Задание 4. Проекции прямых и плоскостей

Задание 4. ПРОЕКЦИИ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ [c.48]

Угол между прямой и плоскостью может быть определен или через дополнительный угол (между заданной прямой и перпендикуляром к заданной плоскости) или непосредственно. В первом случае решение повторяет предыдущую задачу. Во втором случае новую плоскость проекций необходимо расположить параллельно заданной прямой и перпендикулярно к заданной плоскости. Для этого надо применить решение 4-й, а затем 1-й исходных задач преобразования чертежа. [c.91]

Определить положение прямых и плоскостей относительно заданных плоскостей проекций. Варианты заданий даны в приложении 4. [c.8]

Пусть точка аа проецируется из центра s. s на некоторую плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми Ьс, h и bd, h d (рис. 128). Определяем точки 1Г и 22 пересечения разноименных проекций отрезков Ьс, Ь с и bd, b d. Прямая Pj( является следом соответствия. Через луч sa, s а проводим горизонтально-проецирующую плоскость N//. Эта плоскость пересекается с плоскостью bed, h d по прямой 34, 3 4. [c.95]

Что же касается нахождения горизонт.проекции точки А по заданной проекции а (см. рис. 229, е), то здесь применено сечение косой винтовой поверхности плоскостью, перпендикулярной к ее осн. Получающаяся при этом спираль Архимеда изобразится без искажения на горизонт, проекции. Проведя фронт, проекцию спирали Архимеда — Отрезок 3 4, находим проекции тоЧек 3 и 4 затем делим угол а на п равных частей и на такое же число равных частей делим отрезок 5—4, равный /. Точки спирали получаются в пересечении соответствующих прямых и дуг, как это показано на чертеже. Искомая точка а находится на спирали. [c.185]

Построение взаимно параллельных плоскостей. Для такого построения используют известное свойство если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Так, например, на рисунке 4.16, а построена плоскость, проходящая через точку с проекциями к, к, параллельная плоскости, заданной проекциями а Ь, аЬ и а с, ас пересекающихся прямых. Для этого через фронтальную проекцию к проведены фронтальные проекции d k а с , е к а Ь и через горизонтальную проекцию к — горизонтальные проекции dk ас, ек II аЬ. Построенная плоскость, определяемая проекциями k d, к е и kd, ке, будет параллельна заданной плоскости. [c.47]

Пример 3 (рис. 4.28). Даны плоскость, заданная следами и P , проекции т, т, п, п п Г, I трех точек и проекции Ь с, Ьс и Ь 1, Ы двух пересекающихся прямых, определяющих плоскость четырехугольника АВСО. [c.54]

Недостающие проекции точек на поверхности призм и пирамид по заданным фронтальным проекциям строятся по их принадлежности ребрам (прямым линиям) и граням (плоскостям). На рис. 6.4 это показано стрелками и соответствующими координатами. [c.75]

Свойство 4. Проекции параллельных прямых параллельны между собой. Прямые АВ) и (ОЕ) взаимно параллельны, поэтому и их проецирующие плоскости при заданном направлении 8 взаимно параллельны. Две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым. Следовательно, если (АВ) У (ОЕ), то и (аЬ) Ц (с1е). [c.67]

Построим в трехгранном углу точку А с координатами х=6, /=4, 2=5 и спроецируем ее на плоскости проекций Я, К и n . Отложим на оси ОХ отрезок Оа =х=6 через точку проведем прямую параллельно оси ОУ и отложим на ней отрезок а/1=у=4-, через точку а проведем прямую параллельно оси ОЕ и отложим на ней отрезок аА=г=5 единицам. Точка Л и будет заданной точкой, а точка а — ее горизонтальной проекцией. Спроецируем прямоугольно точку А на плоскости V и VI в точки а и а", которые и будут соответственно фронтальной и профильной проекциями точки А. [c.88]

Пример 4. Построить точки пересечения прямой с поверхностью сферы (рис. 130). Через прямую проведена горизонтально проецирующая плоскость Р. Она пересекает сферу по окружности, которая на фасаде изображается эллипсом. Чтобы избежать построения эллипса, применим способ замены плоскостей проекций и примем за новую фронтальную плоскость проекций плоскость параллельную секущей плоскости. Построим на новой плоскости проекцию заданной прямой и окружность сечения сферы, отложив высоту ее центра-аппликату Аг. Полученные точки пересечения проекции прямой с контуром сече- [c.95]

