Метод Монте-Карло и метод молекулярной динамики

На основе метода Монте-Карло и метода молекулярной динамики проведены расчеты различных термодинамических свойств системы частиц с потенциалом Леннард—Джонса. [c.207]

Метод Монте Карло и метод молекулярной динамики [c.300]

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО И МЕТОД МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ 301 [c.301]

Фиг. 7. Уравнения состояния системы твердых дисков, полученные методом Монте-Карло и методом молекулярной динамики при средних значениях

Существуют два метода численного расчета метод Монте-Карло (ММК) и метод молекулярной динамики (ММД). Каждый из них имеет свои особенности. К достоинствам ММК следует отнести возможность расчета параметров квантовых систем, в то же время ММД позволяет изучать неравновесные процессы. Рассмотрим эти методы. [c.183]

Успехи теории классич. плазмы связаны с проведением перенормировки взаимодействия, если она позволяет выделить новые квазичастицы (кластеры, квазиатомы и др.) и с использованием методов машинного эксперимента — Монте-Карло метода и молекулярной динамики метода. [c.254]

В настоящее время при моделировании в рамках методов Монте-Карло и молекулярной динамики наиболее широкое распространение получили эмпирические потенциалы парного межатомного взаимодействия. Вид таких потенциалов определяется некоторой параметрической функцией или набором функций (при этом для точек сшивания необходимо выполнение ряда условий). [c.209]

В заключение можно смело сказать, что результаты методов Монте-Карло и молекулярной динамики порознь, безусловно, указы- [c.340]

Вопрос о фазовом превращении в однокомпонентной смеси окончательно не решен. В еще большей степени это справедливо в применении к детальному поведению фазовой диаграммы бинарной смеси. Здесь приходится ограничиться констатацией того факта, что результаты методов Монте-Карло и молекулярной динамики определенно не дают каких-либо признаков критических явлений смешивания в жидкой фазе при тех плотностях, где недостаточно хорошо определяются свойства чистых систем. [c.359]

Метод молекулярной динамики по сравнению с методом Монте-Карло построен на более простом принципе и состоит в решении системы -уравнений Ньютона для системы N тел (проведение аналогичных расчетов в квантовой области для N порядка десятков частиц при современном уровне развития вычислительной техники нереально). [c.189]

Системы твердых дисков и твердых сфер являются наиболее изученными методом молекулярной динамики и методом Монте-Карло. Потенциал взаимодействия между частицами в этих случаях имеет простейший вид, что значительно сокращает используемое машинное время и позволяет взять достаточно большое количество частиц. При этом при одинаковом числе частиц система твердых дисков эффективно значительно больше системы твердых сфер, и в ней граничные эффекты сказываются значительно слабее. [c.198]

Результаты исследований уравнений состояния для системы твердых дисков как методом Монте-Карло, так и методом молекулярной динамики хорошо согласуются между собой, включая и область фазового перехода. Разброс точек обусловлен различными факторами, к которым можно отнести ошибки, связанные со статистическим разбросом ( о(Ы )), эргодичностью, эффектом, возникающим в результате подавления флуктуаций импульса в методе молекулярной динамики, и т. п. [c.199]

Таким образом, метод молекулярной динамики и метод Монте-Карло позволяют полностью описать систему твердых дисков и систему твердых сфер, определить их термодинамические свойства. [c.204]

В (10.52) да — граница действия притягивающего потенциала, е — глубина ямы, а — диаметр твердой сердцевины, д — численный параметр. Если положить е = 0, то (10.52) переходит в потенциал твердых сфер. То же имеет место для свойств термодинамических функций, если Т- оо. Рассмотрим вначале результаты расчетов для потенциала вида (10.52). Расчеты здесь были проведены как методом Монте-Карло, так и методом молекулярной динамики. В одномерном случае была исследована система для 1=150 методом Монте-Карло. При понижении температуры Т здесь образуются плотные кластеры. Уравнение состояния в этом случае получено не было. Если е/0<СЕ то кластеры образуются даже при д<2. Расчеты проводились и для трехмерной системы с потенциалом (10.52) как методом Монте-Карло ( =1,50), так и методом молекулярной динамики ( —1,85). Уравнение состояния такой системы записывают в виде [c.205]

