Геометрическая оптика и волновая механика

Геометрическая оптика и волновая механика. Мы будем рассматривать только такие системы, гамильтониан которых является полной энергией. Тогда между функциями 5 и будет иметь место соотношение [c.336]

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА [c.337]

Введение. В своем восхождении мы поднялись уже довольно высоко и теперь находимся в разреженной атмосфере теорий необыкновенной красоты и приближаемся к высокому плато, на котором встречаются и находят общую почву геометрия, оптика, механика и волновая механика. Только путем глубоких размышлений, принимающих зачастую творческий характер, можно постичь всю красоту предмета нашего исследования, в котором последнее слово еще отнюдь не сказано. Мы начнем с теории интегрирования, принадлежащей Якоби, а затем перейдем к исследованиям Гамильтона в области геометрической оптики и механики. Объединение этих двух подходов ведет к великим открытиям де Бройля и Шредингера, лежащим в конце нашего пути. [c.264]

Так можно было бы подумать с первого взгляда. Однако у)ке первая попытка построения полной волновой картины приводит к таким поразительным следствиям, что, наоборот, появляется другое подозрение. Ведь сейчас известно, что наша классическая механика неверна при малых размерах и большой кривизне траекторий не является ли это обстоятельство вполне аналогичным известной неприменимости геометрической оптики, т. е. оптики с бесконечно малой длиной волны , в случае препятствий или отверстий , сравнимых по размерам с действительной конечной длиной волны. Быть может, наша классическая механика представляет полную аналогию с геометрической оптикой и подобно последней отказывается служить, и не согласуется с действительным положением вещей при размерах и радиусе кривизны траекторий, приближающихся по величине к некоторой длине волны, которая теперь принимает в -пространстве реальный смысл. Тогда целесообразно попытаться построить волновую механику ) и первым шагом на этом пути является, конечно, волновое истолкование представлений Гамильтона. [c.684]

Хотя это может показаться странным, но новая волновая механика также связана с теорией Гамильтона — Якоби. Подобно тому как зародышем матричной механики являются классические скобки Пуассона, зародыш волновой механики можно увидеть в связи метода Гамильтона — Якоби с геометрической оптикой. К рассмотрению этой связи мы сейчас и перейдем. [c.336]

Мы еще не нашли тех величин, которые играют в классической механике роль частоты и длины волн. Единственное, что мы пока установили, это то, что искомая длина волны должна быть значительно меньше того расстояния, на котором становится заметной неоднородность силового поля. Дальше этого мы, естественно, не могли идти, так как, будучи аналогом геометрической оптики, классическая механика является той областью, в которой не встречаются эффекты, зависящие от длины волны (интерференция, дифракция и т. п.). Поэтому, хотя двойственность частица — волна имеет место и в классической механике, однако волновой концепции здесь не представляется случая обнаружить свое преимущество перед корпускулярной. [c.341]

Теперь мы видим, что классическая механика содержит в себе зерна квантовой механики и что уравнение Гамильтона — Якоби особенно удобно для перехода от первой из них ко второй. Дальнейшее углубление в эти вопросы вывело бы нас за рамки данной книги, которую с достаточным основанием можно назвать Геометрической оптикой волновой механики . [c.343]

Действительное механическое явление следует понимать или изображать как волновой процесс в -пространстве, а не как движение изображающей точки в этом пространстве. Рассмотрение движения изображающей точки, составляющее предмет классической механики, является лишь приближенным способом изучения поведения системы и может быть оправдано лишь подобно тому, как в некоторых случаях оправдывается применение лучевой или геометрической оптики для изучения действительных волновых оптических процессов. Макроскопический механический процесс должен изображаться как волновой сигнал описанного выше вида, который с достаточным приближением может считаться точечным в сравнении с геометрической структурой траектории. Как мы видели, для подобного сигнала или группы волн действительно выполняются точно те же законы движения, что и устанавливаемые классической механикой законы движения изображающей систему точки. Подобный способ рассмотрения теряет, однако, всякий смысл, если размеры траектории не очень велики по сравнению с длиной волны или даже сравнимы с ней. В этом случае следует перейти к строгому волновому рассмотрению, т. е. следует изображать многообразие возможных процессов, исходя из волнового уравнения, а не из основных уравнений механики, которые для объяснения сущности микроструктуры механического движения столь же непригодны, как и геометрическая оптика для объяснения явлений дифракции. [c.690]