Если нужно через заданную точку (Л) провести прямую а под углом а к предметной плоскости, когда вторичная проекция прямой известна, находим точку измерения Р, строим точки 1, 3 и, отложив угол а, отмечаем произвольную точку 4 и ее проекцию на основание картины — точку 2. Соединив точки 2 и 4 с точкой Р прямыми линиями, отмечаем вначале точку В , а затем точку В. [c.396]

В приведенном примере отрезок АВ параллелен ребрам ступеней, следовательно, отрезок ВС параллелен вертикальным граням ступеней. Рассмотрим решение аналогичной задачи для случая, когда отрезок непараллелен вертикальным граням (рис. 696). Источник света задан перспективной и вторичной проекциями луча света, проходящего через точку А. Проведем через прямую АА1 лучевую плоскость и определим линию 1—2 ее пересечения с вертикальной гранью верхней ступени. Через точку 3, в которой прямая 1—2 пересекается с верхним ребром ступени, проведем прямую 3—4 в точку 1. В пересечении прямой 3—4 с лучом света, проходящим через точку А, получим тень от этой точки на лестничной площадке. Соединим точки В и Ах прямой линией и отметим точку Р ее пересечения с горизонтом. Проведя прямую/= —4, отметим точку 5 ее пересечения с прямой АВ. Точка 5 расположена на той же высоте, что и плоскость площадки лестницы (так как прямые А —4 и 4—5 горизонтальны), следовательно, ее тень на эту плоскость совпадает с самой точкой. Таким образом, тень от прямой Л В на площадке лежит на прямой 5—А. Соединим точки 2 к 6 прямой, представляющей собой линию пересечения лучевой плоскости, проходящей через прямую АВ с вертикальной гранью верхней ступени. Отметим точки 10 (пересечения с нижним ребром верхней ступени) к 14 (пересечения с предметным следом плоскости вертикальной грани этой ступени). Разделив отрезки 5—В и 6—14 на три (по числу ступеней) равные части (как это сделать ), соединим полученные точки между собой. Соединив ломаной линией точки, полученные в пересечении этих линий с ребрами ступеней, определим тень от прямой АВ на их вертикальных и горизонтальных гранях. [c.485]

Тени тел на плоскости. Тень вертикально расположенного параллелепипеда на наклонной плоскости (например, тень от трубы на крыше) показана на рис. 699. Источник света задан точками L и 1. Точки Р и Р известны. Построим тень от точки А на плоскость. Для этого продлим отрезок ВЕ до пересечения с горизонтальной прямой /—6 и через полученную точку 4 проведем (в точку Р ) вторичную проекцию прямой ВЕ, на которой отметим точку В у. Заключим прямую в лучевую плоскость (она определяется прямыми АВ и Ви построим линию пересечения лучевой и заданной плоскостей (прямая В—3), на которой найдем тень точки А. [c.486]

Контрольные вопросы. 1. Перечислите способы задания плоскости. 2. Как по отношению плоскостей проекций расположены плоскости уровня и плоскости общего положения 3. Какими общими свойствами обладают проецирующие плоскости 4. Как расположена каждая грань прямой пятиугольной призмы (рис. 192) относительно плоскостей проекций Назовите плоскости, которым принадлежат грани призмы. [c.99]

Построение на чертеже точки пересечения фронтально проецирующей плоскости, заданной следами а ", а и прямой с проекциями А В , А В, показано на рис. 4.3. [c.39]

Построение взаимно параллельных плоскостей. Для такого построения используют известное свойство если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Так, например, на рис. 4.16 построена плоскость, проходящая через точку с проекциями К", К, параллельная плоскости, заданной проекциями А"В", А В я А С", А С пересекающихся прямых. Для этого через фронтальную проекцию К" проведены фронтальные проекции О "К" II А" С", Р"К" А "В" и через горизонтальную проекцию К —горизонтальные проекции В К А С, Р К А В. Построенная плоскость, определяемая проекциями К"В", К"Р" и К Ь, К Р, параллельна заданной плоскости. [c.48]

Строим касательные в точках // и 22 к направляющим линиям и принимаем их и прямую линию ef, e f за направляющие прямые линии вспомогательного соприкасающегося гиперболоида. Строим две образующие линии 34, 3 4 и 56, 5 6 этого гиперболоида и определяем точки пересечения 77 и 88 (на чертеже показаны только их фронтальные проекции) этих образующих с заданной плоскостью аЬс, а Ь с. [c.278]

Для построения проекций отрезка перпендикуляра МК в заданной системе плоскостей проекций вначале проводим М К А В[, так как в системе Ш/Ш прямая МК является линией уровня и на плоскость проекций Ш проецируется без искажения ( 14). [c.95]