Не следует, однако, думать, что методы, основанные на исследовании динамического описания физических систем с помощью описания эволюции отдельных частиц, входящих в упомянутые системы, являются бесплодными. Более того, методы молекулярной динамики и методы Монте-Карло являются одним из наиболее мощных инструментов теоретического описания физических систем. Однако число наблюдаемых в системе частиц относительно невелико и редко превышает 10 частиц. [c.7]

Проблема определения термодинамических свойств плотных смесей не может быть успешно решена без построения адекватной модели вещества. Среди наиболее последовательных и строгих ме-г тодов моделирования реальных систем многих частиц особое место занимают методы машинного моделирования Монте-Карло и молекулярной динамики. Данные о свойствах моделей вещества, полученные при расчетах этими методами, являются, с одной стороны, проверкой различных теоретических подходов, а с другой - имеют эвристическую ценность, будучи исходной посылкой для различных теоретических построений. [c.103]

Наиболее распространены три основных метода расчета термодинамических функций кластера метод нормальных колебаний — мод (NM) [156], метод молекулярной динамики (MD) [157—160] и метод Монте-Карло (МС) [161—163]. [c.38]

ВВЕДЕНИЕ МАЛЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ Л-УГ-АНСАМБЛЯ МЕТОДЫ NpT-АНСАМБЛЯ ЭРГОДИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ДАЛЬНЕЙШИЕ ДЕТАЛИ СРАВНЕНИЕ С МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ РАСЧЕТЫ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕТОЧНОГО ГАЗА И РОДСТВЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ТВЕРДЫЕ СТЕРЖНИ ТВЕРДЫЕ ДИСКИ ТВЕРДЫЕ СФЕРЫ СМЕСИ ТВЕРДЫХ СФЕР МОЛЕКУЛЫ С ПОТЕНЦИАЛОМ В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЯМЫ ПО-ТЕНЦИАЛ ЛЕННАРДА-ДЖОНСА И ПОДОБНЫЕ ЕМУ ЗАКЛЮЧЕНИЕ [c.275]

Имеются сообщения [84, 74] о расчетах методом Монте-Карло бинарных смесей твердых сфер различных диаметров. Кроме того, существуют расчеты подобных систем методом молекулярной динамики [3], которые можно использовать для сравнения. Обозначим через СТ1 и Стг (0 1 < Тг) диаметры молекул, через N1, и У — число молекул и полный объем. Тогда уравнение состояния смеси принимает вид [c.354]

Вместо того чтобы пытаться построить статический образец случайной плотно упакованной структуры, содержащий сотни или тысячи атомов, мы можем получить почти такую же информацию из расчетов по методу Монте-Карло (см., например, [64]). При этом рассматриваются многие разрешенные конфигурации относительно небольшого числа атомов и взвешиваются в соответствии с вероятностью их реализации в термодинамическом ансамбле. Аналогичные сведения получаются и по методу молекулярной динамики (см., например, [65—67]). В этом случае атомам разрешается двигаться и сталкиваться друг с другом так, как это бывает в реальных физических объектах. Указанные методы необходимы для изучения моделей жидкостей с должными межатомными силами в состоянии теплового равновесия (см. 6.6). Можно показать [58], что в предельном случае твердых шаров эти методы эквивалентны статической модели Бернала. [c.98]

Выяснение обстоятельств плавления или таяния следует отнести к самым замечательным достижениям метода машинного моделирования. Как показано в 2.11, система взаимно непроникающих объектов может образовать либо упорядоченное твердое тело , либо топологически неупорядоченную, плотно упакованную жидкость достаточно малой плотности. Машинные эксперименты с однозначностью показали, что эти два состояния не могут непрерывно переходить одно в другое. Это почти устойчивые альтернативные состояния, в которых данная система может стабильно существовать в широком диапазоне плотностей и температур (рис. 6.7). Первоначально это было показано для довольно маленьких систем твердых шаров как методом молекулярной динамики [30], так и методом Монте-Карло [39]. [c.274]

