Начало возможных перемещений и уравнения равновесия

Начало возможных перемещений и уравнения равновесия [c.13]

Если применять метод перемещений, то для всех узловых точек необходимо составить уравнения равновесия. В уравнения равновесия войдут эквивалентные внешние силы и внутренние усилия Для определения эквивалентных внешних сил применим начало возможных перемещений. При этом приравняем работу, совершаемую узловыми эквивалентными силами Р, на возможных узловых перемещениях 6 1, работе внешней поверхностной нагрузки д х,у), действующей на конечный элемент, на перемещении бю. [c.223]

Применительно к твердым телам начало возможных перемещений было сформулировано Лагранжем в его аналитической механике (1788 г.). К упругим телам (стержневой системе) этот принцип впервые был применен Пуассоном в 1833 г. Подобно тому, как для твердых тел принцип возможных (виртуальных) перемещений позволяет получить уравнения равновесия, так и для упругих тел он может заменить геометрический вывод уравнений равновесия аналитическим. [c.38]

Упругое тело может совершать перемещения, не претерпевая деформации, поэтому для него уравнение (с) остается в силе внешние силы, приложенные к упругому телу должны удовлетворять уравнениям равновесия, соответствующим твердому телу. Но кроме перемещений, свойственных абсолютно твердому телу, упругое тело может совершать бесчисленное множество других перемещений, сопровождающихся изменением формы тела. Перемещения эти (бм, б у, би ) должны удовлетворять лишь условиям, установленным для перемещений и, у, ш в упругом теле (см. 10, 11). Для таких перемещений второй член в уравнении (Ь) в нуль не обращается и начало возможных перемещений в применении к упругим телам получает такое выражение форма, которую принимает упругое тело под действием внешних, приложенных к нему сил, характеризуется тем, что на всяком возможном для упругого тела отклонении от этой формы сумма работ всех внешних и внутренних сил равна нулю. [c.56]

Начало возможных перемещений является самым общим началом статики, поэтому из соответствующего ему уравнения (47) могут быть получены и дифференциальные уравнения равновесия (14) и условия на поверхности (3), которые были ранее нами найдены из рассмотрения условий равновесия бесконечно малых элементов деформированного тела. Для этого нужно произвести лишь некоторые преобразования с членом [c.58]

Напишем такие уравнения для всех точек системы и затем исключим из них силы связи. Тогда получим закон равновесия, в который пе входят силы связи. Если при таком исключении получим начало возможных перемещений, то, очевидно, оно этим п будет доказано. [c.26]

Силу X можно найти и другим приемом, С уничтожением связи АВ мы получаем для нашей системы еще следующее возможное перемещение, бруски ВС и СО могут, не изменяя своего взаимного расположения, поворачиваться около оси О. Применим начало возможных перемещений к этому движению другими словами, напишем уравнение равновесия рычага ВСО, для которого О есть ось вращения и к которому приложены внешние силы со включением X в ш число. Из этого уравнения найдем X. [c.80]

Это вариационное уравнение эквивалентно дифференциальным уравнениям равновесия [(12) гл. 1 ] и условиям равновесия (19) на поверхности тела. Это уравнение является следствием начала возможных перемещений. [c.31]

Займемся теперь выводом уравнений равновесия гибкой нити из начала Лагранжа Чтобы применить начало Лагранжа, мы должны поступать следующим образом нужно составить сумму моментов всех действующих сил, к этой сумме придать вариации всех условий, стесняющих возможные перемещения системы, умноженные на множителя X, и в полученном уравнении приравнять нулю [c.469]

Назовем кинематически возможным состоянием тела такое состояние, для которого удовлетворены условия на поверхности для перемещений и условия совместности деформаций в каждой точке тела. Уравнения равновесия могут быть не удовлетворены. Очевидно, что точки, изображающие напряженные состояния в точках тела, находящегося в кинематически возможном состоянии, лежат на поверхности начала пластичности, так как иначе согласно схеме идеального жестко-пластического тела деформирование невозможно. [c.210]