Найти недостающую проекцию точки К, лежащей в плоскости, заданной прямой АВ и точкой С (рис. 44, а). [c.32]

Пример 1 (рис. 4.24). Даны плоскость Р, заданная проекциями е /, е/ и д И, qh пересекающихся прямых проекции т 1, т1 и т п, тп пересекающихся прямых МЬ и ММ, проекции а Ь, аЬ и Ь 1, Ы пересекающихся прямых АВ и В1, определяющих плоскость четырехугольника АВСО. [c.51]

Несколько сложнее решаются на аксонометрическом чертеже метрические задачи, особенно в косоугольной аксонометрии. В качестве примера рассмотрим нахождение натуральной величины отрезка прямой (А В, А В ) и угла его наклона к аксонометрической плоскости проекций для случая когда отрезок задан ортогональным аксонометрическим чертежом (рис. 432). [c.363]

Выполнение чертежа следует начинать с построения в тонких линиях трех видов главного, сверху и слева. Далее определяют точки пересечения фронтально-проецирующей плоскости с ребрами призмы. Точки 2, < 2. 2> 52, 2 — фронтальные проекции точек пересечения боковых ребер с секущей плоскостью, а 2 ч, — фронтальные проекции точек пересечения с ребрами верхнего основания. Фронтальная проекция фигуры сечения изобразится отрезком 1 —4 , который совпадает со следом, проекцией заданной плоскости. Проведя из точек 1 , 7з линию связи до пересечения с горизонтальной проекцией верхнего основания, получают проекции и 7 . Горизонтальные проекции 1, Зу, 4х,5х, 61 совпадут с горизонтальными проекциями соответствующих ребер призмы. Для получения профильной проекции сечения из точек 2. , 3 , 6 проводят горизонтальные линии связи до пересечения с профильными проекциями соответствующих ребер призмы. Получают точки 2 , З3,. . ., 63. Проекции и 7з мог"ут быть найдены с помощью постоянной прямой чертежа К- [c.82]

Пример 2. Поетроение на чертеже точки перееечения прямой и плоскости (рис. 19.8, а — в) 7 и 2 (рис. 19.8) — проекции точек пересечения вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости, включающей прямую, со сторонами заданной плоскости 3 (рис. 19.8, 6) — построение проекции линии пересечения вспомогательной плоскости и исходной плоскости 4 — указание найденной горизонтальной проекции точки пересечения прямой и плоскости 5— построение недостающей фронтальной проекции этой точки 6, 7 — удаление невидимых участков прямой линии после анализа видимости, например пря.мой и наибольшей стороны треугольника. Следует заметить, что для автоматического удаления невидимых линий существует более десяти машинных алгоритмов, требующих большого объема вычислений. [c.436]

Пример 2. Решение традиционной задачи начертательной геометрии — построение чертежа пересекающихся между собой прямой и плоскоста —рассмотрено на рис. 18.8, а —в. Операции 7 и 2 на рис. 18.8 указывают проекции точек пересечения вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости, вклю шющей прямую, со сторонами заданного треугольника. Операция 3 на рис. 18.8, б — построение проекции линии пересечения вспомогательной плоскости и плоскости треугольника. Операция 4 — указание найденной гортзонтальной проекции точки пересечения прямой и плоскоста. Операция 5 — построение недостающей фронтальной проекции этой точки. Удаление невидимых участков прямой линии [c.343]

На рис. 155, д эта же задача выполнена с помощью способа вращения в той его форме, которую называют способом параллельного перемещения. Сначала прямую ВС и точку А, сохраняя неизменным их взаимное положение, поворачиваем вокруг некоторой (не обозначенной на чертеже) прямой, перпендикулярной к пл. Н, так, чтобы прямая ВС расположилась параллельно пл. V. Это равносильно перемещению точек А, В, С в плоскостях, параллельных пл. Н. При этом горизонт, проекция заданной системы (ЯС+/4) не изменяется ни по величине, ни по конфигурации, лишь изменяется ее положение относительно оси х. Располагаем горизонт, проекцию прямой ВС параллельно оси х (положение Ь с ) и определяем проекцию Oj, откладывая i i = с—1 и —1, причем ai/i l i/,.VnpOBefiH прямые aVj, с j параллельно оси j , находим на них фронт, проекции ь, а , с . Далее, перемещаем точки Bj, iU А в плоскостях, параллельных пл. V (также не изменяя их взаимного расположения), так, чтобы получить B. j Д пл. Я. При этом фронту проекция прямой расположится перпендикулярно к оси х, с = с , а для построения проекции надо взять Ь ь 2, провести 2j я отложить а 2 2. Теперь, проведя и ajOj х, получим проекции и Oj и искомое расстояние I от точки А до прямой ВС. Определить расстояние от А до ВС можно, повернув плоскость, определяемую точкой А и прямой ВС, вокруг горизонтали этой плоскости до положения Т пл. Н (рис. 155, е). [c.111]