Как видно из фиг. 6, в области низкой плотности (при т 1,4) все численные результаты, полученные методом Монте-Карло и методом молекулярной динамики, сходятся при больших т к аппроксиманте Паде. Этого можно было ожидать, поскольку, начиная с т = 4, аппроксиманта Паде очень слабо отличается (в пределах 0,1%) от прямого вириального разложения с шестью вириальными коэффициентами, что свидетельствует о пренебрежимо малом вкладе членов высших порядков нри таких плотностях. Результаты, полученные при N = 72 методом молекулярной динамики, систематически лежат выше кривой, соответствующей аппроксиманте Паде, в отличие от результатов Монте-Карло, которые, как правило, лежат ниже. Такое различие, по-видимому, обусловлено совокупностью следующих причин а) фактическим расхождением результатов на величину порядка О для одного и того же ансамбля (ср. результаты Монте-Карло для ТУУГ-ансамбля при = 12 и Л" = 48) [c.328]

Фиг. 6. Те же результаты, что и на фиг. 5, представленные в форме отклонения Аф = ф — фз з результатов метода Монте-Карло и молекулярной динамики от аннроксиманты Паде (121).

Такое поведение результатов, найденных для систем твердых дисков методами Монте-Карло и молекулярной динамики, наряду с аналогичными свойствами результатов расчетов для систем твердых сфер позволяет предположить наличие фазового превращения первого рода жидкость (газ) — твердое тело в этом интервале значений плотности или вблизи его. Наиболее определенным подтверждением этого пока служат уже упоминавшиеся результаты метода молекулярной динамики (Олдер и Вайнрайт [7]) для N = 870 твердых дисков, указывающие на существование вандерваальсовой петли на ф — т-изотерме (фиг. 7). Принципиальная неопределенность связана с вопросом о полноте динамического усреднения по всем возможным состояниям при каком-либо одном значении плотности, лежащем на петле. [c.336]

Фиг. 25. Уравнение состояния эквимолярной бинарной смеси твердых сфер. Приведенные параметры определяются соотношениями (135). Сплошными кривыми изображены Н - и В -ветви уравнения состояния однокомпонентной системы (г = 1), -рассчитанные методами Монте-Карло и молекулярной динамики. Изображенная штриховой линией часть В -ветви определена очень приближенно. 7—результаты работы 174], г = 1,1 2 — результаты работы [84], г = 1,6 67 3 — результаты работы [3], г= 3,0.

В качестве уравнения состояния чистых компонентов. Как указывалось в 12, п. 2, эта аппроксиманта Паде дбвольно точно соответствует жидкостной ветви уравнения состояния, вычисленного методами Монте-Карло и молекулярной динамики, вплоть до области предполагаемого фазового перехода, а, возможно, также и продолжению этой ветви в область метастабильной жидкости вплоть до плотностей порядка ф = 15. Все значения и фг, использованные [c.357]

Действительно, веский аргумент в пользу формулы Перкуса — Йевика состоит в том, что полученные с ее помош,ыо результаты очень хорошо согласуются с расчетами по методам Монте-Карло и молекулярной динамики. Кроме того, у нее есть еш,е одно ценное свойство для системы твердых шаров интегральное уравнение для прямой корреляционной функции можно решить точно. Согласно формуле (2.44), эта функция должна быть равна нулю при 7 > с другой стороны, при она представляется в виде полинома [92-94] [c.112]