Рассмотренная аналогия между классической механикой и геометрической оптикой была установлена Гамильтоном в 1834 г, однако ее физический смысл оставался неясным вплоть до рождения современной квантовой механики. Только в 1926 г. де Бройлем и Шредингером было показано, что истинный смысл оптико-механической аналогии состоит в том, что она указывает на существование у материальных объектов волновых свойств наряду с корпускулярными свойствами. [c.212]

Предельный переход от волновой механики к классической механике формально аналогичен переходу от волновой оптики к оптике геометрической (Гамильтон). Эта аналогия послужила даже исходной точкой для рас-суждений де-Бройля и Шредингера, которые привели к установлению волновой механики. Этот переход получается, если в общем волновом уравнении [c.148]

Для ВОЗМОЖНОСТИ непротиворечивым образом исключить все классы симметрии, кроме одного, существенно ТО обстоятельство, что в рамках применимости классической механики (геометрической оптики) нельзя установить вид класса симметрии. Рассмотрим для простоты только две частицы. Мы принципиально всегда можем различить эти частицы, используя, например, непрерывность изменения их местоположения, если их волновые функции Ф1 (д, О и Ф2 (д, О нигде не перекрываются, т. е. отличны от нуля в совершенно разделённых между [c.194]

Вариационные принципы механики неразрывно связаны с теорией групп преобразований, синтезом аналитического и геометрического аспектов механики, оптико-механической аналогией и единой волново-корпускулярной картиной движений, классической и квантовой теорией физических полей, вариационными методами решения задач движения, равновесия, устойчивости и структуры физических систем и другими фундаментальными проблемами. [c.780]

Метод исследования связи между геометрической и физической оптикой вполне аналогичен методу ВКБ в квантовой механике. В этом методе начинают с волнового уравнения (уравнения Шредингера) и разлагают фазу функции г] в ряд по степеням постоянной Планка h. В приближении нулевого порядка волновое уравнение имеет только коэффициент при /г и решением его является известное из классической механики уравнение Гамильтона — Якоби [c.83]

В главе VUI этой книги подробно рассмотрено движение поверхностей S- onst в пространстве конфигураций. В главе IX рассмотрена связь между классической механикой, геометрической оптикой и волновой механикой. [c.346]

В 1927 г. Шредингер предложил оригинальную идею углубить аналогию между геометрической оптикой и механикой, установленную уравнением в частных производных Гамильтона и перейти от фазовой функции f к волновой функции Ь. Так, вводя де-бройлеву длину волны (8.8.10) в амплитудное уравнение (8.8.14), получим знаменитое дифференциальное уравнение Шредингера [c.318]

Хотя в предыдущих рассуждениях говорится о волновых поверхностях, скорости распространения и принципе Гюйгенса, по существу рассматривается аналогия не между механикой и волновой оптикой, а аналогия между механикой и геометрической оптикой. Дело в том, что понятие лучо, с которым главным образом связывается механика, является в основнол понятием геометрической оптики и только в геометрической оптике имеет строгий смысл. Принцип Ферма также может быть истолкован в рамках геометрической оптики с использованием понятия о показателе преломления. Кроме того, система -поверхностей, рассматриваемых как волновые поверхности, значительно слабее связана с механическим движением, поскольку изображающая механическую систему точка распространяется по лучу не с волновой скоростью , а со скоростью, пропорциональной (при постоянном значении Е) [c.683]

Резюме. Механические траектории консервативных систем могут быть получены из частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби с помощью построения ортогональных траекторий к поверхностям S = onst. Это построение аналогично построению волнового фронта и световых лучей в геометрической оптике. Поверхности равного времени в оптике соответствуют поверхностям равного действия в механике, а принцип наименьшего времени Ферма — принципу наименьшего действия или принципу Якоби. И оптические и механические явления могут быть описаны как с помощью волн, так и с помощью частиц. При описании с помощью волн мы оперируем с бесконечным семейством поверхностей, которое определяется уравнением в частных производных Гамильтона. При описании же с помощью частиц мы оперируем с ортогональными траекториями к этим поверхностям, и они определяются принципами. Ферма и Якоби. Аналогия распространяется только на траектории механических частиц, не касаясь того, как движение происходит во времени. Кроме того, ири этой аналогии среди всех возможных механических траекторий выделяются те, по которым движение начинается перпендикулярно к заданной поверхности. [c.314]