Цилиндр вращения (от греч. иуНпс1г08 — валик). Умение использовать геометрическое тело или его поверхность при конструировании предполагает умение различать проекции крайних образующих — АВ, СО, ЕР и ОН, ограничивающих его очертания на плоскостях проекций, в данном случае на фронтальной и профильной, а также любой другой образующей, например КЕ (рис. 4.3, а) умение строить проекции ортогональной сети, образованной производящими линиями — прямой и окружностью (рис. 4.3,6), и на ее основе — сквозных прямоугольного (рис. 4.3,в) и треугольного (рис. 4.3,г) отверстий и при необходимости уметь строить проекции точек, заданных одной проекцией, в данных примерах фронтальной А2 и профильной Вз (рис. 4.3,< ), а также сечения плоскостью, наклонной к оси цилиндра — эллипса, малая ось которого всегда равна диаметру цилиндра, а большая — зависит от угла а (рис. 4.3, е). При неполном плоском сечении его нужно дополнять до полного, как [c.86]

Пример 2 (рис. 4.26). Даны плоскость Р, заданная проекциями к 1, к1 и k q, kq пересекающихся прямых проекции т, т к п, п двух точек проекции ё е, 8е и (1 1, (И пересекающихся прямых и фронтальная проекция а е стороны АЕ плоского пятиугольника АВСВЕ. [c.53]

Решение задачи завершается определением видимых участков прямой. Видимость прямой относительно плоскости треугольника определяют путем разбора взаимоположения точек заданной прямой и сторон плоскости треугольника, совпадающих на проекциях, как было рассмотрено в 4 и на рис. 14. [c.25]

Прямая линия, перпендикулярная плоскости. Прямая перпендикулярна плоскости, если ее проекции перпендикулярны одноименным следам плоскости или соответствующим проекциям горизонтали и фронтали (рис. 32). На рис. 32, я показана прямая АВ, перпендикулярная плоскости Р, заданной следами. Проведем в плоскости Р через точку В горизонталь. На основе правила проецирования прямого угла (см. рис. 13, 4) угол, образованный перпендикуляром АВ и горизонталью, будет проецироваться на плоскости Я прямым (Labn = 90°). Аналогичный вывод можно сделать и в отношении фронтальной проекции перпендикуляра. [c.25]

Чтобы построить на развертке точку G, лежащую на поверхности призмы и заданную своими проекциями, следует провести через нее произвольную прямую, удобнее всего образующую GH. Построив проекции точек G и Я на плоскость П 4, проведем проекции их траекторий. Получив точку Я, проведем через нее образующую параллельно ребрам до пересечения с проекцией т-раектории точки G. Аналогично решается и обратная задача. [c.200]

I,5 см, а точка 5 — на высоте 8,5 см над плоскостью Я. Определим точки, лежащие на прямой и имеющие отметки 2, 3, 4,. .., 8. Для этого построим натуральную величину отрезка АЗ способом перемены плоскостей проекций, расположив плоскость V параллельно отрезку и отложив коордп-наты Z его точек, известные в числовом выражении. Проведем прямые, параллельные оси Ох на расстоянии от нее 2, 3, 4,. .., 8 см. Затем отметим точки пересечения прямых с натуральной величиной отрезка АЗ и спроектируем их на первоначально заданную проекцию. Приведенные построения называются градуированием прямой. Одновременно с этдм мы получили и угол наклона а прямой к плоскости Н. [c.306]

Пример такого построения на чертеже приведен на рис. 4.13. Одна из плоскостей задана треугольником с проекциями А "В"С ", А В С. Вторая —параллельными прямыми с проекциями D"E", D и F"G", F G. Для построения проекций линии пересечения определены проекции М", М и N", N двух ее точек пересечения прямых с проекциями D"E", D E тл F"G", F G с плоскостью треугольника. Проекции М", М и N", N точек пересечения построены с помощью фронтально проецирующих плоскостей, заданных следами Р" и а". Плоскость р проходит через прямую DE и пересекает плоскость треуголышка по линии с проекциями 1 "2", Г2. Пересечение горизонтальных проекций Г2 и D E является горизонтальной проекцией М искомой точки. По ней построена фронтальная проекция М" на фронтальной проекции D"E". [c.45]

