Бивектор

Этим мы установили связь между векторным произведением и антисимметричной частью мультипликативного тензора второго ранга. Антисимметричная часть мультипликативного тензора второго ранга называется также бивектором ). Как видно из предыдущего, компоненты бивектора (опуская коэффициент 1/2) можно записать так [c.49]

ПОНЯТИЕ О ВИНТОВОМ ИСЧИСЛЕНИИ И ОПЕРАЦИЯХ НАД БИВЕКТОРАМИ И ВИНТАМИ [c.63]

В соответствии с утвержденным А. П. Котельниковым принципом перенесения все теоремы и правила векторной алгебры и векторного анализа справедливы и для комплексных векторов — бивекторов. [c.64]

Бивекторы называют также дуальными векторами, поскольку под понятием бивектор объединены два вектора. [c.64]

Приведем свойства бивекторов и формулы основных операций над бивекторами и винтами [126], [35]. Бивектор а а,, - (оа, обращается в нуль, если одновременно а О и Oi 0. [c.64]

Модулем бивектора а называется комплексное число, определяемое по формуле [c.65]

Приведение винта к точке О, не лежащей на его оси I (параллельный перенос, рис. И). Известно, что свободный вектор переносится в любую точку параллельно самому себе свободно. Однако при переносе скользящего вектора Сц в точку О необходимо дополнить его моментом главного вектора относительно точки О или векторным произведением х Гд [91 ]. Этот дополнительный вектор перпендикулярен плоскости, вмещающей прямую / и точку О, и представляет собой свободный вектор (например, вектор линейной скорости). Поэтому необходимо его геометрически сложить с вектором Oj. Таким образом, при параллельном переносе винта получим бивектор [c.66]

Оо + MOj с осью / на некоторую ось II (рис. 10), с которой ось I составляет комплексный угол <р = <Ро + Фь нужно привести винт к какой-либо точке О на оси II, после чего полученный бивектор спроектировать на ось II. На рис. 10 указан вектор tto X (pi, полученный в результате приведения винта к точке (см. выше) и перпендикулярный векторам винта к точке О получим бивектор типа (10) [c.67]

Скалярное произведение двух бивекторов. Такое произведение бивекторов а = ад + (оа 1 и Р = Ро + Pi представляет собой комплексное число [c.68]

Все приведенные выше равенства справедливы и для единичных бивекторов (винтов) и могут быть получены из общих выражений при приравнивании единице комплексных модулей бивекторов (винтов). [c.69]

Бивектор sin- -u оси суммарного конечного поворота может [c.72]

Совокупности и представляют собой дуальные модули проекций бивектора а = а,, + на соответствующие оси трехгранников Ох х, х и 0 х х , причем векторные компоненты бивектора а определяются в каждой из систем при помощи следующих векторных равенств [c.75]

Как показал А. П. Котельников [57], сложное пространственное перемещение тела, определяемое шестью параметрами, может быть отображено одним комплексным вектором специального вида — бивектором или винтом. Оперирование такими объектами приводит к значительному упрощению промежуточных операций при решении задач, связанных со сложным пространственным движением тел, поскольку на бивекторы и винты в соответствии с принципом перенесения А. П. Котельникова могут быть распространены все правила векторного исчисления. [c.118]

Ф. М. Диментберг, применив формулу Родрига конечного поворота для бивекторов, разработал метод исследования положений и перемещений пространственных механизмов. Для исследования механизмов по этому методу должны быть заданы схема механизма, его относительные постоянные линейные и угловые параметры и функции движения ведущих звеньев. Основными искомыми величинами являются комплексные углы, составленные звеньями, представляющие собой вещественные углы относительного поворота и относительное поступательное перемещение звеньев. Для отыскания этих параметров производятся следующие операции. [c.118]

