Векторное и скалярное произведения двух векторов

В соответствии с этим принято говорить, что векторное произведение является знакопеременным (в противоположность коммутативности, к>оторой обладает произведение двух чисел, произведение вектора на число и скалярное произведение двух векторов). [c.34]

Оператор А самосопряженный, если для двух произвольных векторов Ь, с имеем с АЬ = Ь Ас. В нашем случае вектором будет векторное поле (0 )- Скалярное произведение двух векторов Wj и является интегралом [c.67]

Кроме векторного произведения, в механике нередко приходится встречаться и со скалярным произведением двух векторов. [c.174]

В этом параграфе латинскими буквами к, I обозначаются четырехмерные векторные индексы. Скалярное произведение двух 4-векторов а и Ь обозначается как (аЬ) аф . [c.251]

Скалярное и векторное произведения двух векторов. Даны два вектора а = Зх + 4у — 5z, Ь = —х + 2у -f- 6z. Рассчитайте, пользуясь векторными методами [c.63]

Правило дифференцирования скалярного и векторного произведений двух векторов также ничем не отличается от соответствующего правила в случае произведения функций. Иными словами. [c.182]

И. Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения двух векторов на третий [c.22]

Любая векторная функция может быть приведена к виду, который содержит первые или вторые степени вектора, скалярные и векторные произведения двух векторов или смешанное произведение трех векторов. Это означает, что равенства (3.21) —(3.24) вполне достаточны для перехода от векторной формы представления параметров к скалярной. Следует иметь в виду, что промежуточные преобразования легче выполнять с помощью векторных операций и лишь после получения конечного результата переходить к его скалярной форме. В последующих параграфах гл. 3 это будет показано на конкретных примерах. [c.44]

Напомним основные правила дифференцирования векторных функций по скалярному аргументу (в нашем случае — параметр времени г). В дальнейшем производные вектор-функций по параметру времени будем обозначать точками над их буквенными обозначениями. Производные скалярного и векторного произведений двух векторов х 1) и у (г) определяют по следующим равенствам соответственно [c.57]

Полный параллелизм формул влечет за собой параллелизм других формул, в первую очередь для более сложных произведений векторов и винтов (скалярно-винтового, двойного винтового, скалярного и винтового произведений, двух винтовых произведений и др.), и многих других формул векторной и винтовой алгебры. [c.68]

Знаки операций сложения и вычитания тензоров, умножения тензора на скаляр — обычные. Различные виды произведений двух тензоров обозначаются следующим образом скалярное — точкой между сомножителями, векторное — наклонным крестом, тензорное, а также диадное произведение двух векторов — смежным расположением сомножителей, без знака между ними. [c.18]

Векторным произведением двух векторов v и w является вектора ортогональный v и w это можно показать, взяв скалярное произведение [c.438]

Эти свойства векторной производной можно доказать совершенно так же, как доказываются аналогичные теоремы в дифференциальном исчислении. Точно так же нетрудно показать, что при дифференцировании произведения вектора а на скаляр X, или произведения двух векторов (скалярного или векторного) мы имеем то же самое правило, как и при дифференцировании произведения двух скалярных функций, т. е. о d (Ха) dX, da [c.251]

Здесь X G X С R — п-мерный вектор фазовых переменных, х = dx/ /i, i G е [0,+оо), f (х) G X —R . В дальнейшем скалярное произведение двух п-мерных векторов а и Ь будем обозначать (а Ь), а векторное произведение (при гг = 3) обозначим [ах Ь]. [c.429]

Полный параллелизм формул, который виден из этой таблицы, влечет за собой параллелизм во множестве других формул, в первую очередь формул более сложных произведений векторов и винтов (скалярно-винтового, двойного винтового, скалярного и винтового произведений, двух винтовых произведений и др.), а далее — во многих других формулах векторной и винтовой алгебры. [c.77]

Свободным вектором называется вектор, который может быть приложен в произвольной точке пространства. Свободный вектор в пространстве будем обозначать жирной буквой в скобках, например (о). Проекцию этого вектора на плоскость будем обозначать той же буквой а, но без скобок. Будем обозначать геометрическую сумму двух векторов (а,) и (Сз) через (01)+(Сз), их скалярное произведение через (а ) (02), их векторное произведение через (а,) X ( а)-Геометрическая сумма и векторное произведение свободных векторов—это всегда векторы, а скалярное произведение свободных векторов—всегда скаляр. [c.287]

Если векторное произведение двух векторов g и q — xq равно нулю, то это значит они коллинеарны, т. е. отличаются друг от друга только некоторым скалярным множителем Г [c.89]