Как утверждают опытные практики (см. [25] и [2.64]), в смысле эффективности вычислений методы Монте-Карло и молекулярной динамики мало отличаются друг от друга. Однако в предельном случае большой плотности оба они наталкиваются на серьезные принципиальные затруднения. В самом деле, рассмотрим гране-центрированную кубическую решетку из почти соприкасающихся твердых шаров. Тогда ни динамическим путем, ни путем случайных блужданий нельзя перейт в какую-нибудь другую конфигурацию, в которой бы, например, некоторые шары поменялись местами или все они образовали другую столь же плотно упакованную решетку, скажем гексагональную с плотной упаковкой. Иначе говоря, здесь нельзя получить полный равновесный ансамбль — траектория в фазовом пространстве будет лишь квази-эргодической. Указанная трудность тесно связана с явлением плавления и с фактом сосуществования метастабильных состояний в условиях квазиравновесия. Избежать эти трудности при машинном моделировании переходов порядок — беспорядок до сих пор не удалось. [c.274]

Метод молекулярной динамики, а также метод Монте-Карло показали геометрический характер перехода между упорядоченной и однородной фазами, что явилось подтверждением эмпирического закона Линдемана, который описывает плавление широкого класса веществ. В первоначальной своей формуле закон Линдемана сводился к утверждению, что плавление вещества начинается тогда, когда объем твердого тела увеличится примерно на 30% по сравнению с объемом в плотноупакованном состоянии при о К. Закон Линдемана обычно записывают через отношение потенциальной энергии для максимального смещения атома к его кинетической энергии, аппроксимируя движение атома гармоническим приближением и выражая упругую постоянную через температуру Дебая. Такой подход, однако, затемняет геометрическую природу фазового перехода, так как может сложиться впечатление, что такой переход может произойти в системе с чисто гармоническими силами. [c.202]

Благодаря успешному paзвиtftю современных методов приготовления и исследования маЛых час гиц в настоящее время накоплен значительный объем экспериментальной информации, требующей внимательного критического анализа. Теоретическая трактовка проблем малых систем осложняется рядом причин. С одной стороны, обычные методы квантовой химии оказываются непригодными к системам, содержащим сотни атомов, если не прибегнуть к существенным приближениям и допущениям, справедливость которых не является бесспорной. С другой стороны, к кластерам неприменима и макроскопическая термодинамика из-за невозможности разделения объемных и поверхностных свойств. Большую путаницу вносит, например, широко распространенная и очень живучая концепция поверхностного натяжения, совершенно бесполезная в случае кластеров и малых частиц. По-видимому, наиболее надежное предсказание свойств таких систем пока дают только машинные расчеты методами молекулярной динамики, Монте-Карло и нормальных колебаний. [c.3]

Наиболее трудны для теории начальные стадии конденсации пара, где макроскопические представления неприменимы. Само понятие кластера нуждается в уточнении. Стиллинджер [197] определил физический кластер как совокупность связанных молекул, потенциал взаимодействия которых резко обрезается на расстоянии 2г , а сфера радиусом проведенная из центра каждой молекулы, пересекается по крайней мере с одной из сфер других молекул. Таким образом, каждая молекула кластера прямо или косвенно связана с остальными молекулами через непрерывную цепную последовательность перекрывающихся сфер. Это определение включает как открытые цепи, так и компактные группировки молекул. Относительно выбора значения не имеется строгих критериев. С одной стороны, оно должно быть сравнимым с расстоянием между молекулами жидкости, а с другой — не должно сильно превышать, скажем более чем в 3 раза, расстояние а между молекулами, соответствующее минимуму парного потенциала и(г -). Методами молекулярной динамики и Монте-Карло было показано, что размеры кластеров мало изменяются, когда варьируется в пределах (1,7 -н 2,5)а [240]. [c.70]

Другой, более мощный метод, который может давать гораздобольше информации, — это метод молекулярной динамики. Ов построен на более простом принципе, чем метод Монте-Карло, и состоит в решении уравнений движения Ньютона для системьк многих тел. Типичными и классическими работами здесь являются первые эксперименты Олдера и Вайнрайта (1959 г.) с системой, состоящей из твердых сфер, число которых изменялось от 32 до> 500. Большой интерес представляет и фундаментальная работа Рахмана (1964 г.), исследовавшего систему из 864 частиц, взаимодействие которых описывается реалистическим потенциалом Лен-нарда-Джонса (такая система моделировала атомы аргона). [c.303]

