За уравнение кривой можно принять [c.308]

Действие приемного аппарата можно объяснить, исходя из тех же принципов. Периодический ток в катушке попеременно то противодействует, то действует совместно с постоянным магнитом, и, таким образом, железный диск подвергается действию периодической силы, приложенной в центре. Колебания диска передаются воздуху и таким путем достигают уха наблюдателя. Как и в случае передатчика, эффективность достигает максимума тогда, когда намагничение якоря еще очень далеко от насыщения. [c.489]

Я нашел эту проблему гораздо более трудной, чем это представлялось мне ранее, и встречал в ней почти всюду непреодолимые препятствия. Тем не менее, я собрал приложенные к сему статьи, из которых некоторые смогут послужить для более полного определения состояния данного вопроса, решение которого остается за Вами. Я прочитал также. Милостивый государь, Ваш превосходный труд о великом принципе покоя и без лести имею честь уверить Вас, что ценю разработку этой темы неизмеримо больше, чем наиболее изящные решения частных проблем. В самом деле, я убежден, что повсюду природа действует согласно некоему принципу максимума или минимума, а обнаружение в каждом случае этого максимума или минимума и есть, по моему мнению, не только очень возвышенная, но также очень полезная для углубления нашего познания задача мне кажется также, что именно в этом следует искать подлинные основы метафизики. Одновременно я считаю Ваш принцип более общим, чем Вы предполагаете, и убежден, что он имеет место в системе любых тел, находящихся в состоянии покоя, где каждая частица в определенном направлении подвергается действию движущей силы Р взяв в том же направлении элемент пространства dz, по которому указанная частица перемещается за бесконечно малое время dt, если она будет свободна от этой системы, я говорю, что Pdz будет максимумом или минимумом, но признаю, что в этом случае данный принцип не может быть доказан геометрически, как Вы это сделали. В конце моего трактата об изопериметрах я вывел упругие кривые из принципа максимума или минимума, который мне сообщил господин Бернулли и который, как я теперь вижу, совершенно естественно вытекает из Вашего принципа. В том же месте я показал также, что в движениях природа постоянно соблюдает определенный максимум или минимум, и я определил при помощи этого принципа все кривые траектории, которые должны описать тела, притягиваемые к неподвижному центру или друг к другу. [c.746]

Покажем сначала, что Ф(Хх, Х2, > О, Хз > 0Л1редположим противное пусть существует точка, в которой Ф < 0. Из принципа максимума (см. Приложение 1) и краевых условий (Ф = О, (х , Х2) К С) следует, что функция Ф(хьх2,хз) может достигать своего отрицательного минимального значения Ф(Х1,л 2, О лишь в некоторой внутренней точке М области С плоскости Хз = 0. Однако в силу условия (3.3.16) ЭФ/Эхз(х1, , 0) < О, что противоречит усиленному принципу максимума Хопфа (см. Приложение 1). Таким образом, Ф(Хх, Х2, Хз) > О в / +. В частности, Ф(Х1,Х2,0) = хх, Х2,0) > О, (х ,Х2) С. Далее, поскольку Ф(Х1,Х2,0) = О, ( 1, Х2) Е , а в Ф(хь 2, Хз) > О, то ЭФ/Эхз(х1, Х2, 0)> О, (хь Х2) . Утверждение доказано. [c.106]

Выше было уже отмечено, что в сороковых и пятидесятых годах специалисты, работавшие в области приложений, столкнулись с большим числом серьезных проблем оптимального управления. Большинство этих зада решалось методами классического вариационного исчисления, которые по ходу дела приспосабливались к этим задачам. В этот период ощущалось отсутствие общего критерия оптимальности, широкого по содержанию, строго обоснованного и удобного по форме для задач управления. Постановка общей задачи об оптимальном управлении при условии минимума времени Т переходного процесса, о которой шла речь в предыдущем параграфе, вызвала серьезный интерес у математиков. Результатом этого интереса явилась математическая теория оптимальных процессов, разработанная в 1956—1960 годах Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко и подытоженная этими авторами в их известной монографии Математическая теория оптимальных процессов (1961). Эта фундаментальная теория базируется на принципе максимума, указывающем необходимые условия оптимальности для основного круга проблем программного управления. Принцип максимума учел по существу типичные особенности этих проблем, удовлетворив насущные запросы теории управления. [c.187]

В математической теории оптимальных процессов используются достаточно широкие классы управляющих воздействий, которые, как правило, являются либо кусочно-непрерывными, либо измеримыми функциями. Такая идеализация реальных управлений позволяет получать изящные результат , к которым относится и знаменитый принцип максимума Л. С. Понтрягина. Между тем, многие используемые на практике управления, являясь инерционными, не могут мгновенно (с бесконечно большой скоростью) изменять свои значения. Учет инерционности управляющих воздействий приводит к задачам оптимального управления с фазовыми ограничениями и существенно усложняет как теоретические результаты (принцип максимума), так и конструктивные методы решения. В настоящем параграфе исследуется важная для приложений [64] промежуточная ситуация, когда используются инерционные управления, но их инерционность достаточзю мала. Для решения задач оптимизации динамических систем в классе малоинерционных управлений предлагается асимптотический метод, который позволяет обойти трудности, связанные с наличием фазовых ограничений. При применении асимптотического подхода дело сводится к решению базовой задачи без фазовых ограничений и к сравнительно несложной коррекции точек переключения ее оптимального управления, которая позволяет получить решение исходной задачи с любой наперед заданной асимптотической точностью. [c.151]