Рассмотрим п-мерное евклидово пространство, т. е. действительное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение а-Ь двух произвольных векторов а и Б, так, что удовлетворяются следующие свойства — аксиомы [c.20]

Скалярно-векторное (смешанное) произведение трех векторов. Скалярно-векторным (векторно-скалярным или смешанным) произведением трех векторов а, Ь и с называют скалярное произведение одного из них на векторное произведение двух других. Возможны шесть таких произведений a (Ь х с), 6 (с X а), с (a X Ь), — a (с X Ь), — Ь (а х с), — с (Ь х а). Смешанное произведение трех векторов представляет собой скаляр и отличается свойствами ассоциативности (a х Ь) с = a (Ь х с), транзитивности (переместительности) (а, Ь, с) = —(6, a, с) = = (Ь, с, й) = —(с, 6, а) = (с, а, Ь) = —(а, с, 6), дистрибутивности (a + 6, 6, 3) = (а, , 3) -I- (6, с, 3), ассоциативности [c.40]

В то же время между скалярным умножением векторов и обычным умножением скаляров существует глубокое различие. Так, не существует скалярного произведения более чем двух векторов, а, следовательно, нельзя говорить об ассоциативном законе для векторных множителей. Далее, не существует деления как действия обратного скалярному умножению в самом деле, если известно произведение и один из сомножителей, то этого ещё недостаточно для однозначного, определения другого-сомножителя. Действительно, если [c.7]

Если учесть, 4Tods= drl, где dr — вектор элементарного перемещения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (4J) можно представить в виде [c.208]

Вторую группу составляет действие умножения векторов. Рассматриваемые в векторной алгебре скалярное и векторное умножения с алгебраической точки зрения неудовлетворительны, потому что первое из них выводит из класса векторов (скалярное произведение двух векторов (х, у) —Х1у1- -...- -ХпУп —скаляр, а не вектор), а второе не допускает обратного действия (деление на вектор не определено). [c.50]

ПДО в соболевских пространствах векторных полей на 5. Нам понадобятся теперь соболевские пространства вектор-функций на 5 и псевдодифференциальные операторы, действующие в этих пространствах. Более точно, эти функции будут векторными полями на 5, т. е. сечениями касательного расслоения Т8 (см. п. 3 33). Мы сохраним для соболевских пространств векторных полей обозначение Я (5). В пространстве Но 8) векторных полей скалярное произведение двух полей ф, ф, локально записанных в виде Ф = у е1 + Л2 и ф = ш е] + ш е2, определяется формулой [c.392]

Умножить вектор А на число А значит получить новый вектор В, параллельный А и по длине равный 1 А если Я < О, то направления А ж В противоположны. В В. и. различают два вида произведений векторов скалярное и векторное. Скалярное произведение двух векторов есть число оно равно нроизведеиию из длины одного вектора на проекцию второго в направлении первого. Для изображения скалярного произведения двух векторов пишут эти векторы рядом без всякого знака между ними AB = AB ,osa, где а — угол между А и fi. Легко видеть, что скалярное произведение обладает переместительностью и распределительностью относительно сложения [c.209]

Обозначается диада при помощи рядом поетаилепных векторов аЬ без каких-либо знаков между ними. Диаду можно рассматривать как третью операцию умножепич вектора на вектор — диадное произведение двух векторов, приводящее, в отличие от скалярного и векторного произведений, к тензору. [c.119]

Используя правила скалярного и векторного произведений двух векторов, легко получить и основные особениостн -произведений трех векторов смешанного а (Ь X с) и двойного векторного аХ(ЬХс). [c.327]

В обозначениях скалярного и векторного произведений двух векторов в литературе царит большой разнобой. Так, скалярное произведение векторов а и 6 одни авторы [Гиббс (Gibbs ), Лагаллн [c.376]

Произведения двух векторов. В вектор- ном ирчислении рассматривают два вида умножения векторов скалярное и векторное. [c.6]

Для изучения курса необходимо иметь соответствующую математическую подготовку. Во всех разделах курса, начиная со статики, широко используется векторная алгебра. Необходимо уметь вычислять проекции векторов на координатные оси, находить геометрически (построением векторного треугольника или многоугольника) и аналитически (по проекциям на координатные осп) сумму векторов, вычислять скалярное и векторное произведения двух векторов и знать свойства этих произведений, а в кинематике и динамике—дифференцировать векторы. Надо также уметь свободно пользоваться системой прямоугольных декартовых координат па плоскости и в пространстве, знать, что такое едтшчные векторы (орты) этих осей и как выражаются составляющие вектора по координатным осям с помощью ортов. [c.3]