Если одна из пересекающихся поверхностей проехщруклцая, то задача построения линии пересечения двух поверхностей упрощается и сводится к построению недостающих проекций кривой линии на одной из поверхностей.по одной заданной проекций линии (см. 8.3). На рис. 10.13 горизонтальная проекция линии пересечения прямого кругового цилиндра и сферы совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальная и профильная проекции линии построены по принадлежности сфере с помощью проекций вспомогательных линий на сфере. Отметим характерные (опорные) точки линии пересечения, пользуясь горизонтальной проекцией. Высшая и низшая точки (их проекции 2" 22 и 1" V, 1" ) лежат в плоскости симметрии. фигуры, проходящей через центр сферы с проекциями О", О и ось цилиндра с проекциями 0 0 , О у Горизонтальная проекция плоскости симметрии — прямая, проходящая через проекции О к О х. В пересечении этой прямой с проекцией цилиндра отмечаем горизонтальные проекции 2 VI Г высшей и низшей точек линии пересечения. Заметим, что точка 2 — ближайшая к высшей точке сферы, а точка 1 — наиболее удаленная от нее. Точки 3 и 4 — крайние левая и правая на фронтальной и горизонтальной проекциях, их профильные про-130 [c.130]

Рещение. Так как заданные плоскости являются профильно-проеиирующими, то линия их пересечения Л (рис. 73, б) параллельна оси х. Чтобы найти эту прямую, надо построить одну принадлежащую ей точку. Вводим (рис. 73, бив) вспомогательную плоскость S и строим линии пересечения ее с пл. Р (/—2) и Q (3—4). Эти линии, пересекаясь, дают точку М (т, от), общуюдля пл. Р и Q. Через /п и т проводим проекции искомой прямой т п и тп параллельно оси х. В качестве вспомогательной плоскости можно использовать и профильную плоскость проекций (рис. 73, б и г) линия MN проходит через точку пересечения следов Р и Q . [c.49]

Сфера (от греч. зрНсига — мяч). Очерковые линии, ограничивающие области проекций точек сферы, — два главных меридиана тили экватор к (рис. 4.21). Каждый из них проецируется на соответствующую плоскость проекций в натуральную величину (окружность), на остальные — в виде отрезков прямых длиной, равной Сфера — единственная поверхность вращения, на которой можно нанести бесчисленное множество семейств параллелей. С помощью параллелей на поверхность сферы наносят различные точки, линии. Обычно пользуются горизонтальными (рис. 4.22), реже фронталями и профильными параллелями. На рис. 4.23 показано нахождение — по заданной Аз, Вз — по заданной Вг- Любой меридиан пересекает горизонтали под прямыми углами, т. е. их совокупности образуют ортогональные сети (рис. 4.24). [c.93]

Плоскость В пересекает перв>то заданн>то плоскость по прямой 7—2, вторую — по прямой 2—4 По фронтальным проекциям Г, 2 и 3, 4 находим с помощью линий связи горизонтальные проекции I, 2 и 3, 4 на. горизонтальных проекциях аЬ, Ьс, e,fg прямых. Через них проводим горизонтальные проекции [c.42]

Пример построения на чертеже плоскости, перпендикулярной прямой, заданной проекциями а к, ак, приведен на рисунке 4.19. Из проекций к, к проведены проекции k f La k, kf x фронтали и проекции khLak, к h j горизонтали. Они и определяют положение плоскости. [c.49]

Построение двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Как известно, плоскости перпендикулярны, если прямая, принадлежащая одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости (рис. 4.20) AB zQ, ABLwi. P, пл. б1пл. Р). Построение проекций плоскости Р, проходящей через прямую с проекциями т п, тп и перпендикулярной плоскости, заданной проекциями а Ь с, ab треугольника, показано на рисунке 4.21. Для построения на чертеже плоскости через проекции е, е точки прямой проведены проекции e f, ef перпендикуляра к плоскости треугольника. Две пересекающиеся прямые определяют положение [c.49]

Рассечем обе заданные плоскости вспомогательной горизонтальной плоскостью Р. Поскольку такая плоскость является фронтальио-проектирующей, то фронтальные проекции — 1 —2 и 3 —4 — линий ее пересечения с заданными плоскостями лежат на фронтальной проекции плоскости Р (ее следе Р ). Определим горизонтальные проекции этих прямых (-/—2 и 3—4) и отметим общую точку к. [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...