Принцип Остроградского — Гамильтона часто называют принципом наименьшего действия. Такое наименование может быть присвоено этому принципу только с некоторыми существенными оговорками. Дело в том, что наименьшее значение действие. 8 имеет не между двумя любыми положениями, а только тогда, когда начальное положение (А) и конечное (Б) достаточно близки друг к другу1>. Па перемещениях, превышаю1цих некоторую границу, действие 5, оставаясь стационарным, может не иметь минимума и даже оказаться максимумом. Впрочем, для приложений принципа Остроградского — Гамильтона в теории колебаний достаточно установленного факта — обращения в нуль первой вариации 8 на действительном перемещении. Поэтому другие свойства действия 5 здесь не рассматриваются [Ф. Р. Гантмахер, 12]. [c.37]

В письме от 28 января 1741 г. Даниил Бернулли спрашивал Эйлера, может ли он решить проблему центральных сил методом изопериметров. Эйлер нашел решение этой задачи в марте 1743 г. В 1744 г. оно было опубликовано им в приложении Об определении движения брошенных тел в несо-противляющейся среде методом максимумов и минимумов к знаменитой книге Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле . Эйлеру, как правильно указывает Серре ), принадлежит исторически первая отчетливая идея математического содержания, которое вкладывается наукой в принцип наименьшего действия. Именно Эйлер в 1744 г. в указанном приложении показал, что для траекторий, описываемых под действием центральных сил, интеграл vds, где v — скорость, всегда равен минимуму или максимуму. Эйлер не дал этому выражению какого-либо специального наименования. [c.788]

После ряда попыток Эйлер прекратил свои исследования, связанные с принципом наименьшего действия, хотя эта область очень интересовала его как приложение разработанных им методов отыскания кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума. Все это показывает, что хотя Эйлер и не освободился полностью от влияния телеологического финализма Мопертюи, он, однако, стремился, так сказать, математизировать принцип наименьшего действия. Эйлер, несмотря на использование им терминологии Мопертюи, сформулировал идеи, далеко превосходящие ограниченные и односторонние высказывания Мопертюи. Эйлеру принадлежит первая точная и математически плодотворная формулировка принципа наименьшего действия, открывшая новые горизонты для подлинно научного применения. [c.792]

В 1697 г. И. Бернулли поставил еще одну задачу на минимум провести кратчайшую линию между двумя заданными точками на произвольной поверхности. Первые исследования этой задачи выполнены Лейбницем и Я. Бернулли, но наиболее важный результат найден самим И. Бернулли. Он показал, что в любой точке кратчайшей линии соприкасающаяся плоскость перпендикулярна к касательной плоскости к поверхности, что, как известно, является основньш свойством геодезических линий. Понимая всю важность задачи о геодезических линиях, И. Бернулли, хотя и не опубликовал сразу найденный результат (он сообщил его в конце 1728 г. Упсальскому профессору Клингенштерну, а напечатаны его работы о геодезических линиях были лишь в 1742 г.), но предложил заняться этой задачей своему ученику Л. Эйлеру. Эйлер, которому тогда был 21 год, нашел (в 1728 г.) общее решение поставленной задачи. Четыре года спустя Эйлер опубликовал мемуар, в котором изопериметрическая задача была сформулирована в общем виде Затем во втором томе своей Механики , вышедшем в 1736 г., Эйлер снова занялся исследованием геодезических линий и решил изопериметрическую задачу о брахистохроне заданной длины. В 1741 г. Д. Бернулли поставил перед Эйлером проблему определить движение тела (материальной точки) под действием центральных сил методом изопериметров. Эйлер опубликовал найденное им решение в 1744 г. в приложении Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов к знаменитой книге Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле . Именно Эйлеру принадлежит исторически первая отчетливая идея математического содержания, которое вкладывается наукой в принцип наименьшего действия. Именно Эйлер в 1744 г. в указанном приложении показал, что для траекторий, описываемых [c.197]

Лрименение электрохимической защиты для устранения коррозионного фактора возможно приложением тока извне или путем присоединения к конструкции, подверженной коррозионному растрескиванию, другого металла с более отрицательным потенциалом — протектора (принципы применения электрохимической защиты рассматриваются в главе XVII). Эффективное действие этого метода защиты в отношении предотвращения или уменьшения коррозионного растрескивания зависит от природы металлов и сплавов, характера агрессивной среды, применяемой плотности тока и других факторов. На фиг. 88 показано влияние катодной поляризации на склонность к коррозионному растрескиванию магниевого сплава МАЗ в растворе Na I 4- ЬКоСГоО-. Как видно из хода кривой, с увеличением плотности тока время до разрушения возрастает, достигая максимума при плотности тока [c.107]

При разработке методики испытаний мы придерживались принципа получения максимума информации при возможном минимуме затрат. Поэтому были тщательно отобраны те методы, которые не требуют сложных, трудоемких и дорогостоящих исследований. Использование тонких физических методов исследования не добавляют слишком много новых штрихов к "трибологическому портрету . Все дело в том, что эти методы исследования позволяют оценить те процессы, которые протекают в локальных областях на самых низких масштабных уровнях. Хотя это и представляет несомненный научный интерес, с практической точки зрения, как правило, важнее те процессы, которые протекают на верхних уровнях трибосистемы. В то же время некоторые практические приложения требуют изучения процессов на микроуровнях. Так, при разработке смазочных материалов исследования влияния их составляющих на структуру вещества пограничнрго слоя требуют привлечения тонких физических методов исследования. [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...