Во всех случаях -—АВ АВ АВ. Если АВ фо, но АВ — 0, то AJlB- По определению АА — А = А . Квадрат вектора равен квадрату его длины. Если = 1, то m называется единичным вектором. Примером скалярного произведения является работа Т постоянной силы F, действующей под углом а при перемещении s материальной точки T = Fs = Fs os а. Другие обозначения скалярного произведения [АВ), (А, В), А В). Векторное произведение двух векторов А и В есть вектор S, перпендикулярный к плоскости АВ, направленный в сторону движения правого [c.209]

Использование представления тензора инерции в векторной форме с помощью диадных произведений векторов (диад) при выполнении действий векторной алгебры имеет такие удобства, как краткость записи, наглядность. Обозначается диада написанием рядом двух векторов без знака между ними в отличие от скалярного и векторного произведения. Диадное произведение аЬ двух трехмерных векторов а и Ь определяет тензор второго ранга, компоненты которого составляют матрицу, вычисляемую по следующему правилу (нижними индексами обозначены проекции векторов на ортогональные оси коорданат) [c.39]

Рис. 46. Симметрия. На многообразии положений классической натуральной вястемы (изображен случай двух степеней свободы, например точка на поверхности) действует семейство отображений Pi— P (возьмем, как принято, группу, хотя это и не обязательно), обладающее тем свойством, что в любой сопутствующей , увлекаемой системе координат 5i, j выражение лагранжиана получается одним н тем же. Тогда имеет место интеграл движения, представимый в виде скалярного произведения (в метрике многообразия положений, задаваемой квадратичной по скоростям частью лагранжиана) вектора скорости с порождающим группу векторным полем и. Особенно просто отображения симметрии выглядят в системе координат q, Q2, из которых одна — циклическая тогда соответствующие координатные линии являются интегральными для порождающего поля, а отображения представляются сдвигами вдоль этих линий. Таким образом, понятие симметрии есть инвариантная (не зависящая от выбора координат) переформулировка наличия циклической координаты. Исключение этой координаты из рассмотрения по Раусу (переход к правой части рисунка) на инвариантном языке начинается с факторизации — перехода к новому многообразию меньшей размерности, каждой точке которого отвечает целая траектория группы симметрий многообразия положений

В скалярном тройном (смешанном) произведении ( 1X62) вз скобки можно опустить. Операция векторного умножения тогда должна быть выполнена первой и только затем уже производится скалярное умножение. Из проведенного доказательства видно, что смешанное произведение не изменяется при любой циклической перестановке векторов и умножается на —1 при перемене места двух векторов. Кроме того, эта величина сохраняется при перестановке символов X и и становится равной нулю, когда два вектора-сомножителя равны или параллельны, либо когда один из векторов является линейной комбинацией двух других. [c.18]

Винтовое исчисление Котельникова выросло из доказанной им теоремы 340 о так называемых винтовых интегралах , частными случаями которых являются интеграл движения центра тяжести системы материальных точек и интеграл площадей. Изучая образование из двух винтовых интегралов третьего при помощи скобок Пуассона, Котельников приходит к операции умножения винтов, аналогичной векторному умножению векторов. Эта операция вместе с операциями, определенными Боллом, позволила Котельникову построить исчисление винтов, вполне аналогичное векторному исчислению. Вияты, представляющие собой совокупности двух коллинеарных, скользящего и свободного, векторов а и а, он записывал также в форме параболических бивекторов a=a-f-ea (е2=0) Клиффорда. По аналогии со скалярным и векторным произведениями Гамильтона Котельников определял скалярное и винтовое произведения винтов аир как скалярную и винтовую части 5ар и Fap произведения ар бивекторов аир. Заметим, что относительный момент двух винтов у Болла представляет собой сумму скалярных произведений скользящих и свободных векторов двух винтов. [c.340]

Индефинитное, или диадное, произведение ). Для данных двух векторов а и Ь в дополнение к скалярному и векторному произведению введем индефинитное, или диадное, произведение этих векторов [c.41]

Скалярное произведение, так же как и векторное, обладает свойством распределительности, т. е. скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумж скалярных произведений каждого слагаемого на вектор-множитель. [c.176]

Векторное произведение rot К представляет собой вектор, пер-, пендикулярный векторам rot V и К. Скалярное произведение этого вектора и вектора ds будет равно нулю в двух случаях когда век-. тор d совпадает с направлением линии тока (траектории) или когда этот вектор совпадает с направлением вихря. В этих двух случаях действительно решение уравнения движения [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...