Различные теории могут быть весьма точно проверены путем сравнения с многочисленными результатами, полученшши Олде-ром и сотрудниками методом молекулярной динамики, а также с другими численными результатами, полученными методами молекулярной динамики и Монте-Карло. [c.308]

Изложение применения метода Монте-Карло для исследования жидкостей будет неполным, если хотя бы кратко не коснуться его соотношения с методом молекулярной динамики, рассмотренным в гл. 4 первого тома. Объединяет оба эти метода то, что они применяются к малым конечным системам, используют одинаковые периодические граничные условия, оба дают для подобных систем точные решения, но для различных задач. В методе молекулярной динамики асимптотически точные результаты в принципе получаются путем усреднения по времени функций фазового пространства вдоль одной или нескольких характерных фазовых траекторий системы с помощью интегрирования элементарных уравнений движения Ньютона для системы. Равновесные свойства получаются в результате усреднения по времени, проводимого после затухания переходного процесса, обусловленного выбором начального состояния. В методе Монте-Карло асимптотически точные результаты для средних по различным конфигурациям, определяемых в том или ином статистическом ансамбле, получаются путем усреднения по случайным блужданияль в этом конфигурационном пространстве. (Различие двух методов, заключающееся в том, что в методе молекулярной динамики траектория определена в фазовом пространстве координат и импульсов системы, а в методе Монте-Карло — в конфигурационном пространстве, являющемся проекцией фазового пространства на координаты [c.316]

На фиг. 21—24 приводятся различные результаты расчетов уравнения состояния твердых сфер методом Монте-Карло, а также соответствующие результаты расчетов Олдера и Вайнрайта [6] методом молекулярной динамики, подобно тому как выше были приведены результаты для твердых дисков. Общая сводка результатов дана на фиг. 21, правда недостаточно подробно. Здесь также изображены кривая, получающаяся в теории свободного объема [c.350]

Прежде чем закончить перечень результатов метода Монте-Карло для молекул Леннарда-Джонса, необходимо упомянуть расчеты Рахмана 164] и Верле [87], выполненные методом молекулярной динамики. Из-за ограниченности места мы не будем проводить здесь подробный анализ этих работ, тем более, что они выходят за пределы круга рассматриваемых вопросов ). Мы не в состоянии провести сколь-либо подробное сравнение относительной эффективности этих двух численных методов для расчета равновесных свойств системы молекул Леннарда-Джонса. В разговоре с автором Верле отметил, что, по его мнению, эффективность обоих методов примерно одинакова в обычном диапазоне температур и плотностей. Конечно, преимуществом метода молекулярной динамики является возможность изучения и кинетических свойств. [c.389]

Размер трехмерного образца, с которым еще можно работать методами молекулярной динамики и Монте-Карло М 1000), недостаточен для строгой локализации точки плавления. Чтобы определить линию раздела двух фаз, следует вновь обратиться к термодинамическим соображениям. В точке фазового перехода первого рода у обеих фаз должна быть одна и та же свободная энергия, в случае твердых шаров — одна и та же энтропия. Как мы видели, энтропию жидкой фазы Зтццк можно вычислить по формуле Перкуса — Йевика (6.29) жлж по любой другой полуэмпириче-ской формуле того же типа, например (6.27). Надо лишь, чтобы из нее получилось уравнение состояния, хорошо согласующееся с результатами машинного моделирования в интересующей нас области изменения плотности. [c.279]

В пособии, написанном в соответствии с программой по теоретической физике, утвержденной Минвузом СССР, приведен материал второй части курса термодинамики и статистической физики (Ч. I Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем — 1986 г.). Излагаются общий метод вывода кинетических уравнений по Боголюбову и получение этим методом газокинетического уравнения Больцмана и кинетического уравнения Власова для плазмы. Рассматриваются вопросы теории брауновского движения, случайных процессов и процессов переноса, а также новые вопросы, определяющие перспективы развития термодинамики и статистической физики самоорганизация сильно неравновесных систем, численные методы в статистической физике — метод Монте-Карло и метод молекулярной динамики. [c.2]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...