В теории пространственных механизмов иногда применяют термин винтовые методы исследования. Этим термином объединены методы, основанные на применении к исследованию движения пространственных механизмов винтового исчисления (см. гл. 9), что дает возможность представить уравнения движения в лаконичной форме, при которой шесть скалярных уравнений в проекциях заменяются одним уравнением относительно бивекторов или винтов. [c.191]

Метод Ф. М. Диментберга базируется на распространении формулы О. Родрига конечного поворота на операции с винтами и бивекторами (см. п. 22). При этом для вывода уравнений для определения параметров движения механизмов используются основные алгебраические операции над бивекторами, в результате чего после разделения вещественных и моментных частей комплексных уравнений получаются алгебраические уравнения относительно искомых параметров. [c.191]

Здесь уместно заметить, что в аналитических методах кинематического анализа пространственных механизмов в настоящее время используются все достижения современного математического аппарата теория множеств, теория групп, матрицы, тензоры, бивекторы, винты и винтовые аффиноры. И тем не менее успех решения поставленной задачи в каждом конкретном случае анализа пространственного механизма зависит не от формы записи основных уравнений, а от выбора системы координатных осей и геометрии применяемых преобразований. Особенно наглядно это свойство задач кинематического анализа пространственных механизмов можно проследить, если обратиться к обобщающей монографии П. А. Лебедева, В ней не только дан сравнительный анализ различных методов, но и предложен новый метод, позволяющий использовать минимальное число применяемых систем координат. [c.4]

Если в начертательной геометрии Г. Монжа основным элементом являются точки и образованные ими линии и поверхности, то в редуктивной геометрии, рассматривающей задачи пространственной механики, основным элементом служит вектор и его производные (бивекторы-винты и т. д.). [c.152]

Здесь i, M и m — проекции бивектора я на координатные оси i, / и k — орты. [c.158]

Геометрическая сумма указанных бивекторов дает тотальный бивектор Ф. [c.158]

В том случае, когда мы имеем крест бивекторов РМ и расстояние между которыми равно А, а угол скрещивания 0 (фиг. 94, б), то кроме взаимного произведения PV + QM) ( os 0 + е sin 0) будет существовать момент РА от приведения вектора Р в плоскость-действия вектора Q. Таким образом, будем иметь комплексный крест К = Ks + или [c.181]

Параметр q = - бивектора РМ определяется тензором вращения q на той же весовой линии точкой D. [c.183]

В зависимости от отношения векторов Р м Р ось приведения i занимает на прямой А = аЬ различные положения, вращаясь и перемещаясь вдоль ее. Геометрическое место осей бивектора РМ образует линейчатую фигуру цилиндроида (фиг. 96). Изображение цилиндроида на плоскости дано на той же фигуре справа. [c.183]

Найденный нами вектор с компонентами j называется дополнением к бивектору с компонентами Он совпадает с векторным произведением ахЬ. Эти понятия можно обобщить на пространство произвольного количества измерений, а также перейти от бивекторов к поливекторам. При этом выясняется, что векторное произведение существует как вектор лишь в трехмерном пространстве. Чтобы выяснить еще некоторые существенные свойства тензоров, рассмотрим применение косоугольных декартовых координат. [c.49]

Итак, совокупность векторов Й и v называют ошхктором (или винтом), причем Q называют его главным вектором, v — его моментом, точку О — точкой приведения и р, q, г, а, Ь, с — плюкеровыми координатами Таким образом, винт представляет собой частный случай бивектора, у которого оси вектора и момента совпадают. Очевидно, что при Q = О тело совершает поступательное движение и при v О движение тела есть чисто вращательное в этих случаях бивектор (/>, q, г, а, Ь, с) принимает част-Hiiie значения (О, О, О, а, Ь, с) и (р, q, г, О, О, 0). [c.64]