С точки зрения начала возможных перемещений каждое уравнение равновесия представляет собою выражение того закона, что сумма работ активных сил для некоторого перемещения, дозволяемого связями, равна нулю. Поэтому мы можем применять уравненпя равновесия твердого тела к таким системам, для которых возможны такие же перемещения, как для твердого тела. Если связи системы не дозволяюг ей иметь такие перемещения, то нельзя к ней прямо применять уравнения равновесия твердого тела. Но тогда можно уничгожить те связн, которые препятствуют указанным перемещениям, заменить эти связи силами и причислить силы связи к внешним силам. Тогда получается возможность приложить к нашей системе уравнения равновесия твердого тела [c.45]

Сравнивая начало возможных перемещений Лагранжа и начало виртуальных изменений напряженного состояния упругого тела Кастильяио, следует отметить, что первое заменяет собой уравнения равновесия (внутри тела и на его границах), а второе — уравнения совместности деформаций. [c.49]

В этом уравнении потенциальная энергия выражена через составляющие напряжения, и при составлении вариации бЩ Vdxdydz даем этим составляющим приращения, удовлетворяющие уравнениям равновесия. При выводе уравнения (50) мы воспользовались началом возможных перемещений и выражением (37) для потенциальной энергии, поэтому полученный нами результат применим лишь к упругим телам, следующим закону Гука, в то время как начало возможных перемещений применимо к упругим телам с любой зависимостью между напряжениями и деформациями. [c.60]

ПО трем координатным осям, Вращение около любой мгновенной оси может быть разложено на три вращения около осей, параллельных координатным. Таким образом произвольное бесконечно малое перемещение твердого тела может быть заменено шестью элементарными перемещениями тремя поступательными перемещениями по направленую координатных осей н тремя вращениями около осей, параллельных координатным. Эти шесть возможных перемеш,ений неприводимы и не могут взаимно заменяться. Следовательно, свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы, т. е. шесть различных неприводимых возможных перемещений, а потому начало возможных перемещений ласт шесть условий, пли шесть уравнений, необходимых и достаточных для равновесия. [c.36]

Тем же приемом найдем усилия в остальных брусках. Так как каждый из них необходим для жесткости фермы, то достаточно резрезать один брусок, чтобы появилось некоторое дозволенное перемещение, изменяющее фигуру фермы для него и составим уравнения равновесия. Таким образом в каждое уравнение будет входит только одна неизвестная — усилия в том бруске, который разрезан все прочие неизвестные исключаются. Это исключение происходит во время самого составления уравнения, вследствие того, что мы применяем начало возможных перемещений. Пользуясь этим началом, мы получаем ряд отдельных уравнений, содержащих каждое по одной неизвестной, т. е. получаем самое простое решение. [c.77]

Уничтожим эту связь, разрезав брусок АВ, и заменим ее силой X. С уничтожением связи в системе оказываются новые возможные перемещения, которые прехаде не дозволялись. Например, теперь возмол<но вращение бруска ВС около точки С при неподвижности бруска СО. Вот к этому перемещению и применим начало возможных перемещений. Это приведет к составлению уравнения равновесия рычага ВС, имеющего опору в С и подверженного действию внешних сил, включая X в нх число. Отсюда найдем X. [c.80]

Весьма часто мы имеем дело с задачами о равновесии упругого тела в этом случае ус1сорения равны нулю и уравнение (11.14) формулирует принцип Лагранжа, т. е. начало возможных перемещений [c.328]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

При постановке новых проблем исходным пунктом в большинстве случаев является начало возможных перемеш ений, приводяш ее к вариационной формуле Лагранжа для данного объекта. Если задачу целесообразно формулировать в перемещениях, то на этом функции вариационного исчисления при решении рассматриваемой задачи и кончаются. В нелинейной же теории оболочек самым распространенным вариантом являются уравнения типа Кармана, сформулированные в смешанной форме (через прогиб и функцию напряжения). Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес (хотя бы для нестрогого обоснования процедуры метода Бубнова — Галеркина). Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек (Н. А. Алумяэ, 1950 К. 3. Галимов, 1951, 1958). [c.235]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...