Поскольку все же известное истолкование этой микроструктуры, конечно, при дополнительных весьма искусственных предположениях, может быть получено с помощью классической механики (причем имеются значительные практические достижения), то мне кажется особенно знаменательным, что подобное истолкование (я имею в виду квантовую теорию в форме, предложенной Зоммерфельдом, Шварцшильдом, Эпштейном и некоторыми другими) находится в теснейшей связи с уравнением Гамильтона и теорией Гамильтона—Якоби, т. е. с той формой классической механики, которая уже содержит отчетливое указание на истинный волновой характер движения. Уравнение Гамильтона соответствует как раз принципу Гюйгенса (в его старой наивной, а не в строгой, приданной ему 1 рхгофом форме). И подобно тому, как последний принцип, дополненный совершенно непонятными с точки зрения геометрической оптики правилами (правило зон Френеля) уже в значительной мере разъясняет явления дифракции, можно в некоторой мере уяснить, исходя из теории функции действия, происходящие в атоме процессы. Напротив, можно запутаться в неразрешимых противоречиях, если пытаться, как это кажется естественным, полностью удержать и для атомных процессов понятие траектории системы подобно этому бессмысленно, как известно, подробно изучать в области дифракционных явлений движение светового луча. [c.690]

Опираясь на механику Гамильтона—Якоби и на результаты развития геометрической оптики в трудах Бельтрами, Липшица, Брунса, Ф. Клейна, Дебая, Зоммерфельда и Рунге, которые с помощью уравнения эйконала придали геометрической оптике обобщенный вид и нашли для ее соотношений векторное выражение, Шредингер исходил из гамильтоновой аналогии. Он применил неевклидово мероопределение ( 8 = 2Т(д , и все последующие рассуждения вел в пространстве конфигураций. Воспользовавшись построением ортогональных некоторому лучу поверхностей дей- ствия и уравнением Гамильтона—Якоби и показав, что эти поверхности распространяются в пространстве в виде волнового фронта, Шредингер пришел к выводу, что принцип Гамильтона выражает собой принцип Гюйгенса в его до-френелевой формулировке. Отсюда, воспользовавшись соотношением Я = Шредингер получает свое основное волновое уравнение, [c.861]

Состояние физики в XIX в. не давало еще никаких указаний на то, что классическая механика является лишь приближением волновой механики, представляя собою своего рода геометрическую оптику . Потребовалось пройти огромный путь, чтобы это стало ясно.,Только опыты Дэвисона и Джермера изменили научную обстановку. [c.862]

Гамильтон (Hamilton) Уильям Роуан (1805-1865) — ирландский математик и физнк. Окончил Тринити Колледж (1827 г.), профессор Дублинского университета и директор астрономической обсерватории. Исследования в области оптики и механики. Разработал математический аппарат для решения задач геометрической оптики развил аналогию между корпускулярной и волновой оптикой, использованную через сто лет Э. Шре-дингером при разработке волновой механики. Распространил теорию оптических явлений на механику (1834-1835 гг.), разработав общие принципы, в частности вариационный принцип получил канонические уравнения механики. Построил своеобразную систему чисел кватернионов. Идеи Гамильтона в настоящее время получают развитие в теории нелинейных волн, теории динамических систем и др. [c.359]

Разновидности Г. о. м. используют при решении разнообразных физ. задач, причём не только в оптике, но и в радиофизике, физике плазмы. У Г. о. м. имеются двойники геометрическая акустика, геом. сейсмология, квазаклассическое приближение квантовой механики (в трёх измерениях) и т. д. Особенно велика роль Г. о. м. в задачах распространения волн в неоднородных средах, для к-рых аналитич. решения исходною волнового ур-ния известны только для небольшого числа частных случаев. [c.441]

Наконец, Гамильтон связал свою каноническую систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим дифференциальным уравнением в частных производных, которому, как выяснилось, удовлетворяет его характеристическая функция Н. Получилась обширная теория. Она дала новую удобную форму уравнений движения, новый подход к проблеме их решения (интегрирования). Она вскрывала более полно и глубоко аналогии между механикой и оптикой, выявила новые возможности геометрической интерпретации, наконец, она вела к выявлению связи между волновыми и кориуску- [c.208]

Если масса тела велика, то уже при маленькой скорости имттульс велик и длина волны, вычисляемая из (0-4), мала. Тогда, точно так же как при малой длине волны света, ттри-ближевно волновую оптику можно заменить геометрической (см. Р2.1) с ее тонкими лучами (свет движется практически по линии), так же квантовую механику с ее волнами вероятности можно заменить классической с ее определенными траекториями и псшожением тел. [c.224]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...