Символ Клиффорда. Из изложенного следует, что любой вектор р (т, п, I) с проекциями т, а и / может характеризовать одновременно два бивектора (О, О, О, /, т, п) и (/, т, а. О, О, 0). Чтобы внести различие между ними, за бивектором (/, т, и, О, О, 0) сохраняют то же обозначение р, что и за соответствующим вектором, а бивектор (О, О, О, I, т, п) обозначают где ы — символ Клиффорда [126]. Но поскольку символу р придано двойственное значение, символу ы также должен быть придан двойной смысл. Именно, если р — вектор, то и со должен приписывать р смысл вектора, определяющего бивектор (О, О, О, I, т, п) поступательного движения тела. Если же р — бивектор (/, т, п, О, О, 0), то символ о), будучи умноженным на бивектор р, даст бивектор (О, О, О, /, т, п) или, иначе говоря, в последнем случае символ и преобразует бивектор вращательного движения в бивектор поступательного движения. Опираясь на теорию кватернионов, можно показать [57], что для того, чтобы скалярное произведение бивекторов [c.64]

Поскольку для определения оси винта достаточно указать четыре независимых параметра (см. гл. 19, п. 42), а характеристика винта дополняется параметром Я, то нятн независимых параметров достаточно для определения винта. Из этого следует, что илюкеровы координаты винта или бивектора однородны (см. Гл. 6, и. 15). [c.64]

Вектоное произведение. Это произведение, называемое также винтовым [47 произведением бивекторов аир, представляет собой бивектор [c.68]

Плюкеровы координаты этого бивектора (Р, Q, R, А, В, С) в системе координат Охуг вычисляются по правилам векторной алгебры [c.68]

В книге излагаются основы новой графической статики и кинематики плоских и пространственных стержневых систем и механизмов. Рассматриваются также задачи динамики твердого тела, элементы прикладного графического анализа и т. п. В качестве математического аппарата используются весовая линия , векторы и их производные, бивекторы и тервекторы. Результаты графических операций с использованием математического анализа в одинаковой степени переносятся как в статику, так и в кинематику. Этим достигается общность и единство исследования задач векторной геометрии и механики. [c.2]

Особое значение в нашей работе отводится тотальным (комплексным) бивекторам Ф, тервекторам Т и кватервекторам Q, которые по своей общности охватывают все разделы векторной геометрии и механики. Так, например, внутренняя составляющая 5 тотального бивектора Ф = S + ея определяет работу пространственных сил, а внешняя я — импульс сил и количество движений. Аналогично, внутренняя составляющая и тотального тервектора Г = ы + еш выражает определитель третьего порядка, а внешняя W — тройное векторное произведение. Здесь е — орт, тензор которого 6 = —1. [c.151]

Унитарный орт е = t osa + / os Р + fe os у имеет координатами направляющие косинусы. Следовательно, всякую площадь, как бивектор, можно разложить на три площади, лежащие в трех плоскостях. В векторной плоскости содержится также внутренний бивектор, определяемый произведением [c.158]

Скалярная часть внешнего тервектора представляет собою объем некоторого пространства,имеющего форму параллелепипеда, основанием которого служит внешний бивектор Р1Р2 sin 0 = л, а высотой кратчайшее расстояние А. Произведение А Sin 0 называется моментом двух линий Sj и действия векторов. Векторная часть определяет тройное векторное произведение. [c.174]

Комплексные бивекторы определяются не только скалярно-век-торной суммой, но и произведением верзора и на тензор т. Переходим к определению верзора. [c.180]

Приведение векторного креста к эквивалентной системе винта (бивектора), и наоборот, не зависит от системы координат. Так, например, чтобы векторный крест Р1Р2А sin 0 (фиг. 95), образованный скрещивающимися векторами Pi и привести к бивектору, поступаем следующим образом. Проектируем заданные векторы на плоскость приведения и складываем их, получая амплитуду бивектора Р и направление оси приведения i. Для определения положения оси г, на диаметре = А откладываем тензоры сдвига Pi и Рг в точках и приложения векторов Pi и Р . Складывая pi и с помощью весовой линии 2 2 находим л 82 [c.182]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...